2 Expérience de Reynolds : écoulements laminaires et turbulent

Compte rendu
TP N°5 Ecoulements laminaires et turbulents
SIMONIN Valérian
SCHATT Alexandra
S6-3A
ME
Année 2008-2009
Sommaire
I.
But du TP………………………………………………………..2
II. Expérience de Reynolds : écoulements
laminaires et turbulent
a. Mesure des nombres de Reynolds………………………………………………3
b. Etude du rapport
𝑉𝑚𝑎𝑥
𝑉
pour les écoulements ……………………………..4
III. Etude d’un jet d’air chaud et mesure de la
vitesse
a. Principe de l’anémométrie………………………………………………….……...5
b. Etalonnage de l’anémomètre………………………………………………………6
c. Profil de vitesse…………………………………………………………………………..7
IV. Conclusion
I.
But du TP
Ce TP va nous permettre d’étudier deux types d’écoulements auxquels sont
soumis les fluides : l’écoulement laminaire puis l’écoulement turbulent.
Nous allons caractériser ces écoulements grâce à deux expériences : l’une
identique à celle réalisée par Reynolds Osborne afin de déterminer la valeur du
nombre caractéristique des écoulements laminaires et turbulents et une
seconde, avec un anémomètre à fil chaud nous permettant de tracer les profils
de vitesse.
II. Expérience de Reynolds : écoulements
laminaires et turbulents
Pour réaliser cette expérience, nous avions à notre disposition 3 tubes de diamètres
différents (24mm, 20mm et 11mm) dans lesquels nous faisions couler une eau à 19 °C. Nous
faisions également couler de la fluorescéine afin de pouvoir observer le passage de
l’écoulement laminaire à un écoulement transitoire et de l’écoulement transitoire à un
écoulement turbulent. Nous avons ensuite déterminé le débit de sortie pour chaque étape
de transition et déterminé la vitesse maximale dans le tuyau.
a. Mesure des nombres de Reynolds
Voici le tableau des valeurs obtenues :
tube 1
Re1
24 mm
ReC
tube2
Re1
V rempl (s)
16,6
13,6
volume(m3)
4,20E-04
4,50E-04
débit
(m3/s)
2,53E-05
3,31E-05
Vmoy (m/s)
5,60E-02
7,32E-02
temps (s)
5,45
4,1
Vmax ( m/s) 0,09174312 0,12195122
RE
1,30E+03
1,70E+03
Vm/Vmax
6,10E-01
6,00E-01
13,5
4,20E-04
20 mm
ReC
tube 4
Re1
9,4
4,20E-04
19,7
4,00E-04
11 mm
ReC
13,5
4,30E-04
3,11E-05
4,47E-05
2,03E-05
3,19E-05
6,88E-02
9,88E-02
4,49E-02
7,04E-02
1,65
1,15
1,35
1,3
0,3030303 0,43478261 0,37037037 0,38461538
1,59E+03
2,29E+03
1,04E+03
1,63E+03
2,27E-01
2,27E-01
1,21E-01
1,83E-01
Si on effectue la moyenne des Re1 on obtient : 𝑅𝑒1𝑚𝑜𝑦 = 1310
De même pour ReC : 𝑅𝑒𝐶𝑚𝑜𝑦 = 1870
Les valeurs théoriques sont de 2000 pour Re1 et de 4000 pour ReC, on remarque des
différences par rapport à nos valeurs expérimentales, mais la méthode de détermination de
Re1 et ReC n’était pas très précise. Néanmoins cette expérience avait pour but de nous faire
voir le phénomène d’écoulement laminaire, turbulent et comment se comporte le fluide lors
de la transition entre ces deux régimes, et nous avions parfaitement pu voir ce phénomène.
b. Etude du rapport
𝑉
𝑉𝑚𝑎𝑥
pour les écoulements
Nous avons premièrement calculé ce rapport au moment de la transition entre le régime
laminaire et le régime transitoire :
1 − 𝑟2
𝑉 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 ( 2 )
𝑅
On intègre cette équation sur la section du tube ce qui va nous donner un débit :
𝐷𝑣 = ∬ 𝑉𝑚𝑎𝑥 (1 −
𝑆
𝑟2
) 𝑑𝑆
𝑅2
𝐷𝑣 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 ∬(1 − 𝑟 2 )𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
𝑆
2𝜋
𝑉𝑚𝑎𝑥 𝑅
𝑟2
𝐷𝑣 =
∫ (𝑟 − 2 ) 𝑑𝑟 × ∫ 𝑑𝛳
𝑅2 0
𝑅
0
𝑅
1 2 1 𝑟4
𝐷𝑣 = 2𝜋 × 𝑉𝑚𝑎𝑥 [ 𝑟 −
]
2
4 𝑅2 0
Maintenant on divise les deux membres par S pour obtenir le rapport 𝑉/𝑉𝑚𝑎𝑥
𝑉
2𝜋
1 2 1 𝑅4
=
×
(
𝑅 −
)
𝑉𝑚𝑎𝑥 𝜋𝑅 2
2
4 𝑅2
𝑉
1
=
𝑉𝑚𝑎𝑥 2
Vm/Vmax
tube 1
24 mm
tube2
20 mm
tube 4
11 mm
Re1
ReC
Re1
ReC
Re1
ReC
6,10E-01
6,00E-01
2,27E-01
2,27E-01
1,21E-01
1,83E-01
On obtient quasiment les même rapports pour ReC et Re1 pour un tube donné, mais le
rapport varie beaucoup entre chaque tube. Nous n’avons donc surement pas été assez loin
pour arriver à un régime totalement turbulent et notre appréciation de Re1 n’a pas été la
même pour chaque tube, donc nos valeur ne concordent pas forcement avec la théorie.
La valeur expérimentale que nous avons obtenue est en moyenne
𝑉
1
=
𝑉𝑚𝑎𝑥 2
Pour la transition entre le régime transitoire et turbulent la théorie donne :
𝑉
49
=
𝑉𝑚𝑎𝑥 60
La valeur expérimentale que nous avons obtenue est en moyenne
𝑉
= 0.37
𝑉𝑚𝑎𝑥
La différence ici est assez importante avec la théorie, en effet il est assez difficile de
déterminer le point de fin du régime transitoire et ou le régime turbulent commence.
III. Etude d’un jet d’air chaud et mesure de la
vitesse
a. Principe de l’anémométrie
Voici un anémomètre à fil chaud comparable à celui utilisé lors de l’expérience. Le fil est de
l’ordre de 5µm et est très peu visible à l’œil nu.
Dans ce type d’anémométrie, le fil va être placé dans un écoulement et chauffé.
Il va falloir apporter une puissance électrique P afin de chauffer le fil à une température
supérieure à celle du fluide étudié. Et à l’équilibre, cette puissance sera à la quantité de
chaleur (Q) dissipée dans l’écoulement par unité de temps. On aura donc un lien entre Q, la
vitesse du fluide, l’écart de température ainsi que d’autres caractéristiques inhérentes au fil
utilisé.
Le type de transfert thermique entre le fil et le fluide étudié utilisé lors de cette expérience
est la convection forcée (pour les fortes vitesses) et la convection libre (pour les faibles
vitesses).
On aura finalement un lien entre le nombre de Nusselt et la quantité de chaleur dissipée
𝑄 = 𝜋𝜆 𝑙 𝑁𝑢 (𝑇𝑓 − 𝑇𝑎 ).
Puis, lorsque l’équilibre thermique est atteint, la puissance thermique dissipée est égale à la
puissance dissipée par effet Joule dans le fil. Soit V la tension électrique aux bornes du fil, et
R la résistance électrique du fil à la température Tf, cette égalité des puissances s’écrit:
𝑉2
= πλ l Nu (Tf − Ta ).
𝑅
Puis en utilisant la loi de Kramers et en supposant tous les termes de l’équation constants
sauf U et V on obtiendra la loi de King suivante
V² = A’ + B’ U n
Cette équation donne directement la vitesse du fluide en fonction de la tension appliquée
connaissant les constantes A’ et B ‘ toutefois ce n’est pas une équation linéaire …
Les constructeurs ont donc trouvé une autre méthode et pour cette expérience nous avons
utilisé un logiciel nous permettant tout d’abord de faire l’étalonnage du système avant la
réalisation effective des mesures demandées.
b. Etalonnage de l’anémomètre
Nous avons pour cela utilisé une soufflerie d’étalonnage. Et on pourra déterminer la vitesse
moyenne de l’écoulement à la sortie de la buse grâce à un manomètre à eau. Puis la
tension de sortie de l’anémomètre ainsi que la vitesse donnée par la soufflerie d’étalonnage
permet de calculer trois coefficients A’ B’ et n de la loi de KING.
𝑉² = 𝐴′ + 𝐵′𝑈 𝑛
Puis on obtiendra U sous la forme d’un polynôme de degré 4 :
𝑈 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑉 + 𝑎2 𝑉² + 𝑎3 𝑉 3 + 𝑎4 𝑉 4
Le logiciel nous permet de déterminer les coefficients du polynôme et d’en déduire la courbe
d’étalonnage suivante :
Courbe d'étalonnage
de l'anémomètre
130
y = 2E-06x4 + 1E-06x3 + 355.65x2 413.88x + 121.42
Vitesse (m/s)
110
90
Courbe d'étalonnage
70
50
Poly. (Courbe
d'étalonnage)
30
10
-10 0
0.2
0.4
0.6
Tension (V)
0.8
1
c. Profil de vitesse
Une fois l’étalonnage fait nous avons pu commencer l’expérience afin de déterminer les
profils de vitesse pour un écoulement laminaire et pour un écoulement turbulent.
Nous avions à notre disposition une canalisation soufflant de l’air comprimé avec une vitesse
moyenne donnée. Nous pouvions également faire translater l’anémomètre à fil chaud
suivant un axe (ici suivant z). Ensuite nous avons relevé les valeurs de vitesse à l’aide du
logiciel avec un pas de 2 mm d’un bout de la conduite à l’autre.
Voici les valeurs obtenues :
X (mm)
Umean(m/s) Uturb (m/s)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
0,611
0,765
0,782
0,789
0,795
0,8
0,803
0,803
0,805
0,805
0,806
0,806
0,806
0,805
0,803
0,801
0,799
0,795
0,791
0,785
0,776
0,762
0,62
0,559
4,325
1,642
1,355
1,262
1,042
0,798
0,775
0,68
0,593
0,51
0,507
0,488
0,521
0,62
0,677
0,774
0,826
1,009
1,082
1,163
1,267
1,737
4,072
0,824
Puis les profils de vitesse que nous en avons déduit :
Tous d’abord le profil de vitesse laminaire qui se trouve plutôt après 10mm du bord :
Distance aà un bout du conduit (mm)
Profil des vitesses laminaire
30
25
20
15
Laminaire
10
5
0
0
1
2
3
Vitesse (m/s)
4
5
Et voici le profil des vitesses turbulent qui est plus « aplati » que le précédent et qui se
retrouve plutôt aux bords des conduits probablement en raison des frottements du fluide
sur les parois.
Profil des vitesses turbulent
distance au bord du conduit( mm)
30
Turbulent
25
20
15
10
5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Vitesse(m/s)
On remarque que la vitesse en régime laminaire est plus importante (de 1 à 4 m/s) que pour
le régime turbulent –faible, en raison des efforts supplémentaires sur les parois (0 à 0,8
m/s). On peut également rajouter que la vitesse augmente très rapidement dès qu’on
s’éloigne des parois pour un profil en régime turbulent alors que c’est un peu moins marqué
pour le profil en régime laminaire.
Finalement grâce aux mesures de vitesse effectuées ainsi qu’à la mesure du diamètre du
conduit, nous avons pu calculer un débit moyen sortant du tube. Voici nos résultats :
Qmean (m3/s) Qturb(m3/s)
0,000846076
0,001059326
0,001082867
0,00109256
0,001100868
0,001107792
0,001111946
0,001111946
0,001114716
0,001114716
0,0011161
0,0011161
0,0011161
0,001114716
0,001111946
0,001109177
0,001106407
0,001100868
0,001095329
0,001087021
0,001074558
0,001055172
0,000858539
0,00077407
0,005989
0,00227374
0,00187632
0,00174754
0,0014429
0,00110502
0,00107317
0,00094162
0,00082115
0,00070622
0,00070206
0,00067575
0,00072145
0,00085854
0,00093747
0,00107179
0,0011438
0,0013972
0,00149829
0,00161045
0,00175447
0,00240529
0,00563866
0,00114103
Qmoyen (m3/s)
0,001356497
Il sort donc un débit moyen de 0,001 m3/s ce qui semble tout à fait envisageable, compte
tenu de ceux calculés dans la partie précédente.
IV. Conclusion
La première partie de ce TP nous a permis d’observer les différents
régimes d’un écoulement : laminaire, transitoire, turbulent. Ensuite nous avons
pu mettre en relation ce phénomène avec la théorie de Reynolds qui sert à
déterminer par le calcul le régime dans lequel un écoulement ce trouve, ainsi
cette partie du type nous a permis d’établir les liens entre l’expérience pratique
et les équations que nous avions étudié en cours et TD.
Lors de la deuxième partie du TP, nous avons découvert le principe de
l’anémomètre à fil chaud. La première étape était de calibrer le capteur,
ensuite de mesurer la vitesse de l’écoulement en différents points. Grace à
cette manipulation nous avons pu déterminer le profil de vitesse de
l’écoulement : celui-ci est assez faible près des parois et plus important plus on
se rapproche du centre. Ainsi nous avons pu visualiser l’influence de la viscosité
d’un fluide, ici de l’air. Enfin à partir du profil de vitesse une intégration sur la
section du tube nous permet d’avoir le débit de l’écoulement.