Chapitre III. REGIMES D`ECOULEMENT

Chapitre III. REGIMES D'ECOULEMENT
L'écoulement d'un fluide, peut se produire de deux façons différentes, selon les conditions locales de
vitesse. En effet, depuis très longtemps, on a observé qu'à faible vitesse, l'écoulement se faisait de telle façon
qu’en régime permanent, les lignes de courant sont stables et ne se mélangent pas. Dans cet écoulement,
appelé laminaire, les couches fluides glissent les unes sur les autres et il n'y a pas de transfert de particules d'un
filet fluide à un autre.
Par ailleurs, lorsque la vitesse croît, les filets fluides paraissent osciller et vibrer, puis ils perdent leur
identité propre. Dans ce régime, appelé turbulent, les particules oscillent rapidement autour de leur trajectoire.
III.1 NOMBRE DE REYNOLDS
III.1.1 Définition
Le passage d'un régime à l'autre dépend de la valeur d'un paramètre adimensionnel, le nombre de
Reynolds.
Re =
VD
où V est une vitesse caractéristique de l'écoulement,
D est une des dimensions géométriques,
et  est le coefficient de viscosité cinématique du fluide.
Par exemple, dans le cas de l'écoulement dans une conduite circulaire, si on prend pour valeur de V la vitesse
moyenne du fluide [ V =
S
Q
] et pour D la valeur du diamètre de la conduite, le nombre critique de Reynolds est
de 2000.
Si Re < 2000 Régime laminaire
Si Re >> 2000 Régime turbulent
Une autre façon de présenter la condition pour que le régime soit laminaire est de poser :
V < 2000
D
= Vc , Vc étant appelé vitesse critique.
Pour le cas d'une conduite de 10 cm de diamètre transportant de l'eau à 20º C, on a :
D = 0,1m  = 10-6 maSk  Vc =
1,0 10
2000 6
= 2.10-2 m/s
On voit alors que dans la plupart des problèmes pratiques d'hydraulique, on aura affaire au régime
turbulent (exception importante pour l'hydraulique souterraine).
III.1.2 Signification physique du nombre de Reynolds
Les principales forces qui interviennent en hydraulique sont les forces d'inertie, de turbulence, de
pesanteur, de viscosité et de capillarité.
Lors de l'établissement des formules de Navier-Stokes, les forces d'inertie avaient pour composantes :
 =
dt
du
=  u
x
u
+ .....
Ces forces étaient donc proportionnelles à 
D
V2
.
Les forces de viscosité avaient pour composantes... µ
2
2
x
U
+ ...
... elles étaient donc proportionnelles à µ
D
V2
.
On montre alors que...
D
V2
proportionnel aux forces d'inertie
µ
D
V2
proportionnel aux forces de viscosité

... et on a :
D
D
V2
=
D V
=
D V
= Re
Le nombre de Reynolds est donc une quantité proportionnelle au rapport des forces d'inertie aux forces
de viscosité.
III.2 REGIME LAMINAIRE
III.2.1 Conditions d'existence
Comme on l'a vu précédemment, le régime laminaire existe pour de faibles valeurs du nombre de
Reynolds, c'est-à-dire :
- si le fluide est très visqueux ;
- si les vitesses sont lentes ;
- si les dimensions sont faibles.
Ces conditions sont peu fréquentes dans l'hydraulique classique et on ne les rencontre guère que dans les
domaines de la lubrification, et des écoulements en milieux poreux.
III.2.2 Ecoulement de Poiseuille dans un tube cylindrique
Soit un tube rectiligne de section circulaire constante de rayon r ; le fluide s'y déplace en régime
laminaire et permanent. Dans ces conditions, le mouvement est uniforme, l'écoulement reste le même dans
tous les plans passant par l'axe du tube. Nous étudierons cet écoulement dans le plan vertical passant par l'axe du
tube.
Soit  l'angle de la verticale avec l'axe du tube ;
l'équilibre du cylindre de rayon y entre les sections S1 et S2
s'écrit en projection sur l'axe du tube :
- le poids est :
-  g
y2 l cos  = -  g
y2 (z2 - z1)
- la résultante des pressions est : (P1 - P2)
y2
- la réaction sur la surface latérale est :
-  2
y l = µ
dy
du
2
y l
L'équilibre de ces forces permet d'écrire :
 g
y2 (z2 - z1) + µ
dy
du
2
y l + (P1 - P2)
y2 = 0
-
dy
du
=
l2gy 
(z2 - z1) + (P1 - P2)
l2y
P*1 = P1 +  gz1 et P*2 = P2 +  gz2
-
dy
du
=
l2y
(P*1 – P*2)
- du =
l2 2
*P -
1
*P 
y dy
- u =
l4 2
*P -
1
*P 
y2 + Cte
Or, comme condition à la limite, on a : r = y U = 0
U =
l4 2
*P -
1
*P 
(r2 + y2)
La vitesse croît donc selon un rayon de façon parabolique ; le débit s'obtient en intégrant la vitesse sur
toute la surface :

Q =
r
o
2 y dy U
Q =
r
o
2 y
l4 2
*P -
1
*P 
(r2 + y2) dy
Q =
l2
*P
1
*P
8r
4
Soit V la vitesse moyenne : V =
S
Q
=
8
r
l2
*P
1
*P 2
Soit Vm la vitesse maximale : Vm =
l4 2
*P -
1
*P 
r2 = 2 V
Le régime étant permanent, les vitesses en S1 et S2 sont les mêmes et
g2
*P -
1
*P 
représente la perte de charge
entre ces deux sections :
g2
*P -
1
*P 
= j l
j =
l g 2
*P -
1
*P 
En posant j =
Error!
 =
V
gD22
l g 2
*P -
1
*P 
Or :
l2
*P -
1
*P
=
rV8 2
 =
V
D2 2
rV8 2
r =
2
D
l =
VD
64
= 64
VD
l
=
Re
64
 =
Re
64
III.2.3 Ecoulement entre deux plans parallèles. Analogie Hele-Shaw
Soit un écoulement laminaire permanent d'un fluide incompressible entre deux plaques planes et
parallèles. L'équation de Navier-Stokes s'écrit :
V
dt
Vd
FPgrad 
1
Dans le système d'axe choisi : F 
 o
-g
o
x
P 1
= -
dt
du
+ 
u
y
P 1
= - g -
dt
dv
+ 
v
z
P 1
= -
dt
dw
+ 
w
x
y
z
e
La vitesse demeurant parallèle aux plaques, w est nul et l'équation de continuité qui s'écrivait...

div 
V
= 0 ;  = Cte div
V
= 0 =
x
u
+
y
v
+
z
w
... se ramène à :
x
u
+
y
v
= 0
En régime permanent :
t
u
=
t
v
= 0
d'où :
y
v
v
x
v
u
dt
dv y
u
v
x
u
u
dt
du
En faisant apparaître la pression étoilée = P* = P*1 +  gy1, les équations s'écrivent :
V
dt
Vd
Pgrad  *
1
Cet écoulement laminaire se faisant à faible vitesse et avec une faible courbure des filets liquides, on peut
négliger les forces d'inertie devant les forces de viscosité, d'où l'équation :
VPgrad  *
1
][
*
][
*
][
*
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
zw yw xw
µ
z
Pzv
yv xv
µ
y
Pzu
yu xu
µ
x
P
Or, les filets fluides étant peu courbés, la vitesse varie beaucoup plus vite dans la direction Oz que dans
les deux autres. Il en résulte que...
2
2
zu
+
2
2
yu
et
2
2
xv
+
2
2
yv
... sont négligeables devant :
2
2
zu
et
2
2
zv
Comme par ailleurs w = 0, les équations de Navier-Stokes se ramènent à :
0
*
*
?*
2
2
2
2
z
Pzv
µ
y
Pzu
µ
x
P
Cet écoulement satisfait l'équation de Laplace. En effet, on a :
x
u
+
y
v
= 0
2
2*
x
P
= µ
x
zu
][ 2
2
;
2
2
?* y
P
= µ
y
zv
][ 2
2

2
2*
x
P
+
2
2*
y
P
= µ
2
2][
zy
v
x
u
= 0 = P*
Si on intègre deux fois par rapport à z :
2
2
zu
=
1
[
x
P *
]
z
u
=
x
P
µ
*1
z + C (x,y)
u =
x
P
µ
*
2
1
z2 + C (x,y) z + D (x,y)
La distribution des vitesses étant symétrique : C (x,y) = 0
0w
)y,x(Gz
y*P µ2
1
v
)y,x(Dz
x*P µ2
1
u
V2
2
Pour z = ±
2
e
, u = v = 0 et pour z = 0, u = u max, v = v max
2
2
2
*
2
1
max
2
*
2
1
max
e
y
P
µ
v
e
x
P
µ
u
0w 2/e
z2/e
maxvv
2/e
z2/e
maxuu
V2
2
2
2
2
2
Les vitesses moyennes s'obtiennent alors en faisant :
2
2
1e
e
dzxyzU
e
Umoy
U moy =
3
2
U max = -
3
2
8
2
e
x
P*
V
moy
y
P
µ
e
Vmoy
x
P
µ
e
Umoy
*
12
*
12
2
2
L'écoulement dans un milieu poreux se met sous la forme :
v
= -
µ
k
P*
Il y a donc analogie avec la forme de l'écoulement entre deux plaques rapprochées où
V
moy = -
µ
e
12
2
P*