80-630-00 - Programmation linéaire et en nombres entiers

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A2010 :
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onibilité
:
Programmation linéaire et en nombres entiers
J01
Chauny,Fabien
Présentation
Objectifs
La programmation linéaire est le principal outil de modélisation en recherche opérationnelle. C'est aussi la
source des principales méthodes avancées de la programmation mathématique, qui permettent de résoudre
les programmes quadratiques, entiers, stochastiques, etc. Ses développements seront étudiés dans plusieurs
autres cours de la maîtrise. Dans la première partie du cours nous verrons les bases de la programmation
linéaire (modélisation, algorithme du simplexe, dualité). L'algorithme de décomposition de Dantzig-Wolfe y
sera aussi présenté. On retrouve très souvent une complication dans les applications en gestion, c'est la
contrainte qui dit que les variables doivent prendre des valeurs entières. La deuxième partie du cours sera
consacrée à l'aspect nombre entier. Nous y verrons des problèmes types (sac de campeur, voyageur de
commerce, couplage,...) et leur formulation, les difficultés rencontrées pour résoudre ces problèmes et les
algorithmes utilisés pour y parvenir.
Du point de vue théorique le cours visera :
1. à donner aux étudiants une connaissance approfondie de la théorie mathématique à la base de la
Recherche Opérationnelle : la programmation linéaire;
2. à présenter les principales techniques utilisées pour accélérer la résolution des problèmes en nombres
entiers.
ET du point de vue pratique :
3. à perfectionner l'aptitude des étudiants à modéliser des problèmes de gestion sous forme de programmes
linéaires avec ou sans la contrainte de nombres entiers (problèmes de production, de stockage, de distribution,
de gestion de personnel, de finance, de marketing ...) et à analyser les résultats obtenus à l'aide de ces
modèles;
4. à initier les étudiants à l'emploi d'un logiciel de programmation linéaire de qualité industrielle (par exemple
CPLEX).
Approche pédagogique
Pour la partie théorique, les notes de cours seront prises dans les livres de Luenberger et de Chvátal pour la
première partie - Programmation linéaire et algorithme du simplexe. (séance 1 à 5) et dans le livre de Wolsey
pour la deuxième partie - Programmation linéaire en nombres entiers (séance 6 à 12).
Coordonnées
Enseignant : Fabien Chauny
4.852
[e-mail]
514-340-6875
Secrétaire : Jennifer Caron
4.632
[e-mail]
514-340-6473
MAINTENANCE:
ZoneCours sera
non disponible les
samedis de 1h à
6h du matin.
Merci de votre
collaboration.
Voir la version
complète du plan
de cours via
ZoneCours 2.0
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de 8h à 12h et de 13h à 16h30
Matériel pédagogique
Ressources Complémentaires
Chvátal, Vašek (1983). Linear programming , W.H. Freeman, New York .
ISBN : 0716711958 (pbk.)
Bradley, Stephen P. (1977). Applied mathematical programming , Addison-Wesley, Reading, Mass. .
ISBN : 020100464X
Luenberger, David G (1984). Linear and nonlinear programming , Addison-Wesley, Reading, Mass. .
ISBN : 0201157942
Nemhauser, George L (1988). Integer and combinatorial optimization , Wiley, New York .
ISBN : 047182819X
Williams, H. P (1999). Model building in mathematical programming , J. Wiley, Chichester .
ISBN : 0471997889
F.S. Hillier et G.J. Lieberman (2005). Introduction to Operations Research, McGraw Hill, 8e édition, .
J.P. Ignizio, T.M. Cavalier (1994). Linear Programming, Prentice Hall, .
L. Lasdon (2002). Optimization Theory for Large Systems, Dover Publications, .
J. Lee (2004). «A first course in combinatorial optimization », Cambridge University Press, vol. , no. , p. .
Références bibliographiques
Wolsey, Laurence A (1998). Integer programming , J. Wiley & Sons, New York .
ISBN : 0471283665
Ce livre est fortement recommandé.
Travaux et examens
Examen intra (30%)
Examen final (40%)
4 devoirs (30%)
Plagiat
Les étudiants sont priés de consulter l' article 12 du Règlement régissant l'activité étudiante à HEC Montréal
intitulé Plagiat et fraude, de prendre connaissance des actes et des gestes qui sont considérés comme étant du
plagiat ou une autre infraction de nature pédagogique (12.1), de la procédure (12.2) et des sanctions, qui peuvent
aller jusqu'à la suspension et même l'expulsion de l'École (12.3). Toute infraction sera analysée en fonction des
faits et des circonstances, et une sanction sera appliquée en conséquence.
Liste des séances
Séance 1 : Le modèle de programmation linéaire
Description
Le modèle de programmation linéaire. Cadre conceptuel. Application à des modèles simples de gestion
(production optimale sous contraintes de capacité, budget, personnel, problèmes de mélanges, etc.).
Formulations standards. Hypothèses.
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Séance 2 : L'algorithme du simplexe
Description
L'algorithme du simplexe. Principe (méthode graphique). Dictionnaires et tableau du simplexe.
Ressources générales
Problème séance 2
Un petit problème sur l'algorithme du simplexe
Fichier Excel
Petit ficheir Excel pratique...
Séance 3 : Cas problématiques
Description
Cas problématiques. Dégénérescence et cyclage. Théorème de convergence. Théorème fondamental
de la programmation linéaire.
Séance 4 : Dualité : Motivation, programmes primal et dual
Description
Dualité : Motivation, programmes primal et dual.
Théorème de la dualité. Théorème des écarts complémentaires.
Interprétation économique de la dualité dans les modèles de production et de distribution.
Analyse de sensibilité.
Ressources générales
Exedmple cours 4 (Fichier Excel)
Séance 5 : Principe de décomposition de Dantzig-Wolfe
Description
Algorithme révisié du simplexe
Génération de colonnes (Problème de cutting-stock).
Principe de décomposition de Dantzig-Wolfe : Principe. Application au cas de matrices
bloc-angulaires.
Séance 6 : Introduction
Description
Introduction : Formulations de problèmes en nombres entiers (entier pur, mixte et 0-1).
Applications (problème du sac de campeur, problème de recouvrement, voyageur de commerce).
Formulations équivalentes.
Séance 7 : Optimalité, relaxations et bornes; Programmation dynamique
Description
Optimalité, relaxations et bornes. Relaxation linéaire, relaxation combinatoire , relaxation surrogate et
relaxation lagrangienne. Dualité faible.
Bornes primales : algorithmes gloutons et algorithmes de recherche locale.
Programmation dynamique. Principes de base. Méthodologie. Résolution de problèmes de taille
optimale de lot, problèmes de plus court chemin, problèmes de sac de campeur.
Séance 8 : Notions de complexité et l'algorithme de séparation et d'évaluation progressive
Description
Notions de complexité.
L'algorithme de séparation et d'évaluation progressive. Principe de base. L'algorithme d'énumération
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implicite. Pré-traitement.
Séance 9 : Algorithmes de plans coupants
Description
Algorithmes de plans coupants. Inégalités valides. Coupes de Gomory (Cas entier pur et cas mixte).
Applications.
Séance 10 : Inégalités valides fortes
Description
Inégalités valides fortes. Analyse polyhédrale. Facettes. Procédures de lifting. Algorithme Branch-and-cut.
Ressources utilisées pendant la séance
GAPBranch_cut
Exemple de génération de coupes.
Exemple sur Lagrangien
Séance 11 : Algorithme de décomposition de Benders
Description
Algorithme de décomposition de Benders.
Principe et mécanique.
Applications.
Séance 12 : Heuristiques
Description
Heuristiques.
Principes.
Heuristiques classiques en optimisation combinatoire.
Métaheuristiques.
Analyse de la performance et de la complexité.
Applications
Dernière mise à jour: 2011-01-06 09:06
Méthodes quantitatives
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