Triangle rectangle et cercle circonscrit
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Mathématiques pour la classe de Quatrième − Savoir faire 1 (Construction la médiatrice de [AB] au compas). Chapitre 7 ● Étape 1 : Place le point M à égale distance de A et de B. Triangle rectangle et cercle circonscrit - Rémi CHEVAL N Choisie un écartement de compas. Trace deux arcs cercle qui se coupent. L’un partant de A. L’autre partant de B. A ● Étape 2 : Place le point N à égale distance de A et de B. www.podcast-science.com On répète l’étape 1 de l’autre côté du segment [AB]. 7 janvier 2015 B M ● Étape 3 : La médiatrice de [AB] est la droite (M N ) Table des matières 1 Quelques rappels 1.1 La médiatrice d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Le cercle circonscrit d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 2 Propriété du triangle rectangle 2.1 À la découverte de cette propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Application de la propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 1.2 Le cercle circonscrit d’un triangle Définition. Le cercle circonscrit au triangle ABC est un cercle qui passe par les trois sommets A ; B et C. On dit alors que le triangle est inscrit dans ce cercle circonscrit. Savoir faire 2 (Construction du cercle circonscrit du triangle ABC). C 3 Démontrer qu’un triangle est rectangle 3.1 Énoncé de la propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Démonstration de la propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Application de la propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 3 ● Étape 1 : Trace la médiatrice de [AB]. ● Étape 2 : Trace la médiatrice de [BC]. On note O l’intersection de ces deux médiatrices. O A ● Étape 3 : Trace le cercle de centre O et de rayon OA. 1 1.1 B Quelques rappels La médiatrice d’un segment Pourquoi cette construction fonctionne-t-elle si bien ? Définition (Médiatrice d’un segment). La médiatrice d’un segment [AB] est formée de tous les points qui sont à égale distance de A et de B. 1) Démontrons que les médiatrices de [AB] et de [BC] se coupent bien. Si ces deux médiatrices ne se coupent pas, alors ce sont des droites parallèles. Par les propriétés des droites parallèles et perpendiculaires, on peut démontrer alors que les côtés (AB) et (BC) sont également parallèles. Propriété. Soit A et B deux points différents. La médiatrice du segment [AB] est : ● la droite perpendiculaire à la droite (AB) ● passant par le milieu du segment [AB]. Or dans un triangle, les côtés ne sont pas jamais parallèles. A ∣∣ Donc les deux médiatrices sont bien sécantes. ∣∣ 2) Démontrons que : B OA = OB = OC. On sait que O est sur la médiatrice de [AB]. Or les points sur la médiatrice d’un segment sont à égale distance des extrémités de ce segment. Donc OA = OB. De la même, on sait que : O est sur la médiatrice de [BC]. Donc OB = OC. Pour tracer une médiatrice, nous allons simplement utiliser le fait que la médiatrice est composée des points à égale distance de A et de B et qu’elle est une droite. http://www.podcast-science.com Page 1/4 Conclusion : OA = OB = OC. Ce Qu’il Fallait Démontrer. Chapitre 7 - Triangle rectangle et cercle circonscrit 2 Propriété du triangle rectangle Activité (Démonstration de la propriété). 2.1 À la découverte de cette propriété 1) Tracer un triangle EF G rectangle en F . Placer le point I, milieu du segment [EG]. Définition (Conjecture). Information pour laquelle on ne connaît pas encore de démonstration, mais que l’on soupçonne d’être vraie, en l’absence de contre-exemple. Construire le point H, symétrique du point F par rapport au point I. 2) Démontrer que le quadrilatère EF GH est un rectangle. 3) a) Que représente le segment [EG] pour le triangle EF G ? b) Tracer le cercle de diamètre [EG]. c) Justifier que le point F appartient à ce cercle. Activité (Conjecturons la propriété). 1) a) Tracer un triangle EF G rectangle en F . Construire la médiatrice du segment [EF ] et la médiatrice du segment [F G]. Réponse. b) Où semblent se couper ces deux médiatrices ? ̂ 2) On a : I est le milieu de [EG] et de [F H] / EF G = 90○ 2) a) Tracer le cercle circonscrit au triangle EF G. b) Que semble représenter le segment [EG] pour le cercle tracé ? E ⎧ un quadrilatère a un angle droit et ses ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ si diagonales qui se coupent en leur milieu, Or ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ alors ce quadrilatère est un rectangle. ⎪ ⎩ Réponse. Au vue des questions, il me semble important de relire les deux savoirs faire de la première partie pour les appliquer ici correctement. H ○ ∣∣ I ∣∣ ○ F Donc EF GH est un rectangle. G 3) a) Le segment [EG] est l’hypoténuse du triangle EF G. E 1) b) Les deux médiatrices semblent se couper au milieu de [EG]. 2) b) Le segment [EG] semble représenter le diamètre du cercle circonscrit au triangle EF G. c) Il suffit de démontrer que : O On sait que : EF GH est un rectangle. Or F dans un rectangle, les diagonales sont de même longueur. Donc G EG = F H Conclusion : Propriété. ● Si IF = IE. 2.2 IF = FH EG = = IE 2 2 Application de la propriété un triangle est rectangle, ● Alors, Exercice (Page 199). Le triangle IJK est rectangle en K. ● On donne : IJ = 6, 8 cm et KJ = 4, 7 cm. ● Préciser le rayon du cercle circonscrit au triangle IJK. Justifier la réponse. Choix 1 : son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. Choix 2 : le milieu de son hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit. Choix 3 : le rayon de son cercle circonscrit mesure la moitié de longueur de son hypoténuse. http://www.podcast-science.com Réponse. « Il faut se répéter pour que le message passe et pour que le message passe, il faut se répéter ». Donc je vais me répéter. On commence toujours par faire un schéma de la situation à mains levées pour comprendre ce qu’il se passe. Page 2/4 Chapitre 7 - Triangle rectangle et cercle circonscrit On sait que ⎧ ⎪ si ⎪ ⎪ ⎪ Or ⎨ ⎪ alors ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ : IJK est un triangle rectangle en K. ∣∣ un triangle est rectangle, ● On sait que les triangles ABO et AOC sont isocèles en O. le rayon de son cercle circonscrit est la moitié de longueur de son hypoténuse. Donc le rayon de ce cercle mesure IJ 6, 8 = = 3, 4 cm 2 2 ● L’objectif est de démontrer que le triangle ABC est rectangle en A. Pour cela, nous allons travailler sur les angles ̂ = 90○ . et ainsi démontrer que : BAC I ● Or les triangles isocèles ont leurs angles à la base de même mesure. A ̂ = BAO ̂ ̂ = CAO ̂ ● Donc ABO et ACO ∣∣ K J C ∣∣ ∣∣ ● Or la somme des angles dans un triangle vaut 180○ . ̂ ● Donc BAC = = = 3 = Démontrer qu’un triangle est rectangle ̂ BAC 3.1 = O ∣∣ ̂ + CAO ̂ BAO ̂ + BAO ̂ + CAO ̂ + CAO ̂ BAO 2 ̂ + BAO ̂ + CAO ̂ + ACO ̂ ABO 2 180○ 2 90○ B Énoncé de la propriété Propriété. 3.3 Application de la propriété ● Si l’un des côtés d’un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle. ● Si le milieu du grand côté d’un triangle est le centre de son cercle circonscrit, alors Exercice (Page 200). Sur la figure, le cercle (C) a pour diamètre le segment [AB]. ce triangle est rectangle. I ● Si le rayon du cercle circonscrit d’un triangle mesure la moitié de longueur de son grand côté, alors ce triangle est rectangle. ∣∣ ● La droite (AE) coupe ce cercle au point F . ● Justifier que le triangle AF B est rectangle en F . ∣∣ K 3.2 J Démonstration de la propriété Je vais encore me répéter mais commençons par un schéma de la situation : ● On trace un cercle qui sera le cercle circonscrit de notre triangle. ● L’un des diamètres est le grand côté de notre triangle. http://www.podcast-science.com Réponse. « Il faut se répéter pour que le message passe et pour que le message passe, il faut se répéter ». Donc je vais me répéter. On commence toujours par faire un schéma de la situation à mains levées pour comprendre ce qu’il se passe. Page 3/4 Chapitre 7 - Triangle rectangle et cercle circonscrit Extrait du programme officiel On sait que ⎧ ⎪ si ⎪ ⎪ ⎪ Or ⎨ ⎪ alors ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ : IJK est un triangle rectangle en K. I ∣∣ un triangle est rectangle, le rayon de son cercle circonscrit est la moitié de longueur de son hypoténuse. IJ 6, 8 Donc le rayon de ce cercle mesure = = 3, 4 cm 2 2 http://www.podcast-science.com Connaissances Capacités *Opérations (+, −, ×) sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire (non nécessairement simplifiée). – *Multiplier, additionner et soustraire des nombres relatifs en écriture fractionnaire. ∣∣ K Commentaires *L’addition de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire demande un travail sur la recherche de multiples communs à deux ou plusieurs nombres entiers dans des cas où un calcul mental est possible. Savoir additionner et soustraire des entiers relatifs et multiplier deux nombres positifs écrits sous forme décimale ou fractionnaire deviennent des capacités exigibles dans le cadre du socle commun. J Page 4/4 Chapitre 7 - Triangle rectangle et cercle circonscrit
