Triangle rectangle et cercle circonscrit

Mathématiques pour la classe de Quatrième −Chapitre 7
Triangle rectangle et cercle circonscrit
Rémi CHEVAL -www.podcast-science.com
7 janvier 2015
Table des matières
1 Quelques rappels 1
1.1 La médiatrice d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Le cercle circonscrit d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Propriété du triangle rectangle 2
2.1 À la découverte de cette propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Application de la propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Démontrer qu’un triangle est rectangle 3
3.1 Énoncé de la propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 Démonstration de la propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.3 Application de la propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Quelques rappels
1.1 La médiatrice d’un segment
Définition ( Médiatrice d’un segment). La médiatrice d’un segment [AB] est formée de tous
les points qui sont à égale distance de Aet de B.
Propriété. Soit Aet Bdeux points différents.
La médiatrice du segment [AB]est :
●la droite perpendiculaire à la droite (AB)
●passant par le milieu du segment [AB].
A
B
∣∣ ∣∣
Pour tracer une médiatrice, nous allons simplement utiliser le fait que la médiatrice
est composée des points à égale distance de Aet de Bet qu’elle est une droite.
Savoir faire 1 (Construction la médiatrice de [AB]au compas).
●Étape 1 : Place le point Mà égale distance de Aet de B.
Choisie un écartement de compas. Trace deux arcs cercle
qui se coupent. L’un partant de A. L’autre partant de B.
●Étape 2 : Place le point Nà égale distance de Aet de B.
On répète l’étape 1 de l’autre côté du segment [AB].
●Étape 3 : La médiatrice de [AB]est la droite (M N)
A
B
M
N
1.2 Le cercle circonscrit d’un triangle
Définition. Le cercle circonscrit au triangle ABC est un cercle qui passe par les trois
sommets A;Bet C.On dit alors que le triangle est inscrit dans ce cercle circonscrit.
Savoir faire 2 (Construction du cercle circonscrit du triangle ABC).
●Étape 1 : Trace la médiatrice de [AB].
●Étape 2 : Trace la médiatrice de [BC].
On note Ol’intersection de ces deux médiatrices.
●Étape 3 : Trace le cercle de centre Oet de rayon OA.A B
C
O
Pourquoi cette construction fonctionne-t-elle si bien ?
1) Démontrons que les médiatrices de [AB]et de [BC]se coupent bien.
Si ces deux médiatrices ne se coupent pas, alors ce sont des droites parallèles.
Par les propriétés des droites parallèles et perpendiculaires, on peut démontrer
alors que les côtés (AB)et (BC)sont également parallèles.
Or dans un triangle, les côtés ne sont pas jamais parallèles.
Donc les deux médiatrices sont bien sécantes.
2) Démontrons que : OA =OB =OC.
On sait que Oest sur la médiatrice de [AB].Or les points sur la médiatrice d’un
segment sont à égale distance des extrémités de ce segment. Donc OA =OB.
De la même, on sait que : Oest sur la médiatrice de [BC].Donc OB =OC.
Conclusion : OA =OB =OC.Ce Qu’il Fallait Démontrer.
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2 Propriété du triangle rectangle
2.1 À la découverte de cette propriété
Définition ( Conjecture). Information pour laquelle on ne connaît pas encore de dé-
monstration, mais que l’on soupçonne d’être vraie, en l’absence de contre-exemple.
Activité (Conjecturons la propriété).
1) a) Tracer un triangle EF G rectangle en F.
Construire la médiatrice du segment [EF ]et la médiatrice du segment [F G].
b) Où semblent se couper ces deux médiatrices ?
2) a) Tracer le cercle circonscrit au triangle EF G.
b) Que semble représenter le segment [EG]pour le cercle tracé ?
Réponse. Au vue des questions, il me semble important de relire les deux savoirs
faire de la première partie pour les appliquer ici correctement.
1) b) Les deux médiatrices semblent se cou-
per au milieu de [EG].
2) b) Le segment [EG]semble représenter le
diamètre du cercle circonscrit au tri-
angle EF G.F G
E
O
Propriété.
●Si un triangle est rectangle,
●Alors,
Choix 1 : son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit.
Choix 2 : le milieu de son hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.
Choix 3 : le rayon de son cercle circonscrit mesure la moitié de longueur de
son hypoténuse.
Activité (Démonstration de la propriété).
1) Tracer un triangle EF G rectangle en F.
Placer le point I, milieu du segment [EG].
Construire le point H, symétrique du point Fpar rapport au point I.
2) Démontrer que le quadrilatère EF GH est un rectangle.
3) a) Que représente le segment [EG]pour le triangle EF G ?
b) Tracer le cercle de diamètre [EG].
c) Justifier que le point Fappartient à ce cercle.
Réponse.
2) On a : Iest le milieu de [EG]et de [F H]/̂ EF G = 90
○
Or
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
si un quadrilatère a un angle droit et ses
diagonales qui se coupent en leur milieu,
alors ce quadrilatère est un rectangle.
Donc EF GH est un rectangle. F G
E
I
○
○
∣∣
∣∣
H
3) a) Le segment [EG]est l’hypoténuse du triangle EF G.
c) Il suffit de démontrer que : IF =IE.
On sait que : EF GH est un rectangle.
Or dans un rectangle, les diagonales sont de même longueur.
Donc EG =F H
Conclusion : IF =F H
2=EG 2=IE
2.2 Application de la propriété
Exercice (Page 199). Le triangle IJK est rectangle en K.
●On donne : IJ =6,8cm et KJ =4,7cm.
●Préciser le rayon du cercle circonscrit au triangle IJK. Justifier la réponse.
Réponse. « Il faut se répéter pour que le message passe et pour que le message
passe, il faut se répéter ». Donc je vais me répéter. On commence toujours par faire
un schéma de la situation à mains levées pour comprendre ce qu’il se passe.
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On sait que : IJK est un triangle rectangle en K.
Or
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
si un triangle est rectangle,
alors le rayon de son cercle circonscrit est la
moitié de longueur de son hypoténuse.
Donc le rayon de ce cercle mesure IJ
2=6,8 2=3,4cm K J
I
∣∣
∣∣
3 Démontrer qu’un triangle est rectangle
3.1 Énoncé de la propriété
Propriété.
●Si l’un des côtés d’un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit,
alors ce triangle est rectangle.
●Si le milieu du grand côté d’un triangle est le centre de son cercle circonscrit,
alors ce triangle est rectangle.
●Si le rayon du cercle circonscrit d’un triangle mesure la moitié de longueur de
son grand côté, alors ce triangle est rectangle.
3.2 Démonstration de la propriété
Je vais encore me répéter mais commençons par un schéma de la situation :
●On trace un cercle qui sera le cercle circonscrit de notre triangle.
●L’un des diamètres est le grand côté de notre triangle.
●L’objectif est de démontrer que le triangle ABC est rec-
tangle en A.Pour cela, nous allons travailler sur les angles
et ainsi démontrer que : ̂ BAC =90○.
●On sait que les triangles ABO et AOC sont isocèles en O.
●Or les triangles isocèles ont leurs angles à la base de même
mesure.
●Donc ̂ ABO =̂ BAO et ̂ ACO =̂ CAO
●Or la somme des angles dans un triangle vaut 180○.
●Donc ̂ BAC =̂ BAO +̂ CAO
=̂
BAO +̂ BAO +̂ CAO +̂ CAO
2
=̂
ABO +̂ BAO +̂ CAO +̂ ACO
2
=180○
2
̂
BAC =90○
A
B
C
∣∣
∣∣
∣∣
O
3.3 Application de la propriété
Exercice (Page 200). Sur la figure, le cercle (C)a pour diamètre le segment [AB].
●La droite (AE)coupe ce cercle au point F.
●Justifier que le triangle AF B est rectangle en F.
K J
I
∣∣
∣∣
Réponse. « Il faut se répéter pour que le message passe et pour que le message
passe, il faut se répéter ». Donc je vais me répéter. On commence toujours par faire
un schéma de la situation à mains levées pour comprendre ce qu’il se passe.
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On sait que : IJK est un triangle rectangle en K.
Or
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
si un triangle est rectangle,
alors le rayon de son cercle circonscrit est la
moitié de longueur de son hypoténuse.
Donc le rayon de ce cercle mesure IJ
2=6,8 2=3,4cm K J
I
∣∣
∣∣
Extrait du programme officiel
Connaissances Capacités Commentaires
*Opérations (+,−,×)
sur les nombres rela-
tifs en écriture frac-
tionnaire (non néces-
sairement simplifiée).
– *Multiplier, additionner et
soustraire des nombres rela-
tifs en écriture fractionnaire.
*L’addition de deux nombres re-
latifs en écriture fractionnaire de-
mande un travail sur la recherche
de multiples communs à deux ou
plusieurs nombres entiers dans des
cas où un calcul mental est pos-
sible.
Savoir additionner et soustraire
des entiers relatifs et multiplier
deux nombres positifs écrits sous
forme décimale ou fractionnaire
deviennent des capacités exigibles
dans le cadre du socle commun.
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