Le foncteur T-. Globalisation du foncteur T

Séminaire Samuel.
Algèbre commutative
J EAN -P IERRE O LIVIER
Le foncteur T −∞ . Globalisation du foncteur T
Séminaire Samuel. Algèbre commutative, tome 2 (1967-1968), exp. no 9, p. 1-10
<http://www.numdam.org/item?id=SAC_1967-1968__2__A9_0>
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9-01
Séminaire P SANUEL
n
(Algèbre conmutative)
1967/68, n° 9
14 février 1968
Année
T-~.
LE FONCTEUR
T
GLOBALISATION DU FONCTEUR
Jean-Pierre OLIVIER
T
I. Le foncteur
0
Rappelon.s qu’un morphisme d’anneaux f : A -a B est radiciel si, et seulement
si, f red est un épimorphisme de la catégorie des anneaux réduits. Le but de ce
paragraphe est de construire un foncteur qui joue le jeu du foncteur T pour les
morphismes
radiciels.
1. Cas des
anneaux
Soit
p.l
=
nombre
un
p
0 . Dans
ce
caractéristi ue P f
de
Un
premier.
morphisme
radiciel. Pour que
réduit. Nous disons que
est
A
la
parfaits
p
de
Ann
sous-catégorie pleine
caractéristique
de
p
si
est
un.
dont les
un
~2014~ xp ,
isomorphisme.
objets
dont les
Ann
x
sont les
objets
en.do-
c’est
il faut et il suffit que
est
Fr
si
parfait
de
l’endomorphisme
Fr
injectif,
soit
Fr
Annp la sous-catégorie pleine
ractéristique p j9
Ann
n,y
A . Nous noterons
de l’anneau
caractéristique
Inapplication x ~ xP
est dit de
A
anneau
cas, pour tout entier
morphisme
0 .
un
A
soit
de
ca-
Notons
anneaux
sont les
anneaux
p .
PROPOSITION 1. - Le foncteur
Ann
injection canonique Ann
a un
ad-
-f
’
joint à gauche
Parf.
.
Démonstration. - Etant donné
inductif
système
le
a E
une
Soit
neau
(A n cp .1 ~) ~,
les
A ; alors la limite inductive
Voici
un anneau
réduit parfait
phisme
f :i
A -~ B
où
et
a
parfait,
_
f :
AP
_
-~ B
vérifiant
f
=
f 0
h .
p,
on
considère
pour
faut pour être
propriétés qu’il
morphisme
un
est
B
caractéristique
~
caractéristique
réduit de
AP
de
explicite,y probablement
démonstration plus
A
A
un anneau
A
p,y
Parf (A) .
a
inutile.
allon.s construire
un an-
tels que, pour tout
mor-
nous
h Ap-~
il existe un, et
un
seul, morphisme
9-02
Considérons le produit
quotient A x N/R ,y où
si, et seulement siy xP
Ces deux lois sont
est
x
~-~ (x, 0)
h
est
de
y
y
un
.
yP
=
Notons
"0 Sur
définie
mettons les deux lois de
A x N
N/R ,
composition
muni des lois
quotients,
h l’application composée de l’application
A x N , et de la surjection canonique A x N -~ AP
et
R,y
avec
A
x
mono morphisme d’ anneaux.
n.
-co
(s(x , n))P = h(x)don,c A
s(x , n) , donc AP
(s(x , n +
On
d’équivalence
naturels) et le
par " (x , n)R(y ,m)
~
dans
A
étant l’ensemble des entiers
est la relation
R
compatibles
AP
un anneau
(N
A x N
a
est
y
est
=
réduit,
parfait.
et
est radiciel. On
h
a
-n
_
Soit
A - B
f :t
un
morphisme où
B
est
vérifie, sans douleur, que f est un
D’autre part, un tel morphisme est unique,
On
y
COROLLAIRE. - Le
Désignons
AP part p
absolument
AP
ment
morphisme
sous-catégorie pleine de Ann ,
plats parfaits de caractéristique p
f
o
h
=
f .
est radiciel.
dont les
Nil A .
sont les
objets
anneaux
;9
Ann, dont les objets sont les
la
injection canonique
AP
’~
anneaux
Ann
~’~P
p
P
absolu-
a un
ad-
gauche T
Ceci est
absolument
immédiate de la proposition 1 et du lemme suivant :
conséquence
une
LEMME. - Soit
f :t
plat
et
morphisme d’anneaux tel que f soit radiciel,y
réduit. Alors B est absolument plat.
A - B
B
un
Démonstration. - Considérons
nue9
tel que
est radiciel et de noyau
la
PROPOSITION 20 - Le foncteur
A
f (s(x , n.)) = f(x)P .
par
sous-catégorie pleine de
plats de car ctéristique p .
joint à
h
car
Parf A
A -~
Posons
parfait.
morphisme d’ann.eaux
o
Spec
B
est
COROLLAIRE. - On
Spec
quasi-compact ;p
a
T-X) ==
Parf
o
B
af
Spec
A
T .
Spec
est
A . C’est
séparé ;9
donc
injection contiSpec B est compact.
une
9-03
PROPOSITION 3. - Soit
propriétés
A
réduit de
un anneau
caractéristique
(f 0)
p
Les
0
équivalentes :
suivantes sont
(1)
tout
(2)
l’ann.eau
A
est absolument
plat
(3)
l’ann.eau
A
est absolument
plat,
morphisme radiciel, de
A
source
et
réduit,
et de but
est
surjection ;
une
parfait9
et tous les corps résiduels de
sont
A
parfaits.
Démons trat ion.
( 1)
==>
(2) :
On
a
(2)
==>
(3) :
La
propriété
(3)
==>
(l) ::
Soit
réduit, on
phisme et,
Donc
f
serve
par
déjà
sait
i
est
B
est
p,
Soient
morphisme
un
de
p
On conclut
A
un annea.u
radiciel à but réduit . On
0
f
injective et
A
est
plat.
B ,
en
conserve
est
an
~
que la
remarquant
af
part,
-~ B
A
f- (p)
quotient réduit.
injectif , où
radiciel
D’autre
par
est
B
est
un
isomor-
isomorphisme.
propriété (3)
se
con-
f :i
et
parfait
réponse
f
est
f
est
surjective,
plat,
f
est
une
De la situation
un
B
le
diagramme commutatif suivant :1
épimorphisme
p
COROLLAIRE. - On
a
on
un
où
et
A
B
sont de caractéris-
réduit. Peut-on conclure de cette situation que
0
est affirmative dans les
localisation
(3),
A -~ B
caractéristique
surjective.
A - B
f :i
a
et
de
parfait ?
On sait que la
(1)
(2)
(3)
premier
se
quotient.
Problème. - Soit
tique
parfait"
est
A
est absolument
B
que
"
A - B
f :t
isomorphisme.
un
Conséquence. -
où
0
pour tout idéal
est
morphisme
A
cas
suivants :i
ponctuelle.
con.clut le corollaire ci-dessous1
T =
T
o
Parf.
9-04
général.
2. Cas
PROPOSITION 4. - Soit
miers).
Le foncteur
n
premier ~
0 .
absolument
plat
y
Toute flèche de
est de
A
dans
A
adjoint
e(p) l’idempotent
notons
e(p) l’idempotent
c’est-à-dire l’image du e(p)
A:.
caractéristique
un anneau
l’ensemble des nombres pre-
a un
à droite
20142014201420142014~2014201420142014201420142014201420142014
2014
de même
Appelons
A . Dire que
-9
----n
désigne
P
AP
injection
~20142014.2014201420142014201420142014201420142014~2014201420142014
Démonstration. - Dans
(où
U (0)
ep
absolument
plat
originel
caractéristique
l’idéal
Soit alors
1
blème posé
avec
B
plat
de
!if
ont des
on a
A
L
de
Si
est
F
P
U
(0*}
1 -
dans tout
par le
morphisme
e(p)
caractéristique
dernier est
0 . Dire que
e(p)
et
y
on a une
anneau
0 .
=
se
p
abso-
un anneau
pour tout nombre
1
une
partie finie
de
d’une
P U
~0’} ~
est de
A
premier
solution
p.
au
pro-
ou
F
si
est le
complé-
Parjj (A) .
P ,
Les
sur
y
on
note
y
le relèvement du fröbenius de
Fr
p ,y notons
premier
tité
par les
p.l
partie finie de P , alors le foncteur injection
a un adjoint à gauche
Par
( AP désignant la sous-catégorie pleine
dont les objets sont les anneaux absolument plats dont les corps résiduels
caractéristiques appartenant à F ). Si F est une partie finie de P ,
donc le foncteur Par
est plein. Pour tout nombre
= Par (A) x
mentaire dans
de
engendré
=
p est
l’anneau
Conséquences. AEF
e(p)
revient à dire que
0
p ,y si
revient à dire que
p
unique par A/e(p)A y et ce
caractéristique p. On a gagné pour
de
associe à
associé à
factorise donc de manière
lument
Par
20142014n
Fr L
PROPOSITION 5. - Soit
commutent
Fr
le
composé
A
un anneau
des
Par (A)
gui est l’idendeux à deux ; pour toute partie finie
pour p parcourant L .
Fr p
réduit.~, Les
propriétés
suivantes sont
équi-
valentest
(1)
tout
(2)
l’anneau
morphisme
A
radiciel de
est absolument
source
plat
y
A
et de but réduit est
et tous les
isomorphismes ~
( j)
l’anneau
une
endomorphismes
surjection ;
sont des
Fr
p
.
A
est absolument
plat,
et tous les corps résiduels de
sont
A
parfaits.
La démonstration est
fiant les conditions
sous-catégorie pleine
parfaits.
calquée sur celle
de la proposition 5
de
AP
de la
sera
proposition 3. Un anneau
dit parfait. Notons AP
dont les objets sont les
anneaux
A
absoluments
vérila
plats
9-05
AP parf ~ Ann
injection canonique
PROPOSITION 6. - Le foncteur
a un
adjoint
T~ .
à gauche
Indiquons la construction. Il suffit de construire
plat. Si M et N sont deux parties finies de P ,
morphisme canonique de
système inductif.
système répond à la question.
Ceci forme
un
On laisse
au
e
On vérifie
sans
T"~(A)
telles que
peine que
lorsqu’on remplace
T
M ç
absolument
N ,9
on a un
la limite inductive de
lecteur le soin de vérifier que le foncteur
identiques à celles du foncteur
le mot "morphisme radiciel".
A
pour
T~
le mot
ce
propriétés
"épimorphisme" par
a
des
Appendice
Quelques
L’exposé
oral étant moins
soigné
d’utiliser d’autres foncteurs que
pour
généraliser
un
autres foncteurs
que
ceux
résultat de PIERCE
sa
projection écrite,
introduits
on
précédemment.
[6]o Indiquons qu’ils
avait été
obligé
On les utilise ici
ont aussi
quelque
utilité pour étudier le spectre d’un produit d’anneaux.
Contemplons
le dessin suivantP
où
St
désigne
morphismes,
Bool
la
les
désigne
catégorie
des espaces
compacts totalement discontinus
applications continues ;
la
catégorie
des
anneaux
booléens ;
avec,
comme
9-06
désigne le fon.cteur qui,
ses idempotents;9
Id
de
est
~
un
plus compliquée à décrire,c test "l’image"
peu
topologiques
espaces
objets sont
à tout ann.eau, fait correspondre l’anneau booléen
du f oncteur
les espaces
Spec,
1°
X
est
un
espace de
2°
X
est
quasi-compact ;
la
vérifiant :
X
topologiques
catégorie des
catégorie dont les
dans la
Kolmogorov ;
forment
3° les ouverts quasi-compacts de X
4° l’intersection de deux ouverts
une
quasi-compacts
base de la
de
X
est
topologie ;
encore un
ouvert
quasi-compact ;
morphismes de S~ sont les
applications continues rétrocompactes (c’est-à-dire l’image réciproque d’un ouvert
quasi-compact est un ouvert quasi-compact). Le fondeur D associe à tout objet
5° tout fermé irréductible
a un
point générique.
Les
0
de
Sp
obtient ainsi
est
D
aussi
un
adjoint à
un
partition des composantes connexes :é on sait que l’on
Ce fon.cteur
espace compact totalement discontinu ([2]
c
gauche du fondeur injection can.onique S~ 2014~ S~ ~ ce dernier a
quotient
son
adjoint à
LEMME. - Le
par la
droite.
(*)
diagramme
commute
( à isomorphisme
naturel
près).
Admettons le.
PROPOSITION 1. - Le foncteur
D
o
Spec
a un
C(. , Z) .
adjoint à
droite
C(X ~ ?~
l’ann.eau des fonctions
Démonstration. - Donnons des indications :i
est
lo Si X
un.
dans
continues de X
Si
D o
x
Spec
est
C(X
biunivoque
Z.
compact totalement discontinu, X est canoniquement isomorphe à
, Z) : en effet, les idempotents de C(X 2~ sont en correspondance
y
y
avec
2° L’anneau
donc
les ouverts et fermés de
C(X ~ Z)
est
engendrée
f
E
StIdempotents
(D Spec A ,
Hom
de l’ensemble des
On vérifie que cette
X .
en
JZ) , A)
l’application
3° Soit
noton.s
topologique,
espace
o
A-module,
~
o
X) . L’application
f
de
application
tant que
y
se
Z)
prolonge
par
Spec A , X)
définit
dans l’ensemble des
en un
ses
morphisme
idempotents,
est in.jective.
application
idempotents de A
une
d’anneaux.
.
9-07
proposition précédente
une interprétation des
La
Remarque. -
Elle donne alors
localisés
valable
encore
sous
C(X, A) .
anneaux
y
spectres et
Leurs
0
forme relative.
sa
leurs
calculent facilement.
se
COROLLAIRE. - Le foncteur
Avant d’ aborder
la
est
catégorie
des
une
(AP)O
Spec :
application,
adjoint à
C(., ’r(~
droite
,
besoin d’un fondeur Soit
encore
on a
absolument
anneaux
a un
dont les corps résiduels sont
plats
AP ~rem
o
premiers.
PROPOSITION 2.
1° Pour tout espace
AP
2° Le foncteur
injection canonique
Pour
il suffit de
Prem A ,
y
tout nombre premier
Prem(A)
Par
xP = x .
est
o
On
a
maintenant
sur un
"Si
est
A
Soient
A
I
que 2
y
Par
libre
se
ramène
absolument
absolument
A = B
C
I
plat
fait de
(les
cas
gl
P rem
A
I - C
un
px
=
0
dim A
cardinal Nn ,
sur
=
n. +
1
démontré que :i
n
=
+ 1 ".
.
application faisant
l’application composée fl:
une
absolument
un anneau
a
gl dim A
alors
I -P A
I . Alors
(c’est-
de cardinal Nn
de caractéristi-
plat,
côté) 0
B , c ’ e st-à-dire l’ensemble des idempotents de
l’injection canonique
B . Il existe donc
A .
équation.s
booléen., PIERCE, dan.s [6],
,
libre
Par
vérif iant les
foncteurs considérés sont tous du bon
l’anneau
application ’Y:t
dans
Prem .
Par,
plat libre,y
alors
booléen libre,y de
définit
C
au
adjoint à droite
pour démontrer le théorème suivant :
y
i
associé dans
A
de
x
cardinal Nn ),
B , et par
une
des
ensemble de cardinal
sur
par
o
est
un anneau
2014~ AF a un
de C(Spec A
Prem = Prem
A
un anneau
un
Désignons
l’ensemble
ensemble de
un anneau
I -~ A ~
o
outillage suffisant
Démonstration. - On
de
objet de
un
p,y on a
un
Si
à-dire
AP prem
prendre l’image
Par
et
est
0
Pour
et
C(X , l’(Z~~
compact totalement discontinu,
de
C
dans
B
Q
L’application
Bi
I ~ B
qui fait correspondre à
l’idempotent
morphisme d’anneau.~ et un seul, y de B dans
tel
Montrons maintenant que yi
I - C
fait de
C
un ann.eau
booléen libre
sur
1 .
9-08
Ô
et
seul, ~
un
D
dans
de
I
dans
dans
D
tel que
application
Soit
une
B
de
i
vérifie
o y
=
ô
anneau
un
booléen
o
et c’est le seul
D Il existe
o
L’application
morphisme
de
C
i
un
o
morphisme,
1
de
C
D
véri-
de base à
partir
dans
égalité.
fiant cette
les dimensions :i
Comparons maintenant
gl dim A ~ n + 1y
gl dim A ~ gl dim B , car
gl dim B ~ gl dim C ,
gl dim C =
+ 1 ,
n
[6],
card(A) ~~
car
A -~ B
car y
d’après
est
est
un
épimorphisme plat,
un
y
épimorphisme plat,
le théorème de Pierce. D’où la conclusion.
T .
II. Globalisation du foncteur
LEMME 1. - Soit
A ~ B
f :t
un
épimorphisme
o
Le
0
diagramme
est co-cartésien.
Démonstration. - Considérons le diagramme
Le
épimorphisme (obtenu
épimorphisme). Il est donc surjectif ( T(A)
T(A) est absolument plat.
que
morphisme
d’un
clut
Soit
qu’il
g :
B ~ C
existe un, et
1)
acquise,
que
f @ 1
car
k o iA
=
est
un
un
un
morphisme, où C
seul, morphisme. h
par
changement
est absolument
est absolument
:
T(A)
plat.
-~
C
d’un tel h
g . Il suffit de montrer l’existence
1 est un épimorphisme. Hais il existe k :
i 3
= g 0 f , d’où
l’existence.
plat).
On
en con-
Il faut montrer
tel que
, l’unicité est
T(A) -;> C , tel
9-09
~
Si
Conséquence. -
est
B
telle quey pour tout ouvert affine
Donc si
X
est
un
schéma,
U
03B1
et si
est la restriction
enfin
Remarquons
aux
fiant,
pour tout ouvert
lument
plat",
existe
une 0 -algèbre
lument
plats,
et
anneaux
X
Soient
un
B ,
U
de
X
par
ceci,
PROPOSITION 2. - Soit
Schc
particulier
sont des corps. Le foncteur
droite
Les
les
propriétés
Spec(T(0x))
propriétés
truction du
CL
une
anneaux
est
un
de
Cf.)) ,
de
0 -algèbres.
"
véri-
X
topologique
X ,
pré-
r(U ,A)
est abso-
X .
0 -algèbre
et tout
plats,
y
abso-
43.. ,
morphisme
f :
seul, morphisme
que le faisceau défini
les
sur
fait l’affaire.
proposition
donne la
nous
absolument
Il
quasi-cohérente.
0 -algèbre quasi-cohérente.
une
U -
catégorie des schémas
injection canonique
la
de
spectre
du
spectre
d’une
convient à merveille
i
se
d’une
truit est celui annoncé
lisent à
ci-dessous.
dont les anneaux locaux
Sch
adjoint à
a un
quasi-cohérente,
( cf . [3], II, 1.2.6 et 1.3.1).
0 -algèbre
partir
0 -algèbre
o
de celle de
quasi-cohérente.
T
Le foncteur
sans
difficulté,
i(X)
sur
j~3],
topologie constructible de X énoncées dans
démonstration du théorème de Chevalley devient immédiate.
priétés
de la
Ann. et
dan.s
1
de la cons-
ainsi
cons-
1~? 1.9.16.
Signalons, pour terminer, qu’on lit,
la
A
1 .
D’après
=
espace
le
les anneaux de sections sont des anneaux
1 T(03B1) tels que, pour toute OX-algèbre
plusy
de
cas
sur un
de
peine, modulo des résultats
sans
ouverts affines
Un
d
il existe un, et
y
De
y
dont
de sections sont des
=
quasi-cohérente
quasi-cohérent
topologie
U
schéma,
un
morphisme
de OX-algèbre OL f
f o i .
tel que f
Spec
suivante :1
proposition
PROPOSITION 1. -
On voit
d’une base de la
U
le vérifie pour tout ouvert
Ceci montre la
dont les
d’anneaux
A
faisceau
sur
X , fait correspondre
ouverts affines d’un faisceau
qu’un
A-algèbre
une
OX-algèbre
une
de
U
faisceau, qui, à tout ouvert affine
est
Spec A ,
de
est
~
T(B)
A-algèbre,
une
Iv,
toutes les proen
particulier,
9-10
BIBLIOGRAPHIE
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