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CORRECTION Exercice 1
spécialité
Dans tout l'exercice, n désigne un entier naturel non nul.
1°) a) Pour n = 1, on a
31 º 3 (7)
0£ 3 < 7, donc : le reste de la division euclidienne de 31 par 7 est 3 .
L'utilisation des congruences
permet souvent de simplifier
les problèmes de divibilité et
de division.
Faire apparaître clairement
que le reste d'une division
euclidienne est un entier
naturel strictement inférieur
au diviseur.
Pour n = 2, on a
32 º 9 º 2 (7)
0£ 2 < 7, donc : le reste de la division euclidienne de 32 par 7 est 2 .
Pour n = 3, on a
33 º 3 x 32 º 3 x 2 º 6 (7)
0£ 6 < 7, donc : le reste de la division euclidienne de 33 par 7 est 6 .
Pour n = 4, on a
34 º 3 x 33 º 3 x 6 º 18 º 4 (7)
0£ 4 < 7, donc : le reste de la division euclidienne de 34 par 7 est 4 .
Pour n = 5, on a
35 º 3 x 34 º 3 x 4 º 12 º 5 (7)
0£ 5 < 7, donc : le reste de la division euclidienne de 35 par 7 est 5 .
Pour n = 6, on a
36 º 3 x 35 º 3 x 5 º 15 º 1 (7)
0£ 1 < 7, donc : le reste de la division euclidienne de 36 par 7 est 1 .
Dans tous les problèmes de
divisibilité, penser aux
factorisations possibles de
l'expression proposée.
1°) b) Pour tout entier naturel n, on peut écrire :
3n+6 - 3n = 3n(36 - 1)
On a vu que 36 º 1 (7) , donc 36 - 1 º 0 (7)
On en déduit que (36 - 1) est divisible par 7, et comme 3n est un entier,
3n(36 - 1) est divisible par 7.
Donc :
pour tout n ∈ IN, 3n+6 - 3n est divisible par 7 .
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On pourrait démontrer par
récurrence que pour tout
entier naturel q on a :
3n+6q º 3n (7)
1°) c) D'après le résultat précédent, 3n+6 º 3n (7)
Donc 31 000 º 3994 º 3988 º 3982 º ... (7)
Sachant que l'on peut écrire 1 000 = 166 x 6 + 4, on obtiendra finalement
par diminutions successives de l'indice de 6 : 31 000 º 34 (7)
Or 34 º 4 (7). On a donc 31 000 º 4 (7)
0£ 4 < 7, donc : le reste de la division euclidienne de 31 000 par 7 est 4
1°) d) Pour calculer le reste de la division euclidienne de 3n par 7, on peut écrire
la division euclidienne de n par 6 : n = 6q + r
Alors on a : 3n º 3n-6 º 3n-6x2 º ... º 3n-6q (7)
C'est-à-dire 3n º 3r (7)
Or r est un entier naturel strictement inférieur à 6.
Si r = 0, on a 3r = 1 ,
et si r > 0, on peut utiliser les résultats du 1°)a).
De façon générale, on peut calculer le reste de la division euclidienne
de 3n par 7, en cherchant le reste r de la division euclidienne de n
par 6, puis le reste de la division euclidienne de 3r par 7.
Un nombre premier est
premier avec tous les
nombres qui ne sont pas ses
multiples.
1°) e) 7 étant un nombre premier, 3n est premier avec 7 si et seulement si 3n
n'est pas divisible par 7.
D'après les questions précédentes, pour tout entier naturel n, on sait que
3n a le même reste dans la division par 7 que l'un des nombres 3r avec
r ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} .
30 = 1 n'est pas divisible par 7 et pour r ∈ {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} , la question a)
justifie que 3r n'est pas divisible par 7.
Donc pour tout r ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} , 3r n'est pas divisible par 7.
Donc :
pour tout n ∈ IN, 3n est premier avec 7 .
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2°) a) Un = 1 + 3 + 32 + ... + 3n-1 =
Il faut reconnaître et savoir
calculer la somme des
termes d'une suite
géométrique.
i = n-1
∑
i=0
3i , n ∈ IN, n ³ 2 .
Un est la somme des n premiers de la suite géométrique de premier terme
1 et de raison 3. (Donc Un est un nombre entier naturel)
n
n
Un = 3 - 1
2
Si Un est divisible par 7, on peut écrire : Un = 7k avec k ∈ IN .
On sait que : Un = 1 x 1 - 3
1-3
donc
n
Donc 3 - 1 = 7k avec k ∈ IN , c'est-à-dire 3n - 1 = 7(2k) avec 2k ∈ IN .
2
Si Un est divisible par 7, alors 3n - 1 est divisible par 7 .
Ne pas oublier, lorsqu'il
intervient, de citer le
théorème de Gauss et de
faire apparaître ses
conditions d'application.
2°) b) Réciproquement, si 3n - 1 est divisible par 7, alors 7 divise 3n - 1, c'est-àdire 7 divise 2Un.
Comme 7 est premier avec 2, le théorème de Gauss permet d'affirmer
que 7 divise Un.
Si 3n - 1 est divisible par 7, alors Un est divisible par 7 .
2°) c) D'après les résultats précédents, Un est divisible par 7 si et seulement si
3n - 1 est divisible par 7 c'est-à-dire si et seulement si 3n º 1 (7).
Les résultats de la 1ère question permettent alors de conclure que
Un est divisible par 7 si et seulement si le reste de la division euclidienne
de n par 6 est 0, c'est-à-dire si et seulement si n est divisible par 6.
Donc
Un est divisible par 7
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⇔
n = 6k
*
avec k ∈ IN .
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