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http://xmaths.free.fr/ TS - Révisions - Exercice n°1 spécialité - Corrigé 1 / 3
CORRECTION Exercice 1
spécialité
Dans tout l'exercice, n désigne un entier naturel non nul.
1°) a) Pour n = 1, on a 3
1
º 3 (7)
0£ 3 < 7, donc : le reste de la division euclidienne de 3
1
par 7 est 3 .
Pour n = 2, on a 3
2
º 9 º 2 (7)
0£ 2 < 7, donc : le reste de la division euclidienne de 3
2
par 7 est 2 .
Pour n = 3, on a 3
3
º 3 x 3
2
º 3 x 2 º 6 (7)
0£ 6 < 7, donc : le reste de la division euclidienne de 3
3
par 7 est 6 .
Pour n = 4, on a 3
4
º 3 x 3
3
º 3 x 6 º 18 º 4 (7)
0£ 4 < 7, donc : le reste de la division euclidienne de 3
4
par 7 est 4 .
Pour n = 5, on a 3
5
º 3 x 3
4
º 3 x 4 º 12 º 5 (7)
0£ 5 < 7, donc : le reste de la division euclidienne de 3
5
par 7 est 5 .
Pour n = 6, on a 3
6
º 3 x 3
5
º 3 x 5 º 15 º 1 (7)
0£ 1 < 7, donc : le reste de la division euclidienne de 3
6
par 7 est 1 .
1°) b) Pour tout entier naturel n, on peut écrire :
3
n+6
- 3
n
= 3
n
(3
6
- 1)
On a vu que 3
6
º 1 (7) , donc 3
6
- 1 º 0 (7)
On en déduit que (3
6
- 1) est divisible par 7, et comme 3
n
est un entier,
3
n
(3
6
- 1) est divisible par 7.
Donc : pour tout n ∈ IN, 3
n+6
- 3
n
est divisible par 7 .
L'utilisation des congruences
permet souvent de simplifier
les problèmes de divibilité et
de division.
Faire apparaître clairement
que le reste d'une division
euclidienne est un entier
naturel strictement inférieur
au diviseur.
Dans tous les problèmes de
divisibilité, penser aux
factorisations possibles de
l'expression proposée.

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1°) c) D'après le résultat précédent, 3
n+6
º 3
n
(7)
Donc 3
1 000
º 3
994
º 3
988
º 3
982
º ... (7)
Sachant que l'on peut écrire 1 000 = 166 x 6 + 4, on obtiendra finalement
par diminutions successives de l'indice de 6 : 3
1 000
º 3
4
(7)
Or 3
4
º 4 (7). On a donc 3
1 000
º 4 (7)
0£ 4 < 7, donc : le reste de la division euclidienne de 3
1 000
par 7 est 4
1°) d) Pour calculer le reste de la division euclidienne de 3
n
par 7, on peut écrire
la division euclidienne de n par 6 : n = 6q + r
Alors on a : 3
n
º 3
n-6
º 3
n-6 x 2
º ... º 3
n-6q
(7)
C'est-à-dire 3
n
º 3
r
(7)
Or r est un entier naturel strictement inférieur à 6.
Si r = 0, on a 3
r
= 1 ,
et si r > 0, on peut utiliser les résultats du 1°)a).
De façon générale, on peut calculer le reste de la division euclidienne
de 3
n
par 7, en cherchant le reste r de la division euclidienne de n
par 6, puis le reste de la division euclidienne de 3
r
par 7.
1°) e) 7 étant un nombre premier, 3
n
est premier avec 7 si et seulement si 3
n
n'est pas divisible par 7.
D'après les questions précédentes, pour tout entier naturel n, on sait que
3
n
a le même reste dans la division par 7 que l'un des nombres 3
r
avec
r ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} .
3
0
= 1 n'est pas divisible par 7 et pour r ∈ {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} , la question a)
justifie que 3
r
n'est pas divisible par 7.
Donc pour tout r ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} , 3
r
n'est pas divisible par 7.
Donc : pour tout n ∈ IN, 3
n
est premier avec 7 .
On pourrait démontrer par
récurrence que pour tout
entier naturel q on a :
3
n+6q
º 3
n
(7)
Un nombre premier est
premier avec tous les
nombres qui ne sont pas ses
multiples.

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2°) a) U
n
= 1 + 3 + 3
2
+ ... + 3
n-1
=
i = 0
∑
i = n-1
3
i
, n ∈ IN, n ³ 2 .
U
n
est la somme des n premiers de la suite géométrique de premier terme
1 et de raison 3. (Donc U
n
est un nombre entier naturel)
On sait que : U
n
= 1 x 1 - 3
n
1 - 3 donc U
n
= 3
n
- 1
2
Si U
n
est divisible par 7, on peut écrire : U
n
= 7k avec k ∈ IN .
Donc 3
n
- 1
2 = 7k avec k ∈ IN , c'est-à-dire 3
n
- 1 = 7(2k) avec 2k ∈ IN .
Si U
n
est divisible par 7, alors 3
n
- 1 est divisible par 7 .
2°) b) Réciproquement, si 3
n
- 1 est divisible par 7, alors 7 divise 3
n
- 1, c'est-à-
dire 7 divise 2U
n
.
Comme 7 est premier avec 2, le théorème de Gauss permet d'affirmer
que 7 divise U
n
.
Si 3
n
- 1 est divisible par 7, alors U
n
est divisible par 7 .
2°) c) D'après les résultats précédents, U
n
est divisible par 7 si et seulement si
3
n
- 1 est divisible par 7 c'est-à-dire si et seulement si 3
n
º 1 (7).
Les résultats de la 1ère question permettent alors de conclure que
U
n
est divisible par 7 si et seulement si le reste de la division euclidienne
de n par 6 est 0, c'est-à-dire si et seulement si n est divisible par 6.
Donc U
n
est divisible par 7 ⇔ n = 6k avec k ∈ IN
*
.
Il faut reconnaître et savoir
calculer la somme des
termes d'une suite
géométrique.
Ne pas oublier, lorsqu'il
intervient, de citer le
théorème de Gauss et de
faire apparaître ses
conditions d'application.