EXERCICES DE PROBABILITES CONDITIONNELLES

Mathématique terminale CGRH lycée le Rebours
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EXERCICES DE PROBABILITES CONDITIONNELLES
1) Rappels
P(A)×P
A
(B) = P(A ∩ B)
P
A
(B) est la probabilité de B sachant A.
P(A ∩ B) est la probabilité que A et B soit réalisés en même temps
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si une des deux conditions suivantes est réalisée :
• P(A)×P(B) = P(A ∩ B)
• P
A
(B) = P(B)
2) Exercice sous forme de tableau
Dans un village de vacances, trois stages sont proposés aux adultes et aux enfants. Ils ont lieu dans la même plage horaire ; leurs thèmes
sont : la magie, le théâtre et la photo numérique.
150 personnes dont 90 adultes se sont inscrites à l'un de ces stages.
Parmi les 150 personnes inscrites, on relève que la magie a été choisie par la moitié des enfants et 20% des adultes ; 27 adultes ont
opté pour la photo numérique ainsi que 10% des enfants.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :
On appelle au hasard une personne qui s'est inscrite à un stage. On pourra utiliser les notations suivantes :
o A l'événement " la personne appelée est un adulte " ;
o M l'événement " la personne appelée a choisi la magie " ;
o T l'événement " la personne appelée a choisi le théâtre " ;
o N l'événement " la personne appelée a choisi la photo numérique ".
2. a) Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un enfant ?
b) Quelle est la probabilité que la personne appelée ait choisi la photo sachant que c'est un adulte ?
c) Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le théâtre ?
3. Montrer que la probabilité que la personne appelée ait choisi la magie est 0,32.
4. Le directeur du village désigne une personne ayant choisi la magie. Il dit qu'il y a deux chances sur trois pour que ce soit un enfant.
A-t-il raison ? Justifier votre réponse.
3) Exercices sous forme d’arbre
Exercice 1
Dans un magasin d’électroménager, on s’intéresse au comportement d’un acheteur potentiel d’un téléviseur et d’un magnétoscope.
La probabilité pour qu’il achète un téléviseur est de 0,6.
La probabilité pour qu’il achète un magnétoscope quand il a acheté un téléviseur est de 0,4.
La probabilité pour qu’il achète un magnétoscope quand il n’a pas acheté de téléviseur est de 0,2.
1) Quelle est la probabilité pour qu’il achète un téléviseur et un magnétoscope ?
2) Quelle est la probabilité pour qu’il achète un magnétoscope ?
3) Le client achète un magnétoscope. Quelle est la probabilité qu’il achète un téléviseur ?
Exercice 2
Une étude statistique indique que 95% des téléviseurs fabriqués par une entreprise sont en état de fonctionnement. On fait subir à chaque
appareil un test de contrôle. On constate alors que:
• quand un appareil est en état de fonctionnement, il est accepté dans 96% des cas à l'issu du test.
• quand un appareil n'est pas en état de fonctionnement, il est néanmoins accepté dans 8% des cas à l'issu du test.
On choisit au hasard un téléviseur fabriqué par l'entreprise. On définit les événements suivants:
 F : "le téléviseur est en état de fonctionnement"
 T : "le téléviseur est accepté à l'issu du test"
 : "le téléviseur est refusé à l'issu du test".
On note (A / B) l'événement " A sachant B".
Ainsi, la probabilité de l'événement F, notée P(F), est : P(F) = 0,95 et la probabilité de l'événement P(T/F) = 0,96
1. Quelle est la probabilité que le téléviseur ne soit pas en état de fonctionnement?
2. Quelle est la probabilité qu'un téléviseur soit refusé à l'issu du test sachant qu'il est en état de fonctionnement?
3. Quelle est la probabilité qu'un téléviseur soit refusé à l'issu du test et qu'il soit en état de fonctionnement?
4.
Quelle est la probabilité qu'un téléviseur soit refusé à l'issu du test et qu'il ne soit pas en état de fonctionnement?
5. Calculez la probabilité que le téléviseur soit refusé à l'issu du test.
6. Un téléviseur est refusé à l'issu du test. Quelle est la probabilité qu'il soit en état de fonctionnement?

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Exercice 3
Un concours de recrutement de techniciens hautement qualifiés est ouvert uniquement aux étudiants de deux écoles; l'une s'appelle
l'école Archimède, l'autre l'école Ptolémée.
On dispose des informations suivantes concernant les taux de réussite de ce concours pour l'année 1997:
• le taux de réussite pour les candidats issus de l'école Archimède est de 85%
• le taux de réussite pour les candidats de l'autre école est de 80%
• le taux de réussite pour l'ensemble des candidats est de 82%
On peut interpréter ces données en termes probabilistes; on suppose pour cela qu'on choisit un candidat au hasard.
On note R l'événement "le candidat à réussi", A l'événement "le candidat est issu de l'école Archimède".
Pour un événement E quelconque, on note l'événement contraire de E.
On note x la proportion de candidats issus de l'école Archimède parmi les candidats: c'est aussi
la probabilité qu'un candidat, choisi au hasard, soit un candidat issu de l'école Archimède.
1. Compléter l’arbre des probabilités.
2. Les événement R et A sont-ils indépendants? Justifiez votre réponse.
3. L'objet de cette question est de déterminer la proportion de candidats issus de l'école
Archimède parmi les candidats.
a. Exprimez P(R ∩A), P( ) et P(R ∩ ) en fonction de x.
b. Déduisez-en l'expression de P(R) en fonction de x.
c. Déterminez la valeur de x
A
R
−
−−
−
R
R
−
−−
−
R
−
A
x