formule de Plancherel

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
M ICHEL D UFLO
Analyse harmonique sur les groupes algébriques
complexes : formule de Plancherel
Séminaire N. Bourbaki, 1982-1983, exp. no 612, p. 279-291
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Séminaire BOURBAKI
35e
année, 1982/83, n°
ANALYSE
Juin 1983
612
HARMONIQUE
SUR LES GROUPES
FORMULE DE PLANCHEREL
ALGÉBRIQUES
[d’après
M.
COMPLEXES :
ANDLER]
ET CONJECTURE DE M. VERGNE
par Michel DUFLO
Si cp
Rappelons quelques formules classiques d’analyse harmonique sur R .
intégrable sur R , sa transformée de Fourier est définie
est une fonction
par la formule
Pour 03C6 E
Elle est
n
la
L2 (R) ,
équivalente
à la
formule de Plancherel s’écrit
formule d’inversion
valable par exemple pour toute fonction (p
tiable. La formule de
s’écrit
elle est valable par
Cela fait
au
exemple pour
moins trente
formule d’inversion
(3)) se
Soit
(cf.
[S]).
pacts
[Go],
mesure de Haar à gauche
dg
si 03C6
est une fonction
toutes les
à support compact suffisamment différen-
fonctions (p
de
l’espace
de Schwartz.
que l’on sait que la formule de Plancherel (ou la
généralise à de vastes classes de groupes localement comG
ans
un
sur
intégrable
groupe localement compact séparable. On fixe
G . Si T est une représentation unitaire (1)
G,
sur
on
une
,
et
pose
opérateur borné dans l’espace de T . On note G l’ensemble des classes
d’équivalence de représentations unitaires irréductibles de G . Au moins si G est
de type I, on pense qu’une généralisation utile de la transformation de Fourier (1)
C’est
un
s’obtient
(1)
en
posant
Les notes sont à la fin de
l’exposé.
279
Une des définitions de la notion de type l est
rappelée
la définition de la structure borélienne standard dont
dans la
note (2) ,
ainsi que
est alors muni. Tous les
G
algébriques réels sont de type l [Di 1].
généralisation la plus courante de la formule de Plancherel (2) s’énonce
(il existe d’autres généralisations pour les groupes non unimodulaires, ou
groupes
La
ainsi
pour
qui
ceux
THÉORÈME
1
sont pas de
ne
type I) :
(cf. [ Di 2] 18.8).-
I, unimodulaire. Fixons
positive borélienne m
G
mesure
m
de HiM.
mesure
dg
sur
G. It existe une
mesure
ait
que l’on
pour tout 03C6 E Li (G) n L2 (G) . La
dépe.nd du cholz de dg .
La
un groupe localement compact séparable de.
G
une mesure
eôt
m
uniquement déterminée par (7) . E££e
s ’appelle la mesure de Plancherel. La formule (7) est équivalente
(8) ci-dessous, que je n’écrirai que pour un groupe de Lie.
à la formule d’ inversion
THÉORÈME
un
entier
2 .- Soit
G
N à 0
et
un
groupe de
Lie séparable,
Ô’
un
de
Ô
de type. I , unimodulaire. I£ existe
, ayant £eô propriétés suivantes :
(a) é’ eôt boné&len, et à - à’ eôt négligeable pour £a formule de Plancherel.
l’opérateur T (w) eôt tnaçab£e, et £a
(b) Pour tout T E É’ et tout 03C6 E
fonction 03C6 r- tr T (w) eôt contInue (pour £a topologie habituelle de
eôt borélienne sur É’ , et
, £a fonction T tr
(c) Pour tout w E CF(G)
c
Cf(G) ,
Cf(G) ) .
-
1
£’ on
a
réprésentation unitaire irréductible d’un groupe de Lie, et supposons que pour tout ~ E
L’application
G~(G) l’opérateur TM soit traçable. distribution"
de
le
"caractère
est alors une distribution, appelée
(p t--+ tr T(cp)
T (3). La formule (8) s’interprète donc comme désintégration de à en caractères.
Soit
T
une
L’étude de la formule de Plancherel d’un groupe de Lie unimodulaire dont
sait
déjà qu’il
est de
type 1 comporte les étapes suivantes :
G
on
trouver une para-
négligeable pour la mecomplémentaire
m
en fonction de ces paramètres. On tâchera de plus
sure de Plancherel et décrire
de dire quelque chose des représentations T qui apparaissent dans la formule de
Plancherel, et de leur caractère. Il est impossible de citer ici tous les travaux
ayant un rapport avec ce progranme. En voici quelques uns, traitant de la détermination explicite de la mesure de Plancherel pour différents groupes, pour marquer des
repères : Harish-Chandra (1952) [H-C 1] pour SL(2,R) , Gelfand-Naimark [G-N],
métrisation d’une
partie
de
dont le
est
(1954) [H-C 2] pour les groupes semi-simples complexes, Harish-Chandra
(1976) [H-C 3] pour les groupes semi-simples réels connexes de centre fini, Kirillov
[Ki 2] pour les groupes nilpotents simplement connexes, Charbonnel [C 1] pour les
Harish-Chandra
groupes résolubles connexes unimodulaires de type I. Beaucoup d’autres
été calculés (par exemple [Kl-Li]).
exemples
ont
La formule de Plancherel étant
groupes
résolubles,
que. Bien que l’on
connue pour les groupes semi-simples et pour les
il est bien naturel d’aborder le cas d’un groupe de Lie quelcon-
à savoir
certain nombre de choses
des
hypothèses
restrictives,
exposé
groupes algébriques complexes (considérés comme groupes de Lie réels). La raison principale en est qu’il existe un texte
écrit (M. Andler, thèse université Paris 7, 1983). D’autre part le fait d’être algébrique, et complexe, entraine beaucoup de simplifications (pensons aux deux dizaines
d’années séparant les articles d’Harish-Chandra relatifs aux groupes semi-simples
complexes et réels), ce qui fait que certaines idées apparaissent plus clairement
(mais d’autres disparaissent complètement).
moins
commence
cet
se
un
limitera
avec
aux
suite, G est un groupe algébrique linéaire complexe, considéré
de
réel. On note g son algèbre de Lie, ~* le dual de ~ (c’est
Lie
groupe
donc l’ensemble des formes linéaires réelles sur ~ ). Si une sous-algèbre de
Dans toute la
comme
est stable par la structure
précisera sous-algèbre complexe. De même,
si on parle de la dimension d’un sous-espace, il s’agit de la dimension sur R . On
fixe une mesure de Haar à gauche dg sur G . On note dX la mesure de Lebesgue
sur ~ tangente à dg . On note df la mesure de Lebesgue sur ~* duale de dX ;
on a
donc,
f E
Soit
gèbre
g* .
REPRESENTATIONS
en
-~
b .
f,[X,Y]>
Il est fermé,
=
isotrope
G
UNITAIRES DE
Une
espace totalement
X,Y
on
pour tout 03C8 E
I. CONSTRUCTION DE
un sous
complexe,
f
est une
sous-algèbre b qui
est
maximal pour la forme bilinéaire
Notons
et l’orbite
Bof
Bo
de
le sous-groupe
f
dans
~*
où b~ est l’orthogonal de b dans
pace affine f +
on dit que
f vérifie la condition de Pukanszky. Une bonne
analytique
de
G
d’al-
est un ouvert de l’es-
~* . Si Bof f +
polarisation réelle
Pukanszky, et résoluble. Si
=
est
f
polarisation réelle, vérifiant la condition de
admet une telle polarisation, on dit que f est
On dit que f est intégrable (ou
s’il existe un caractère
Xf
de la composante neutre G(f)o du stabilisateur G(f) de f dans G , tel que
Xt(exp X) = exp(if(X)) pour tout X E g(f) , où g(f) est l’algèbre de Lie de G(f) .
Lorsque f est intégrable, on note X(f) l’ensemble des classes de représentations
unitaires i de G(f) dont la restriction à G(f)o est un multiple de Xf. On note
X1rr (f) l’ensemble des r E X(f) qui sont irréductibles. Comme le groupe G(f)/G(f)o
est fini, Xlrr( f) est un ensemble fini de représentations de dimension finie, et l’on a
une
On note
l’ensemble
X
des couples
Xirr le
où
(f,z)
f
intégrable et bien polariX(f) .
sable,
couples (f,z) E X ,
où z est irréductible. Le groupe G opère par conjugaison dans X .
Dans [Du 1], il est construit une application qui à (f,z) E X associe une rede G , dont le commutant est isomorphe à celui de 1:.
présentation unitaire
En particulier
E G
T E
De plus, l’application (f,t) ~
Tf ,1:
induit une injection de Xlrr/G dans G. La construction de [Du 1] est valable pour
des groupes de Lie généraux (5) . Le cas particulier considéré ici permet de grandes
simplifications dans la construction de
Soit donc f E ~* un élément bien polarisable. Supposons qu’il existe une bonne
polarisation réelle b qui soit de plus G(f)-stable. Posons B G(f)Bo . C’est un
sous-groupe fermé, et il existe une unique représentation (notée encore 1:) de B
prolongeant la représentation L de G(f) , et telle que 03C4(exp X) = exp(if(X))Id
Le théorème 1 de
pour X E b . On note Tf b la représentation induite
3
de
et
le
théorème
[A] affirme que
est indépendante
que son commutant
2014 b ,
est isomorphe à celui de L. Notons
(qui est donc déT’ t,T la classe de
finie lorsqu’il existe une bonne polarisation réelle G(f)-invariante). Il serait tentant de définir
comme étant égale à
Cependant cela pose deux problèmes :
tout d’abord il n’existe pas toujours, même génériquement, de bonne polarisation
réelle G(f)-invariante ([A], § 3). D’autre part, même si une telle polarisation
existe, l’égalité de la représentation Tf ,1: (qui sera définie plus bas) avec Tf’ ,1:
n’est établie dans [A] que sous l’hypothèse peut-être plus restrictive d’existence
d’une "très bonne polarisation" G(f)-invariante (voir [A], prop. 9).
et
z
On note
E
est
sous-ensemble formé des
.
’si
.
=
.
fait par récurrence sur la dimension de G . Voici
une variante de
[Du 1]. On suppose la construction faite pour tous les
inférieure
de
dimension
strictement à la dimension de G . On note u le ragroupes
La construction de
Tf ,1:
la méthode de
dical
de l
unipotent de ~ , .~ E u* la restriction de f à u , Gi
dans G , ~~ son algèbre de Lie, fi la restriction de
sidère deux
Il existe alors
dim Gi
=
une
bonne
T f~.~ = T dim
f~~ G >
Notons
u .
Tl
la
remarquant que
T..
Il
se
à
On
con-
(ce cas est essentiellement celui où g est réductive).
polarisation réelle G(f)-invariante ([A], lemme 38). On
dim Gi . Notons
représentation
U
le sous-groupe
trouve
unipotent d’algèbre
unitaire irréductible de
U
associée
de Lie
E u*
de
représentation
et
Z
par
par l ,
U(l) est connexe. Le groupe Gi opère dans U et laisse stable
qu’il existe une représentation Wl de Gi dans l’espace de Tn ,
par la théorie de Kirillov [Ki 1]. Ce n’est autre que la
U définie comme plus haut en remplaçant G par U, f
en
le stabilisateur
f
cas.
dim G
1er cas.2014
pose
se
T~~~
telle que l’on ait
canoniquement définie,
h~Gi, u E U ~.
D’ autre part,
h E
=
de
de
représentation
que que la
où
Gi(fi)
X(fi) , qui prolonge
on a
nous noterons
Gi ,
u
EU, définit
tensoriel des espaces de
1) On
et
Tl
Tf 1,T1
g*
polarisation réelle en f .
~f(exp X) = exp(if(X))
3.-
dans le
G1U
produit
.On pose :
autre construction de ces
une
non
en
forme linéaire bien
une
Il existe
pas
u ,
(cf. [Du 2],
(i) ([A], th. 1)
b .
polarisable
caractère
un
et admissible. Soit b
(noté
encore
représentation
IndGBo(~f)
Xf )
une
de
Bo
pour tout X E b .
tel que
na~ de
impli-
* * *
f E
THÉORÈME
que
de récurrence
faite
utilisant
TfOnest
obtient le même résultat
théorème 19).
bonne
du groupe
[Du 2], théorème 20,
trouvera en
unique élément,
L’hypothèse
T .
est définie. La formule
Gi
représentations.
2) Dans [Du 1], la construction des
mais le plus grand idéal nilpotent
Soit
et il existe un
représentation
une
pour tout
=
de la
La
ne
dépend
Tf.
(ii) On a :
((ii)
IL.
dans
ut
[A], c.6.
particulier
le théonème 3).
CARACTERE DES REPRESENTATIONS
Soit
Q
s’identifie à
orbite de
une
symplectique.
facteurs, où 2d
=
N
pour
assez
G
On munit
dim
grand,
Q).
où
Q
(f,r)
admet
f
un
~* . L’espace tangent
t). Il
fournit par passage
6f
de la
On dit que
Rappelons que si Q est
commutative pour f E Q .
THÉORÈME 4.2014 Soit
dans
et la forme
_g/~(f) ,
ture
de
en
mesure
Q
au
u- = (2n)-d(d )~’la
est
tempérée
est une norme sur
une
point
quotient
en un
struc-
( d
alors
Supposons que
soit nilpotente.
caractère distribution si et seulement si l’orbite
E
une
1
A...
si
~* .
maximale,
orbite de dimension
f E Sà
est
La représenQ
=
G.f
tempérée.
Dans
02.
suivante de
fonctions généralisées dans
un
voisi-
nage de
0
dans g :
La formule
(11) est la "formule universelle" de Kirillov [Ki 3]. Elle
dans ce cas à Khalgui [Kh] ~8~ . Des formules (9), (10) et (11 ) , on déduit,
mêmes conditions que la formule (11) ::
est due
dans les
représentation induite, la démonstration de (12) est facile (cf.
[Gu] où elle ne prend que quelques lignes) . Il en est de même de (11) lorsque
Comme
Tf
est une
ex.
par
=
LINÉAIRES
m. FORMES
f
Soit
Alors
forme linéaire
somme
dit que
f
est
de
G . Le groupe
de g
h*
rencontre
W
=
H’/H
est
suivant
une
fini,
et
H’-orbite. On
décomposition (13) s’accompagne
Weyl
ou
une mesure
de
H
et
deux à deux
H’
de .9.
base duale. On pose, pour
Donc
dY . A
h*
Soit
C’est
ce
ont
même
telle que
On fixe
de s
algèbre de Lie,
h* à l’orthogonal
de G dans ~*
donc
intégrale (dans le genre de celles
dH sur h et
mesure de Lebesgue
d’une formule
dY
=
,
=
où
dHdY . On choisit
ei,... ,e2d
une
est la
À E h*
S (h) , défini au signe près, et dépendant du choix
complexe sous-jacente, on peut choisir c~ >_ 0 . On
dÀ duale de dH (définie comme plus haut df ).
mesure de Lebesgue
Pour g E G , posons
(0) .
est un élément de
cause
de la
a
a
conjugués.
le normalisateur
H’
d’Harish-Chandra). On choisit une
Lebesgue dY sur q de telle sorte que dX
base
munit
est
sa
h . On pose g = [s,~] . Alors ~ = h ~ g . On identifie
dans ~* . L’intérêt de ces notions est que toute orbite
notée
d’H.
minimale).
partie réductive s (f)
fortement régulière si de
dim ~(f)
directe de
~* , et les s(f) pour f E 0 sont
représentant s de cette classe de conjugaison.
On note H le centralisateur de s dans G ,
dans
de
régulière (i.e.
est de dimension maximale. L’ensemble de ces formes est un ouvert de
0
Zariski
La
une
commutative, et donc
partie unipotente u(f) . On
plus s(f)
un
FORTEMENT REGULIERES
est
et de sa
.
E
C
de la structure
fonction continue à support compact modulo H , et vérifiant
Idet
pour h E H . Sur l’espace de ces fonctions, il existe
une
~(gh) =
une
G-invariante notée ~
forme linéaire
dY
(on identifie
Le groupe
et
.g/h).
analytique
On
a
et une seule
-~
([Du 3]) :
d’algèbre s
S
soit tangente à
qui
est
un
tore
algébrique complexe, et s
Posons
1)
(X E s , exp X
de
la mesure de Haar
r* = (À E h* , À(r) c 203C0Z} On munit le groupe abélien h/r
tangente à dH , on identifie r* au groupe abélien dual, et on munit r* de la
est contenue dans le centre de
h . Posons
r
=
=
.
.
formule de
(au
duale, notée
Poisson (4) :
de Haar
mesure
y . Comme chacun le
sait,
y
se
calcule
grâce
à la
des distributions).
sens
éléments f E 0 admettent une bonne polarisation réelle
(i) Tous les
13).
prop.
et seulement s’il appartient
(ii) Un élément f E 0 est intégrable si
G(0 n r*) .
([A],
Lemme.-
Notons
sur
p
g*G
valable par
a
~
l’ensemble des éléments
intégrables
de
c? On définit
.
à
une mesure
par la formule
,
.
exemple
pour toute fonction
a
~ ,
sur
restriction d’une fonction
E
(17), interpréter (18) de lamanière
généralisée dans 0 , G-invariante, et qui prolonge
On peut, compte-tenu de
Soit
tion
N.
0
la fonction
généralisée
03A3ei03B (X)
(15)
et
suivante.
la fonc-
sur O n r* . Alors
xEr
FORMULE DE PLANCHEREL
Notons
le lemme
X l’ensemble des couples
ci-dessus,
X
est contenu dans
(f,r)
avec
f E
-~G * ,
T
E
D’après
X .
existe sur X une structure borélienne standard
( [A] , § 13)
(explicitement
décrite dans f A)) nendant boréliennes les
dim 1: ,
f , (f,z)
applications (f,i)
H
(f~z)
..
Dans le reste du § N, nous supposons G unimodulaire. Comme G est unimodulaire, la mesure p sur ( est G-invariante. Comme de plus les orbites de G
dans ~* sont localement fermées (car G est algébrique) on peut montrer qu’il
existe une mesure r sur
telle que l’on ait, pour toute fonction
THEOREME 5
~
a
E
Cc(Q)
--j
La
r
mesure
est donc le
quotient
de
par les
p
canoniques t~
mesures
sur
les
orbites.
L’application
Les orbites
A
de
On définit
a
r
E
-~
Q n h*
est une
bijection
(r* n 0) /H’ .
canonique 1J.A.
de
sur
sont de même munies d’une mesure
h*
dans
H’
On peut aussi définir
valable pour tout
Q
par la formule
C~(h* ~ 0) .
une mesure
dans l’ensemble
m
toute fonction
(valable par exemple pour
X).
la formule
X/G par
G-invariante,
borélienne 03C8 , positive,
sur
THÉORÈME
6
([A],
th.
X/G
7).-
à
G gJtâc.e
sous-ensemble de
un
à
poun
complémentaire de X/G dans G ut
à
m
.
est
Plancherel
de
égale
de Plancherel, d, dans X/G, la mesure
D’après le théorème 2, le théorème 6 implique la formule d’inversion suivante,
(f,03C4) ~ Hf,03C4
.
la
Le
à support compact suffisamment différentiable
valable pour toute fonction 03C6
Remarques.2014 l) Compte-tenu de (9)
quablement simple
et
(10) ,
on
r
2) Si
point.
Plus
G
La
la
fini, munissons-le de la mesure dg donnant
formule (23) devient la formule bien connue
apparaîssant
le
Plancherel de l’ensemble
Xlrr(f) ,
(projectives correspondant
G(f)/G(f)o .
ductibles
G
est
unipotent, g
la forme
sous
remar-
«
est
généralement,
3) Si
peut écrire (23)
dans
(23)
identifié à l’ensemble des
à
un
cocycle
bien
masse
1
à
chaque
est la mesure de
représentations
irré-
déterminé) du groupe
est un ouvert de Zariski de
~* , dp
=
df ,
et
Tf
laest irréductible de sorte que la formule est donnée par la formule (24), dans
mesure
la
df
canonique
par
quelle dr est le quotient de la mesure de Lebesgue
sur
4)
les orbites. Ce résultat est dû à Kirillov [Ki 2].
Si
G
est
semi-simple
et
connexe, s
est une
sous-algèbre
de
Cartan,
h
est
à
égal
est l’ensemble des
h* ~ ~
s ,
pas). Si
intégrable (i.e.
s’annule
ractère
de
Xi
À E
points réguliers de
groupe G(f) est égal à
h* ~ ~ , le
f1 D ), Xirr(f)
À E r*
de différentielle
S
a
exactement
iÀ . On
a
(i.e.
ceux
où
S . Si de
plus
À
s*
élément,
un
donc
=
’
X
ne
c~
est
à savoir le
ca-
T~ . Compte-tenu
de
la formule d’inversion s’écrit :
(21),
Cette formule est due à Harish-Chandra [H-C 2]. La démonstration du théorème 6
se
fait par réduction du cas semi-simple,
5) Soit V un voisinage de 0 dans ~
de
phisme
V
sur
et dans
exp V
lequel
en
utilisant [Kl-Li].
dans
lequel exp définit
un
difféomor-
le théorème 4 est valable.
Le théorème 4 montre que
est tempérée. De
r-presque toute orbite Q E
plus, il résulte du théorème 4, de (24) et de (20) que pour toute fonction ~ à
support compact dans V,, suffisamment différentiable, on a
Ceci entraîne que
est
EG/G
p , considéré
comme mesure sur
K*
concentrée
dans ~ ,
tempérée.
Il est vraisemblable que
est fermée. Comme
r-presque toute orbite Q E
toute orbite fermée est tempérée, ce serait une meilleure manière de retrouver un
6)
résultat
existe
dans la remarque précédente. On sait pour l’instant [C 2] qu’il
ouvert de Zariski U de ~* ,
G-invariant non vide, réunion d’orbites
signalé
un
fermées. Il faudrait
mentaire
pouvoir
p-négligeable dans
choisir U
de telle sorte
que U n
soit de
complé-
g~ .
V. CONJECTURE DE M. VERGNE
On
G
unimodulaire. Il reste
cependant vrai que la mesure p
est tempérée (on se ramène facilement au cas unimodulaire). Sa transformée de
Fourier (qui est donc une distribution de type positif
sera notée
n .
La formule (27), encore valable si G n’est pas unimodulaire, montre que n
vaut 6
(la distribution de Dirac) dans un voisinage de 0 . Rappelons que (27)
est conséquence du théorème de Plancherel et de la formule universelle de Kirillov.
Introduisons
exp X= 1} . Inspirée par des formules anal’ensemble gG = {X ~ g ,
à
14.
a
(27),
logues
Vergne [V 1]] [V 3]]
conjecturé que, pour tout groupe de Lie réel G ,
il existe un sous-ensemble de g* , noté
et sur
EG une mesure positive temchose
à
voir
avec
la
formule
de
Plancherel de G , dont la
pérée p ayant quelque
transformée de Fourier n vaut 6 dans un voisinage de 0 dans ~ , et est à support dans ~ . Pour le groupe 1R/ZL , la formule de Poisson (4) résoud la conjecture avec n
La formule de M. Vergne (dans le cas où elle est vraie)
donne une généralisation de la formule de Poisson.
ne
suppose
plus
= jÉ~ bj .
Dans [V
réels
2], la conjecture est démontrée pour les groupes
linéaires, et une formule explicite est donnée
de Lie
connexes
mule fait intervenir
semi-simples
Cette for-
n .
pour
invariante d’Harish-Chandra.
d’un groupe algébrique complexe (pas nécessairement semiLa conjecture de M. Vergne est vraie [Du 3], et on obtient une formule
Revenons
simple).
plicite pour
au cas
n
qui
fait intervenir
d’Harish-Chandra. La fin de
Soit
est
M
a
(au
a
E s . On note
généralisation
une
est consacrée à la
l’exposé
Da
des fonctions
généralisées
THEOREME 7.- La
l’intégrale
description de
Ma
n .
sur g
h* ..
qui
On note
eif(X)dMa (X)
J
~* ). -~ a j g
sur
a son
À E
pour
ex-
invariante
la fonction différentiable et bornée dans 8
G-invariante et telle que {la
la distribution tempérée G-invariante
sens
de
telle
que 03B8a(f -
support dans l’orbite
Ga
a
de
a
dans
g
fermé de Zariski de g can a
On trouvera dans [Du 3] une formule explicite pour
Ma . Considérons seulement
le cas où a est régulier, c’est-à-dire où le centralisateur de a dans ~ est
égal à H (c’est le cas pour a dans un ouvert de Zariski non vide de s ). Notons n le sous-espace complexe somme des sous-espaces propres de ada dans
correspondant aux valeurs propres E telles que Re E > 0 , ou Re ~ 0 et
Im ~ > 0 (ici ~ est considéré comme un espace vectoriel complexe). Oubliant de
a valeurs positives sur
v
nouveau la structure complexe, on définit un polynôme
h en posant v(H) = det
On choisit le polynôme w sur h* positif. On
ad (H) .
note D
l’opérateur différentiel à coefficients constants qu’il définit sur h .
(remarquons
que
Ga
est
un
=
(Remarquons
que
d
est
est la dimension réelle
La
conjecture
de M.
pair,
car
la dimension
complexe de g
est
paire,
et
2d
de g ).
Vergne dans
le
cas
complexe résulte
alors du théorème
suivant
THÉORÈME
Je
8.- Panô
ne
V’
(g) ,
on a
SM -
sais pas si la convergence
a
n .
lieu dans
S’(g) quoique
cela
me
paraisse
vraisemblable.
NOTES
«~
Dans
ce
texte, représentation unitaire signifie représentation unitaire conti-
nue
dans
un
espace de Hilbert.
représentation unitaire irréductible T de G est dite normale si tout
opérateur compact dans l’espace de T est limite pour la topologie de la nonne
d’opérateurs T(w) , avec ~ E L1(G) . Si G est un groupe de Lie connexe, il est
(2)
Une
de demander l’existence d’un élément 03C6 E
équivalent
L1(G)
(on peut même
le choisir
T(tp) soit un opérateur compact non nul [C 3].
C*(G)
C*-algèbre de G . Toute représentation unitaire T de G
définit une représentation (notée encore T ) de C*(G) dans le même espace de
Hilbert. Si T est irréductible et normale, toute représentation T’irréductible
ayant même noyau que T dans la C*-algèbre est équivalente à T (cf. [Di 2]).
Le groupe G est dit de type I si toute représentation unitaire irréductible
de G est normale. L’application qui à T E G associe son noyau dans C*(G) est
alors une bijection sur l’ensemble Prim C*(G) des idéaux premiers de C*(G) . On
munit Prim C*(G) de la topologie de Jacobson, et on transporte cette topologie sur
G . La structure borélienne sous-jacente à cette topologie est standard. Pour tout
T
x E C*(G) , la fonction
tr(T(x)T(x)*) de G dans [ 0,~] est semi-continue
inférieurement, et en particulier borélienne.
tel que
dans
la
Soit
-+
~3~
distribution
La
r-~
déterminé est la fonction
C’est
c~ E
~4~
forme linéaire
une
dépend du choix de dg . Ce qui
généralisée tr T(g) telle que l’on ait
tr
sur
l’espace
des densités de la forme
est
(pdg ,
canoniquement
avec
G~ (G) .
f
Si
est bien
polarisable,
algèbre complexe de ~ .
f
admet
une
Cette définition est
demande l’existence de bonne
(5)
T((p)
polarisation
bonne
polarisation qui est une souséquivalente à celle de [Du 1], qui ne
que dans le
complexifié ~ ® ~
A condition de remarquer que la condition
d’intégrabilité est équivalente (pour
les groupes complexes) à la condition d’admissibilité de [Du 1], et que les ensembles
X(f) définis ici et là sont canoniquement isomorphes.
Ce n’est pas la même définition que dans [Du 1], mais cela revient au même,
d’après un résultat récent de Bouaziz [B]. L’existence de polarisations réelles
~
G(f)-invariantes lorsque
G
est
réductif
complexe
des groupes réels (et même
par rapport
composante neutre est réductive complexe).
au cas
~’~
représentation
La
Sur les
groupe
deux,
Wl
ce
~
qui complique
un
est essentiellement la
réels,
est une
au cas
grande simplification
des groupes dont seulement la
représentation
de Shale-Weil du
il faut faire intervenir des revêtements d’ordre
peu les choses
(cf. [Du 1]).
admet un carac[K] suppose l’orbite fermée, et ne démontre pas que si
tère distribution l’orbite est tempérée, mais cela ne fait pas de problème. La
formule (11) est écrite sous la forme proposée dans [Be-V] (voir aussi [V 3]).
~
BIBLIOGRAPHIE
formule de Plancherel pour les groupes algébriques complexes
unimodulaires, Thèse Université Paris 7, 1983.
[Be-V] N. BERLINE and M. VERGNE - The equivariant index and Kirillov’s Character
Formula, Preprint 1983.
A. BOUAZIZ - Sur les représentations des groupes réductifs non connexes,
[B]
Preprint, 1983.
J.-Y. CHARBONNEL - La formule de Plancherel pour un groupe résoluble connexe
[C 1]
II, Math. Annalen 250(1980), 1-34.
J.-Y. CHARBONNEL - Sur les orbites de la représentation coadjointe, Composi[C 2]
tio Math. 46(1982), 273-305.
J.-Y. CHARBONNEL - Idéaux primitifs et opérateurs compacts, à paraître dans
[C 3]
[A]
M. ANDLER - La
le Bull. S.M.F..
Sur les représentations unitaires des groupes de Lie algébriques, Ann. Institut Fourier 7(1957), 315-328.
DIXMIER - Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars,
[Di 1]
J. DIXMIER -
[Di 2]
J.
[Du 1]
M. DUFLO - Construction
[Du 2]
M.
[Du 3]
M. DUFLO -
Paris,
1964.
représentations unitaires d’un groupe de Lie, in
Harmonic Analysis and Group Representations, Liguori Ed., Napoli, 1982.
DUFLO - Théorie de Mackey pour les groupes de Lie algébriques, à paraître
de
dans Acta Mathematica.
bites,
[G-N]
Représentations
in
G.M.E.L., Bordas, Paris,
or-
1982.
I.M. GELFAND und M.A. NAIMARK - Unitäre
Akademie Verlag, Berlin,
[Go]
unitaires des groupes de Lie et méthode des
Darstellung der Klassichen Gruppen,
1957.
R. GODEMENT - Mémoire sur la théorie des caractères dans les groupes locale-
compacts unimodulaires, J. Math. pures et appl. 30(1951), 1-110.
V.A. GUINZBURG - Method of orbits in the representation theory of complex Lie
[Gu]
groups, Funct. Analysis and Applic. 15(1981), 18-28.
Proc.
[H-C 1] HARISH-CHANDRA - Plancherel formula for the 2 2 real unimodular group,
Nat. Acad. Sci. U.S.A. 38(1952), 337-342.
[H-C 2] HARISH-CHANDRA - The Plancherel formula for complex semi-simple Lie groups,
Trans. Amer. Math. Soc. 76(1954), 485-528.
The Maass[H-C 3] HARISH-CHANDRA - Harmonic analysis on real reductive groups III,
Math.
of
Annals
104 (1976) ,
Selberg relations and the Plancherel formula,
ment
117-201.
[Kh]
M.S. KHALGUI - Caractères des groupes de
Lie, Journal of
Funct.
Analysis
(1982), 64-77.
[Ki 1]
A.A. KIRILLOV -
Uspekhi
Représentations
Math. Nauk.
unitaires des groupes de Lie
27(1962), 57-110.
nilpotents,
47
A.A. KIRILLOV - Plancherel measure
for nilpotent Lie groups,
Funct.
Analysis
and Applic. 1(1967), 330-331.
[Ki 3] A.A. KIRILLOV - The characters of unitary representations of Lie groups,
Funct. Analysis and Applic. 3(1968), 133-146.
[K1-Li] A. KLEPPNER and R.L. LIPSMAN - The Plancherel formula for group extensions II ,
Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 6(1973), 103-132.
I.E. SEGAL - An extension of Plancherel’s formula to separable unimodular
[S]
groups, Ann. of Math. 52(1950), 272-292.
M. VERGNE - A Plancherel formula without group representations, OAGR Confe[V 1]
rence (1980), à paraître.
M. VERGNE - A Poisson-Plancherel formula for semi-simple Lie groups, Annals
[V 2]
of Math. 115(1982), 639-666.
M. VERGNE - Representations of Lie groups and the orbit method, in Emmy
[V 3]
Noether Symposium, Bryn-Mawr, à paraître chez Springer-Verlag.
[Ki 2]
Michel DUFLO
Université de Paris 7
UER de Mathématiques
Tour 45-55 5e étage
2 place Jussieu
F-75251 PARIS CEDEX 05
291