18 juillet 2013 Exercices : Applications linéaires I Définition générale d’une application linéaire Dans chacun des cas suivants, l’application f est-elle dans L (R3 ) ? Exercice I.1 : 1. f (x, y, z) = (x − 2z, 3z, x + y + z) 2. f (x, y, z) = (x + y, z, 1 + y + z) 3. f (x, y, z) = (z + y, x y, x) Exercice I.2 : Dans chacun des cas suivants, l’application proposée est-elle linéaire ? [0,1] → R R Z1 1. ϕ : f 7→ f (1) − f (t )d t 0 2. ϕ : 3. ϕ : 4. ϕ : [0,1] R R → f Z1 7→ 0 ½ RN (un )n∈N ½ D f ½ R[X ] P → 7 → → 7 → f 2 (t )d t R3 (u0 , u1 , u2 ) D © ª g f : x 7→ f (x) + x f ′ (x) où D est l’ensemble des fonctions dérivables sur R à valeurs dans R. 5. ϕ : R[X ] RP → 7→ où RP est le reste de la division euclidienne du polynôme P par X 2 + 1. II Noyau et image Exercice II.1 : Vérifier que les applications suivantes sont linéaires, et en déterminer le noyau et l’image. a) f : Exercice II.2 : ½ R2 (x, y) → R3 7→ b) g : (4x, y − x, 2x + y) ½ R3 (x, y, z) → 7 → R2 (2x + y − z, x − y) C est ici considéré comme un R-espace vectoriel. 1. Rappeler la dimension de C et en donner la base canonique. 2. Montrer que l’application f : z → (2i − 1)z + (2 − i )z̄ est linéaire. Déterminer son image et son noyau. Exercice II.3 : Soient f et g deux endomorphismes d’un K-e.v. E tels que g ◦ f = f ◦ g . Montrer que Ker f et Im f sont stables par g . III Injectivité, surjectivité Exercice III.1 : Soit f ∈ L (E , F ). Montrer que : 1. f est injective si et seulement si f transforme toute famille libre de E en une famille libre de F . 2. f est surjective si et seulement s’il existe une famille génératrice de E dont l’image est génératrice dans F . Exercice III.2 : Soit f : R3 → R3 définie par f (x, y, z) = (2x, 2y, 0). 1. Montrer que f est linéaire. Est-elle injective ? 2. Trouver Ker f et Im f , et montrer que R3 = Ker f ⊕ Im f . f est-elle une projection ? Exercice III.3 : Lycée Jean Perrin 2013/2014 1/2 18 juillet 2013 1. Pour des applications linéaires f : E → F et g : F → G, établir l’équivalence : g ◦ f = 0 ⇔ Im f ⊂ Ker g 2. Soit E un C-espace vectoriel et f ∈ L (E ) tel que f 2 − 3f + 2I dE = 0L (E ) . (a) Montrer que f est un automorphisme. (b) Établir que Im( f − I dE ) ⊂ Ker ( f − 2I d) et Im( f − 2I dE ) ⊂ Ker ( f − I dE ) (c) Montrer que E = Ker ( f − I dE ) ⊕ Ker ( f − 2I dE ). (d) En déduire que si E est de dimension finie n, il existe une base β = (εi )1ÉiÉn , telle que ∀i , f (εi ) = λi εi avec λi = 1 ou λi = 2. IV Projections et symétries ~ la droite vectorielle engendrée par le vecteur Exercice IV.1 : Soit E un R-espace vectoriel de base (~ i ,~ j ,~ k). On note D ~ le plan vectoriel, noyau de la forme linéaire : ~ v (−1, 1, 2) et P f : X = (x, y, z) 7→ f (X ) = x + 2y − z ~ parallèlement à P ~ et de la projection q sur P ~ parallèlement à Donner l’expression analytique de la projection p sur D ~ D. ( R2 → R2 1 Exercice IV.2 : Soit f : . Montrer que f est une application linéaire. Quelle est (x, y) 7→ (−x + 2y, −2x + 4y) 3 la nature de celle-ci ? Exercice IV.3 : Soit p un projecteur. Que peut-on dire de l’application 2p−I d ? En donner une interprétation géométrique (on pourra s’aider d’un dessin). V Dimension finie. Théorème du rang Exercice V.1 : Justifier qu’il existe une unique application linéaire f de R2 dans R3 telle que f (1, 2) = (1, 1, 0) et f (2, 1) = (0, 1, 1). Déterminer f (x, y), Ker f et Im f . ½ Rn [X ] → Rn−1 [X ] Exercice V.2 : On définit l’application J : P 7→ P (X + 1) − P (X ) 1. Vérifier que J est une application linéaire, à valeurs dans Rn−1 [X ]. 2. Déterminer Ker J et Im J . ½ Rn [X ] → Rn [X ] Exercice V.3 : Soit f : . P 7→ X P ′ (X ) − 2P (X ) 1. Montrer que f est une application linéaire, à valeurs dans Rn [X ]. 2. Déterminer Im f . Quelle est le rang de f ? 3. Donner la dimension de Ker f , puis déterminer Ker f . Exercice V.4 : Soit E un espace vectoriel de dimension 3 dont une base est (e 1 , e 2 , e 3 ). On considère l’endomorphisme f défini par : f (e 1 ) = e 2 + e 3 f (e 2 ) = e 3 + e 1 et f (e 3 ) = e 1 + e 2 Soit x = x1 e 1 + x2 e 2 + x3 e 3 . Déterminer l’expression de f (x) dans la base (e 1 , e 2 , e 3 ). f est-il un automorphisme de E ? ½ R3 → R3 Exercice V.5 : Montrer que f : est un automorphisme. (x, y, z) 7→ (z, x − y, y + z) Exercice V.6 : de : Soit E un espace vectoriel de dimension 3, (e 1 , e 2 , e 3 ) une base de E , et λ ∈ R. Démontrer que la donnée ϕ(e 1 ) ϕ(e 2 ) ϕ(e 3 ) = = = e1 + e2 e1 − e2 e 1 + λe 3 définit une application linéaire ϕ de E dans E . Écrire le transformé du vecteur u = xe 1 + ye 2 + ze 3 . Comment choisir λ pour que ϕ soit injective ? Surjective ? Exercice V.7 : Soient E un K-ev de dimension finie et f ∈ L (E ) telle que rg f = 1. Montrer qu’il existe un unique λ ∈ K tel que f 2 = λf . Lycée Jean Perrin 2013/2014 2/2