Exercices - Université Bordeaux 1

Exercices
1 – Phénomènes quantico-étranges à quantalouette
Robert Bidochon a une masse de 90 kg et vit avec sa femme Raimonde(90 kg
également) dans une banlieue imaginaire, Quantalouette, où la constante de Planck vaut
h = 100 J. s. Il se trouve dans son salon qui possède 2 portes situées sur le même mur
qui donnent sur la cuisine où officie Raimonde.
– Calculer la longueur d’onde associée à Robert s’il se déplace à une vitesse de 1,1 m/s.
– Peut-on être certain que Robert lit son journal tranquillement installé dans son
fauteuil décoré de napperons achetés au mont Saint-Michel ? (on suppose que sa marge
de mouvement dans le fauteuil est de 10 cm).
– Les deux portes sont ouvertes. Quel phénomène subit Robert lorsqu’il va à la cuisine
pour réprimander son épouse neurasthénique ? – Raimonde peut elle échapper à son
mari ? Comment ?
– Que doit faire Robert dans ce cas pour ne pas la rater ?
2 – Spectre d’émission de Be3+
A partir des formules du cours déterminer l’expression du nombre d’onde 1/λ du
rayonnement émis lors d’une transition du niveaux ni vers le niveau nf ( ni > nf ) pour
l’ion hydrogénoïde Be3+. Calculer les longueurs d’onde minimales et maximales des
trois premières séries du spectre d’émission de cet ion.
3 – Energie d’ionisation de H
Exprimer en u. a. l’énergie potentielle de l’électron d’un atome d’hydrogène en
fonction de sa distance au noyau (on utilisera les définitions du cours). Porter sur une
même figure l’énergie potentielle en fonction de la distance au noyau ainsi que
l’énergie cinétique due à la rotation de l’électron autour du noyau dans l’état
fondamental. Placer sur la figure les niveaux quantiques d’énergie. Déterminer à partir
de cette figure pour quelle énergie l’électron peut se libérer du noyau (ionisation de
l’atome ).
Quelle énergie faut il fournir à l’atome dans son état fondamental pour l’ioniser. Même
question pour 1g d’hydrogène
On donne N = 6,02 .1023 mol-1
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4 – Atomes hydrogénoïdes
A - Quelle est la valeur en joules de l’u.a. ?
B - Exprimer l’énergie d’un atome hydrogénoïde en eV et en u.a
C - Quels sont les atomes hydrogénoïdes dont les énergies d’ionisation sont
respectivement 2 u.a et 12.5 u.a.
5 - Fonction d'onde 1s des atomes d'hydrogénoïdes
La fonction d'onde 1s exprimée en coordonnées sphériques est :
Ψ100 =Ψ1s =1
π
Z
a0
32exp -Zr
a0
A - Exprimer la densité de probabilité de présence ainsi que la densité de
probabilité de présence radiale ( qui ne dépend que de r ). Pour ce faire on
intégrera la probabilité élémentaire sur les angles θ et φ uniquement. A l'aide des
données du cours montrer que l'on retrouve bien r2 R(r)2 où R(r) est la partie
radiale de Ψ1s.
B - Calculer le rayon moyen ainsi que le rayon le plus probable.
C - Calculer la probabilité P(R0) de trouver l'électron dans une sphère de rayon
R0.
A. N. : - Atome d'hydrogène : tracer P(R0) entre 0 et 5 Å
- Ion Li ++ : idem; comparer et interpreter la différence entre ces deux
courbes
On donne :
rn
0
e-ar dr= n!
an+1
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6 – Orbitale 2s des atomes hydrogénoïdes
On donne l'expression de l'orbitale 2s d'un atome hydrogénoïde :
Ψ2s = 1
4 2 π Z
a0
3/2 2 – Z r
a0 exp – Z r
2 a
0
A - Exprimer la densité volumique de probabilité de présence ainsi que la densité de
probabilité de présence radiale ( qui ne dépend que de r ) .
B - Calculer le rayon le plus probable.
7 – Fonction d’onde hybride
Atomes hydrogénoïdes : Soit la fonction d'onde hybride sp suivante :
Ψ = N (Ψ100 - Ψ210 )
A - Déterminer la constante de normalisation N.
B - Quelle est la probabilité pour que l'atome soit dans l'état Ψ100, Ψ210 ?
C - Quelle est la valeur moyenne de l'énergie E, de l2 de lz dans l'état hybride ?
8 – Hybridation sp
Les orbitales atomiques 2s et 2px d’un atome hydrogénoïde sont notées Ψ2s
et Ψ2
px
.
Elles sont orthogonales et normalisées. On considère les deux orbitales hybrides sp
suivantes :
Ψs
p
1
= cos(α) Ψ2s + sin(α) Ψ2
px
Ψs
p
2
= sin(α) Ψ2s – cos(α) Ψ2
px
α est un angle appelé angle d'hybridation
• A – Exprimer les relations de normalisation et d'orthogonalité auxquelles doivent
obéir ces deux orbitales hybrides.
• B –Montrer que ces deux orbitales sont effectivement normalisées.
• C – Montrer qu'elles sont en outre orthogonales entre elles.
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9 – Molécule BeH
On donne ci-dessous les OM normalisées de BeH exprimées comme combinaisons
linéaires des orbitales atomiques de valence. Ces OM ne décrivent que les électrons de
valence de la molécule. La molécule est positionnée sur l'axe Ox (Be est à gauche de
H). Chaque colonne est relative à une orbitale moléculaire. La première ligne donne
l'énergie de chaque orbitale moléculaire (en Hartree).
OA \ εi(u.a.) – 1.1644 – 0.3490 – 0.2727 –0.2727 – 0.1085
1sH 0.8283 – 0.1816 0.0000 0.0000 0.5300
2sBe 0.4304 0.8120 0.0000 0.0000
– 0.3943
2pxBe 0.3587 – 0.5547 0.0000 0.0000 – 0.7508
2py Be 0.0000
0.0000 1.0000 0.0000 0.0000
2pzBe 0.0000
0.0000 0.0000 1.0000 0.0000
• A – Montrer par un schéma qualitatif que la première OM notée Φ est la
combinaison d'une orbitale hybride Ψ
1
s
p
1
de Be (voir exercice 8) et de l'orbitale 1s
de l'hydrogène. On écrit alors :
Φ1
= C1 Ψs
p
1
+ C2 Ψ1s
H
a - Quelle est la valeur du coefficient C2 ?
b - En supposant que l'hybride sp1 et l'orbitale 1s de H sont orthogonales,
utiliser la relation de normalisation de l'OM pour déterminer la valeur de C1 .
c - En déduire la valeur de l'angle d'hybridation défini dans la question A .
• B – Répondre aux mêmes questions qu'en A pour la deuxième orbitale moléculaire.
On prendra une fonction Ψs
p
2
pour décrire l'hybride sur Be.
• C – Les deux hybrides que l'on vient de déterminer sont ils orthogonaux ? Justifier.
10 - Diagramme de corrélation de OH-.
Un calcul Hartree-Fock sur l'ion OH- a été réalisé en ne tenant compte que des
électrons de valence de O et H. Les énergies des OA sont en u. a. :
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2sO = -1,17 2pO = -0,57 1sH = -0,50
_____________________________________________________________________
OM 1 2 3 4 5
_____________________________________________________________________
E(OM) -1,4645 -0,8286 -0,57 -0,57 0,2369
_____________________________________________________________________
2s0 -0,8848 -0,3803 0,0000 0,0000 0,2692
2px0 -0,0815 0,6952 0,0000 0,0000 0,7142
2py0 0,0000 0,0000 1,0000 0,0000 0,0000
2pz0 0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 0,0000
1sH -0,4588 0,6099 0,0000 0,0000 -0,6462
On donne ci-dessus les coefficients des OA dans chacune des OM ainsi que les énergies
de ces OM. Sur quel axe est placée la molécule? Quelle est son orientation ?
Tracer le diagramme de corrélation de OH-. Quelles sont les OM de symétrie σ et π ?
Effectuer le remplissage des OM pour obtenir la configuration fondamentale et donner
l'état de spin de cet ion dans son état fondamental. Représenter schématiquement les
différents couplages des OA dans chaque OM occupée en précisant leur nature et
identifier les OM globalement liantes, non liantes et antiliantes (justifier).
11 - Diagramme de corrélation de N2
On considère la molécule N2 composée de 2 atomes appelés NA et NB. Pour décrire sa
structure électronique on applique la méthode des orbitales moléculaires (OM) dans le
cadre de l’approximation LCAO appliquée aux seuls électrons de valence. Le tableau
suivant reporte les coefficients LCAO de chaque orbitale moléculaire. On y donne
également les énergies (en u.a.) de ces OM. La molécule est placée sur l'axe Ox, NA est
avant NB
• A - Combien d'électrons de valence contient cette molécule ? Représenter
schématiquement les niveaux d'énergie des OM et y placer les électrons; relier ces
niveaux aux niveaux d'énergie des orbitales atomiques placés (qualitativement) de
part et d'autre.
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