Contrôle : arithmétique E 1 E 2

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Contrôle : arithmétique
(b) Quel est le nombre d'éléments de (E) qui ne sont ni divisibles par 2 ni par 5 ?
.
Contrôle : arithmétique
3. Soit n un élément de (E) s'écrivant sous la forme abba .
E
1
. correction
Soit p un entier naturel non premier, p ⩾ 2 .
(a) Montrer que : « n est divisible par 3 » équivaut à « a + b est divisible par
On rappelle que pour tout n ∈
3 ».
N , n! = n × (n − 1) . . . × 1 et 0! = 1 .
1. Prouver que p admet un diviseur q , 1 < q < p qui divise (p − 1)! .
(b) Montrer que : « n est divisible par 7 » équivaut à « b est divisible par 7 ».
2. L'entier q divise-t-il l'entier (p − 1)! + 1 ?
4. Déduire des questions précédentes le nombre d'éléments de (E) qui admettent
11 comme plus petit facteur premier.
3. L'entier p divise-t-il l'entier (p − 1)! + 1 ?
Partie B : Étude des éléments de (E) correspondant à une année bissextile.
E
2
. correction
Soit (E) l'ensemble des entiers naturels écrits, en base 10, sous la forme abba où
Soit (F) l'ensemble des éléments de (E) qui correspondent à une année bissextile.
a est un chiffre supérieur ou égal à 2 et b est un chiffre quelconque.
tels que :
On admet que pour tout élément n de (F), il existe des entiers naturels p et q
Exemples d'éléments de (E) : 2 002 ; 3 773 ; 9 119. Les parties A et B peuvent être
n = 2 000 + 4p
et
n = 2 002 + 11q.
traitées séparément.
Partie A : Nombre d'éléments de (E) ayant 11 comme plus petit facteur premier.
1. On considère l'équation (e) : 4p − 11q = 2 où p et q sont des entiers relatifs.
Vérifier que le couple (6, 2) est solution de l'équation (e) puis résoudre l'équation
(e).
1. (a) Décomposer 1 001 en produit de facteurs premiers.
2. En déduire que tout entier n de (F) peut s'écrire sous la forme 2 024 + 44 k
(b) Montrer que tout élément de (E) est divisible par 11.
où k est un entier relatif.
2. (a) Quel est le nombre d'éléments de (E) ?
3. À l'aide de la calculatrice déterminer les six plus petits éléments de (F).
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N.B. : Liste des nombres premiers inférieurs à 40 :
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37.
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(b)
.
Correction
E
1
a × 103 + b × 102 + b × 10 + a ≡ 11a ≡ 11a + 11b [11]
≡ 11 (a + b) [11]
. énoncé
≡ 0 [11]
1. p n'est pas premier, donc il existe q ∈
N et k ∈ N , vérifiant 1 < q < p
et
2. (a) 80 .
1 < k < p , tels que p = qk .
(b) On a 3 valeurs différentes pour a et 10 valeurs différentes pour b , donc il
(
) (
)(
)
q est alors un facteur de p − 1 ! = p − 1 p − 2 × . . . × 1 .
(
y a 30 éléments de (E) qui ne sont ni divisibles par 2 , ni par 5 .
)
On en déduit que q divise p − 1 ! .
(
)
2. q divise p − 1 ! donc il existe k ∈
(
)
N tel que
(
3. (a) n ≡ 2 (a + b) [3] donc
)
p − 1 ! = qk et on a alors
p − 1 ! + 1 = qk + 1 .
(
)
Comme 0 ⩽ 1 < q , 1 est le reste dans la division euclidienne de p − 1 ! + 1 par
n ≡ 0 [3]
⇐⇒
2 (a + b) ≡ 0 [3]
n ≡ 6a + 2b + 3b + 1 [7]
≡ 7a + 5b [7]
)
p − 1 ! + 1 n'est donc pas divisible par q .
(
)
3. Si p − 1 !+1 est divisible par p alors il existe k ∈
(
)
a+b ≡ 0 [3] car 2 et 3 sont premiers entr
(b) 10 ≡ 3 [7] , 102 ≡ 2 [7] et 103 ≡ 6 [7] donc :
q.
(
⇐⇒
≡ 5b [7]
N tel que (p − 1)!+1 = pk .
(
)
Or q divise p donc, si p − 1 ! + 1 est divisible par p alors p − 1 ! + 1 est divi(
)
sible par q , ce qui est impossible. On en conclut que p ne divise pas p − 1 !
On a donc
n ≡ 0 [7]
⇐⇒
5b ≡ 0 [7]
⇐⇒
b ≡ 0 [7] car 5 et 7 sont premiers entre eux.
4. On cherche le nombre d'éléments de (E) qui ne sont divisibles ni par 2 , ni par
3 , ni par 5 , ni par 7 .
E
2
. énoncé
Partie A
Parmi les 30 éléments de la question précédente on cherche ceux qui ne sont divisibles ni par 3 ni par 7 :
1. (a) 1 001 = 7 × 11 × 13 .
□
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si a = 3 alors b peut prendre les valeurs : 1 , 2 , 4 , 5 et 8 ;
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□
si a = 5 alors b peut prendre les valeurs : 0 , 1 , 3 , 4 , 6 et 9 ;
□
si a = 9 alors b peut prendre les valeurs : 1 , 2 , 4 , 5 et 8 ;
3. On obtient : 2 112 , 2 332 , 2 552 , 2 772 , 2 992 , 4 004 .
On obtient 16 éléments de (E) .
Partie B
1.
□
4 × 6 − 11 × 2 = 2 donc le couple (6 ; 2) est solution de (e) .
□
4p − 11q = 2
(
⇐⇒ 4p + 4 × 6 − 11q − 11 × 2 = 2 − 2
(
)
(
)
⇐⇒ 4 p − 6 − 11 q − 2 = 0
(
)
(
)
⇐⇒ 4 p − 6 = 11 q − 2 .
)
Si p ; q est solution de (e) alors :
□
(
)
11 divise 4 p − 6 et est premier avec 4 , donc d'après le théorème de
Z tel que p = 6+11k .
De la même manière, on obtient l'existence de k ′ ∈ Z tel que q = 2 + 4k ′ .
Gauss, 11 divise p −6 . On en déduit qu'il existe k ∈
□
(
)
Réciproquement, soit k ; k ′ ∈
(
)
Z2 , si (6 + 11k ; 2 + 4k ′) est solution de (e)
alors 4 (6 + 11k) − 11 2 + 4k ′ = 2 , ce qui donne k = k ′ .
Z
L'ensemble des solutions de (e) est donc {(6 + 11k ; 2 + 4k) , k ∈ } .
2. On a n = 2000 + 4p = 2002 + 11q, donc 4p − 11q = 2.
D'où p = 6 + 11k , k ∈
Z et 2000 + 4 (6 + 11k) = 2024 + 44k = n , k ∈ Z
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