semaine 1

Concepts Fondamentaux de la Probabilité
Modèles mathématiques
Nous utilisons des modèles pour simplifier l’analyse d’un système complexe. C’est une
représentation approximative de la situation actuelle. Le modèle simule le comportement du
système et permet l’ingénieur d’analyser une situation sans le besoin d’avoir à faire une
expérience coûteuse exigeant beaucoup de temps. Un modèle mathématique peut être conçu
quand le comportement du système peut être défini par des variables quantifiables. Le modèle
mathématique est défini par un groupe de suppositions qui sont présentées dans la forme de
relations mathématiques.
Quand nous utilisons un modèle mathématique au lieu d’une expérience, nous voulons que le
modèle simule l’expérience. Alors, les données des relations mathématiques du modèle sont les
conditions de l’expérience hypothétique. La solution des relations nous permet de prédire le
résultat de l’expérience hypothétique.
Modèles Déterministes
Pour un modèle déterministe, les conditions de l’expérience déterminent le résultat exact de
l’expérience. Par exemple, si on veut trouver la chute de tension sur une résistance donné pour
un courant donné, nous pouvons utiliser le modèle proposé par Ohm, qui dit V = IR, où I est le
courant, R est la valeur de la résistance et V est la chute de tension sur la résistance. La théorie
des circuits dit que si nous répétons la même expérience plusieurs fois, nous devons toujours
observer la même chute de tension. Alors, le modèle V = IR est un modèle déterministe.
Modèles Probabilistes
Un modèle probabiliste est utilisé pour simuler une expérience aléatoire. Une expérience
aléatoire en est une dont le résultat varie imprévisiblement quand l’expérience est répétée sous les
mêmes conditions. Par exemple, supposons que nous roulons un dé non biaisé. En répétant
l’expérience, même si nous le roulons de la même façon, sur la même table, etc, nous ne pouvons
pas garantir le même résultat à chaque épreuve. Alors, un modèle déterministe n’est pas
approprié pour modéliser cette expérience.
L’ensemble ou l’espace fondamentale, S, contient tous les résultats possibles de l’expérience.
Dans notre exemple, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Supposons que nous répétons l’expérience avec le dé n fois. Supposons que Nx est le nombre de
fois en n essais où la valeur du dé est x. La fréquence relative de la valeur x est fx(n) = Nx/n. On
dit que l’expérience démontre une régularité statistique si les variations de fx(n) diminue en
augmentant n. C'est-à-dire
lim f x ( n) = lim
n→∞
n →∞
Nx
→ px
n
(1)
où px est la probabilité que le résultat de l’expérience est x.
Figure 1 démontre la fréquence relative des six résultats possible quand l’expérience est répétée
100 fois. Figure 2 démontre ces fréquences relatives quand l’expérience est répétée 1000 fois.
On remarque que les variations des fréquences des observations diminuent en augmentant le
nombre de reprise de l’expérience.
1
x=1
x=2
x=3
x=4
x=5
x=6
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Figure 1 : Fréquence relative des résultats obtenus quand on lance un dé à 100 reprises.
1
x=1
x=2
x=3
x=4
x=5
x=6
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Figure 2 : Fréquence relative des résultats obtenus quand on lance un dé à 1000 reprises.
Propriétés de la fréquence relative
Pour une expérience, supposons qu’il y a K événements possible comme résultat. C'est-à-dire
que l’espace fondamentale contient K éléments. Pour n essais de la même expérience,
l’événement x est le résultat de l’expérience Nx fois. Nous notons que
1) 0 ≤ Nx ≤ n pour x = 1, 2, …, K.
2)
K
∑ Nx
=n
x =1
3) Soit l’événement y défini par l’apparition de l’événement x1 ou x2, alors Ny = Nx1+Nx2.
En divisant par n, nous obtenons les observations suivantes pour la fréquence relative :
1) 0≤ fx (n)≤ 1 pour x = 1, 2, …, K.
2)
K
∑ f x ( n) = 1
x =1
3) Soit l’événement y défini par l’apparition de l’événement x1 ou x2, alors fy(n) =
fx1(n)+fx2(n).
Application des propriétés de la fréquence relative à la théorie de la probabilité
Si nous définissons la probabilité d’un événement étant sa fréquence relative dans la limite où n
tend vers l’infini, on peut dire que :
1) 0 ≤ P[A] ≤ 1
2) P[S] = 1
3) Si les événements A et B ne peuvent se produire simultanément, P[A ou B] = P[A] + P[B].
Spécifications de l’expérience aléatoire
Une expérience dont le résultat varie d’une façon imprévisible quand on répète l’expérience sous
les mêmes conditions est une expérience aléatoire. On spécifie l’expérience aléatoire en énonçant
la procédure expérimentale de même que les observations et les mesures.
Exemple
Expérience 1 : Rouler un dé dix fois et observer le nombre de fois que le résultat est 6.
Expérience 2 : Rouler deux dés et observer la somme.
Expérience 3 : Mesurer le temps qui se passe entre la réception de deux messages de courrier
électronique.
Ici on voit qu’en expériences 1 et 2, on doit suivre la directive (la procédure expérimentale) et on
doit observer le résultat. En expérience 3, on doit mesurer le résultat de l’expérience.
L’espace fondamental
Il y a beaucoup de résultats possibles, il est nécessaire d’identifier l’ensemble de ces résultats.
Définissons un point échantillon (un résultat possible) comme un résultat distinct. C'est-à-dire
que le point échantillon est un résultat qui ne peut pas être décomposé en autres résultats. Alors,
les points échantillons sont des résultats s’excluant mutuellement. L’espace fondamental, S, est
l’ensemble de tous les points échantillons.
Exemple
Expérience 1 : S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Expérience 2 : S = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
Expérience 3 : S = {t : t ≥0} = [0, ∞)
Un espace fondamental est discret si on peut avoir un rapport un à un entre ses points échantillons
et les entiers positifs. Autrement, c’est un espace continu. Les espaces des expériences 1 et 2
sont des espaces discrètes tandis que l’espace fondamentale de l’expérience 3 est un espace
continu.
Un espace discret est nombrable. Si l’espace contient un nombre fini de points échantillons, on
dit que c’est un espace fini. Si l’espace discret contient un nombre infini de points échantillons,
on dit que c’est un espace infini nombrable. Un espace continu n’est pas nombrable.
Événement
Un événement est un résultat qui satisfait certaines conditions. Les conditions sont définies par
un sous-ensemble de l’espace fondamentale. Si le résultat est parmi les points échantillons de ce
sous-ensemble, on dit que l’événement a été produit par l’expérience. Par exemple, supposons
qu’on veut trouver la probabilité qu’on obtient 6 plus que trois fois quand on lance le dé dix fois.
C'est-à-dire que l’événement que nous recherchons se produit quand le résultat de la première
expérience est 4 ou plus. Alors, l’événement est défini d’un ou plusieurs points échantillons de
l’espace fondamentale.
L’événement certain est l’événement qui est formé de tous les points échantillons de l’espace
fondamentale. Alors, l’événement certain est S. L’événement impossible ou nul ne contient
aucun point échantillon de l’espace fondamentale. On identifie cet événement par le symbole Ø.
Définissons l’union de deux événements A U B étant l’ensemble des résultats qui définissent
l’événement A, et ceux qui définissent l’événement B incluant ceux qui appartiennent aux deux
définitions.
L’intersection de deux événements A I B est l’ensemble des résultats qui sont commun parmi les
résultats qui définissent A et ceux qui définissent B. On dit que A et B sont deux événements
s’excluant mutuellement si A I B = Ø.
Le complément d’un événement A, Ac, est défini comme l’ensemble de tous les résultats qui ne se
trouvent pas parmi les résultats qui définissent événement A. Par définition, si le résultat d’une
expérience n’est pas parmi les résultats qui définissent l’événement A
On dit que A est un sous-ensemble de B, A ⊂ B , si tous les résultats qui définissent l’événement
A sont parmi les points échantillons qui définissent B. Supposons qu’`a la suite d’une expérience,
on observe l’événement A comme résultat. Pour A ⊂ B , on sait que le résultat de l’expérience a
produit l’événement B aussi. On dit que l’observation de A implique B quand A ⊂ B .
Ces définitions sont démontrées à la Figure 1.
S
S
A
B
A
S
B
S
A
A
B
S
A
B
Figure 1 : Union, intersection, complément, événements s’excluant mutuellement, et sousensemble.
Pour les opérations U, I la commutativité, l’associativité et la distributivité s’appliquent. Alors
A U B = B U A et A I B = B I A
A U ( B U C ) = ( A U B ) U C et A I ( B I C ) = ( A I B ) I C
A U ( B I C ) = ( A U B ) I ( A U C ) et A I ( B U C ) = ( A I B ) U ( A I C )
(2)
(3)
(4)
Les lois de Morgan disent :
( A I B) c = A c U B c et ( A U B) c = A c I B c
(5)
Considérons Y = A U B . Y est l’ensemble de tous les points échantillons en S sauf les échantillons
qui ne sont pas en A ET en B ( A c I B c ). Alors Y = S- A c I B c = S I ( A c I B c ) c = ( A c I B c ) c .
Alors ( A U B) c = A c I B c . En remplaçant A par Ac et B par Bc et en prenant le complément, on
trouve A c U B c = ( A I B) c .
Les axiomes de la probabilité
La probabilité d’un événement est une mesure de la vraisemblance de l’apparition de l’événement
suite à une expérience. Une loi de probabilité assigne les probabilités aux événements. Les
axiomes de probabilité disent qu’une loi de probabilité doit satisfaire les propriétés de la
fréquence relative.
Soit E est une expérience avec espace fondamental, S. Pour chaque événement, Ai, une loi de
probabilité de l’expérience E est un règle qui assigne sa probabilité, P[Ai]. Cette loi doit satisfaire
les axiomes suivants :
Axiome I : 0 ≤ P[Ai] ≤ 1.
Axiome II : P[S] = 1.
Axiome III : Si Ai I A j = Ø, pour i ≠j, P[ Ai U A j ] = P[Ai]+P[Aj]
∞
Axiome IIIe : A1, A2, … est une séquence d’événements où Ai I A j = Ø, pour i ≠j, alors P[ U Ai ]
i =1
=
∞
∑ P[ Ai ] .
i =1
Corollaire 1 : P[Aic] = 1-P[Ai].
De l’axiome III, Ai I Aic = Ø, alors P[ Ai U Aic ] = P[Ai]+P[Aic]. Mais, S = Ai U Aic , alors de
l’axiome II, P[S] = 1 = P[Ai]+P[Aic]. Alors, P[Aic] = 1- P[Ai].
Corollaire 2 : P[Ø] = 0.
Soit A = S, alors Ac = Ø. Alors du corollaire 1, P[Ø] = 1-P[S] = 1-1 = 0.
Corollaire 3 : P[ A U B ]=P[A]+P[B]-P[ A I B ].
(
)
(
)
A = A I B c U ( A I B ) et B = B I A c U ( A I B ) alors P[ A] = P[ A I B c ] + P[ A I B] (*) et
P[ B] = P[ B I A ] + P[ A I B] (**). Aussi P[ A U B] = P[ A I B c ] + P[ B I A c ] + P[ A I B] (***). En
substituant (*) et (**) dans l’expression (***), nous obtenons P[ A U B ]=P[A]+P[B]-P[ A I B ].
c
Par induction, on peut démontrer que
⎡n ⎤ n
P ⎢U Ai ⎥ = ∑ P[Ai ] − ∑ P Ai I A j + ∑ P Ai I A j I Ak + ... + (−1) n +1 P[A1 I A2 I A3 ... I An ]
i< j
i< j <k
⎣i =1 ⎦ i =1
[
]
[
]
(6)
Corollaire 4 : Si A ⊂ B , P[ A] ≤ P[ B] .
P[ B] = P[ A I B] + P[ A c I B] = P[ A] + P[ A c I B] , alors P[ A] = P[ B] − P[ A c I B] ≤ P[ B] parce que
P[ A c I B] ≥ 0.
Loi de probabilité pour les espaces discrets
Pour un espace discret, les points échantillons, qui sont nombrables, sont les résultats
fondamentaux de l’expérience. La loi de probabilité pour un espace fini nombrable est de
spécifier les probabilités pour chaque résultat. On dit qu’un événement est arrivé si le résultat de
l’expérience est parmi un sous-ensemble de l’ensemble fondamental. Alors la probabilité que le
résultat de l’expérience est événement A est la somme des probabilités d’apparition de tous les
points échantillons qui définissent l’événement A. C'est-à-dire que pour A = {a1, a2,…an}, où ai
∈ S pour i = 1,2…,n, P[A] = P[a1]+P[a2]+…+P[an].
Exemple 1
On roule un dé non biaisé. L’espace fondamental est S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La loi de probabilité
pour cette expérience est que chaque résultat fondamental est équiprobable. C'est-à-dire que la
probabilité de chaque point échantillon est 1/6. Définissons les événements suivants : Événement
A arrive si le résultat est paire, événement B arrive si le résultat est inférieur à 4 et événement C
arrive si le résultat est 2. Alors A = {2,4,6},B = {1,2,3} et C = {2}. Trouvez :
(a) A ∩ B
(b) A U B
(c) Indiquez s’il y a un événement qui est un sous-ensemble d’un autre événement.
(d) Trouvez P[A], P[B], P[C], P[ A ∩ B ], P[ A U C ] et P[Ac].
Solution
(a) A ∩ B = {2}
(b) A U B = {1, 2, 3, 4,6}
(c) C est un sous-ensemble de A et de B.
(d) P[A] = P[2]+P[3]+P[6] = ½. P[B] = ½ et P[C] = 1/6. P[ A ∩ B ] = 1/6, P[ A U C ] = ½ et P[Ac]
= ½.
Exemple 2
On tir à pile ou face plusieurs fois. La probabilité que le résultat soit n « faces » en linge avant
l’apparition de « pile » pour la première fois est (1/2)n+1 pour n = 0,1, 2, …, ∞. Alors S = {0, 1, 2,
…}. Ceci est un espace infini nombrable. Trouvez la probabilité que n ≥ 3.
Solution
Définissons A = {3, 4, 5, ….} et Ac = {0, 1, 2}. P[A] = (1/2)4+(1/2)5+… = (1/16)[1 + ½ + ¼ +…].
La somme 1 + ½ + ¼ + … = 2. Alors P[A] = 1/8. P[Ac] = P[0]+P[1]+P[2] = ½ + ¼ + 1/8 = 7/8 =
1-P[A]. Ici on voit l’importance du corollaire 1. Dans ce cas, c’est (un peu) plus facile de
trouver P[Ac] que P[A]. Parfois, la meilleure façon de trouver P[A] c’est en trouvant P[Ac].
Loi de probabilité pour les espaces continus
Une expérience où le résultat peut prendre n’importe quelle valeur sur une gamme de valeurs a un
espace continu. Par exemple, le temps d’attente dans une queue est aléatoire et la longueur
d’attente est de 0 jusqu’à l’infini. Pour ce type d’expérience, on s’intéresse que le résultat se
trouve sur un intervalle spécifique. Par exemple, il se peut qu’on aimerait savoir la probabilité
qu’on n’attend pas plus que 30 secondes en queue quand on va à la caisse. Alors, on veut trouver
la probabilité que la durée d’attente est entre 0 et 30 secondes.
Exemple
Le cours ELG 3521 dure 80 minutes. L’assistance est obligatoire, mais étudiant X n’aime pas
venir au cours. Alors, il arrive toujours en retard pendant le cours pour signer la feuille
d’assistance. S’il arrivait toujours vers la fin, le professeur remarquerait ce qu’il fait, alors il
arrive toujours par hasard, parfois proche au début, parfois vers le milieu et parfois vers la fin du
cours. Aujourd’hui, le professeur va donner un quiz aux étudiants dans les 10 premières minutes.
Quelle est la probabilité qu’étudiant X n’arrive pas avant la fin du quiz?
Solution
Soit P[n] est la probabilité que l’étudiant arrive dans l’intervalle 10n minutes ≤ t < 10(n+1)
minutes. Alors P[0] est la probabilité qu’il arrive dans l’intervalle 0 ≤ t < 10 et P[1] est la
probabilité qu’il arrive dans l’intervalle 10 ≤ t < 20 etc. L’étudiant a tendance d’arriver de façon
aléatoire alors on peut supposer que les probabilités d’arriver dans l’intervalle n sont égales.
Alors, P[0] = P[1] = …=P[7] = 1/8. Alors la probabilité qu’il arrive pendant le quiz est 1/8 et la
probabilité qu’il n’arrive pas pendant le quiz est 7/8.
Cette solution a utilisé la supposition que son arrivé à la classe est équiprobable pour chaque
intervalle de temps. Ceci est suggéré dans l’énoncé de l’exemple. Cependant sans savoir les
statistiques de son arrivé, la solution n’est qu’une approximation. Plus tard dans le cours, nous
allons apprendre comment trouver la solution pour des situations semblables quand on connaît les
statistiques importantes.
Méthodes d’énumération
Pour beaucoup d’expériences qui ont un espace fini, les résultats sont (ou on peut supposer qu’ils
sont) équiprobables. La probabilité qu’un événement est produit suite à une expérience est donc
le rapport entre le nombre de résultats qui définissent l’événement aux nombres de résultats de
l’espace fondamental.
Par exemple, pour débarrer un cadenas il faut obtenir la bonne combinaison. Supposons il y a un
cadenas pour lequel on ne connais pas la combinaison. Combien de combinaisons possibles y a-til si la combinaison consiste de trois chiffres choisis parmi 50 chiffres et la répétition est permise?
Alors C=(c1, c2, c3) où ci est un entier entre 1 et 50. Alors, S = {(1,1,1), (1,1,2),
(1,1,3),…(50,50,50)}. Pour trouver la probabilité qu’on puisse débarrer le cadenas, il faut trouver
combien de points échantillons il y a en S.
La combinaison est un vecteur. Pour un vecteur de longueur k, v = (v1, v2, … vk) où élément vi est
accordé une valeur qui vient d’un ensemble de ni valeurs, on peut avoir n1n2n3…nk vecteurs
distincts. Alors pour notre cadenas, il y a 50×50×50 = 125000 combinaisons possibles. En
essayant une combinaison à tous les dix secondes, il nous faut 14 jours, 11 heures et 14 minutes
pour essayer toutes les combinaisons possibles.
Échantillonnage ordonné avec remplacement
Supposons que nous choisissons k objets d’un ensemble E qui contient n éléments avec
remplacement. C'est-à-dire que nous choisissons un objet par hasard de l’ensemble, nous notons
sa valeur dans une liste ordonnée et nous remplaçons l’objet dans l’ensemble. Nous répétons
cette procédure jusqu’à ce que la liste soit complète.
Le résultat de l’expérience est la liste ordonnée des objets. La combinaison du cadenas est une
liste ordonnée qui est produit par échantillonnage avec remplacement. L’ensemble contient les
chiffres de 1 à 50, la liste ordonnée contient 3 chiffres et chaque élément de la liste ne dépend pas
des valeurs des autres éléments mais il y a une dépendance de l’ordre que les chiffres sont choisis.
Alors pour ce type d’expérience, il y a nk résultats possibles.
Exemple
Il y a un sac qui contient trois jetons. Un jeton est bleu (B), un autre est rouge (R) et le dernier est
noir (N). On choisit, par hasard, un jeton du sac et puis on retourne le jeton. On répète cette
expérience 3 fois. Quelle est la probabilité qu’on choisit le jeton bleu au moins 2 fois?
Solution
Il y a 33 = 27 combinaisons possible. Si l’expérience est non biaisée, les résultats sont
équiprobables. Les résultats avec au moins 2 jetons bleus sont :
(B,B,B), (B,B,N), (B,N,B), (N,B,B), (B,B,R), (B,R,B), (R,B,B) = 7 possibilités. Alors, la
probabilité que le résultat contient au moins 2 jetons bleus est 7/23.
Échantillonnage ordonné sans remplacement
Pour une expérience où nous choisissons k éléments parmi une population de n éléments sans
remplacement. C'est-à-dire qu’une fois un élément est choisi, nous ne pouvons pas le choisir de
nouveau. Le résultat de l’expérience est une liste ordonnée des éléments que nous avons choisis.
Alors, pour le premier élément, nous avons n possibilités. Pour le deuxième, nous avons n-1
possibilités, le troisième, n-2 possibilités jusqu’au dernier où il reste n-k+1 possibilités. Alors,
nous pouvons produire n(n-1)(n-2)…(n-k+1) listes distinctes dans ce type d’expérience. Alors,
l’espace fondamentale contient n!/(n-k)! résultats possibles.
Exemple 1
Il y a un sac qui contient un jeton bleu (B), un jeton noir (N) , un jeton rouge (R) et un jeton blanc
(Bl). On doit choisir 2 jetons du sac. Combien de résultats possibles y a-t-il?
Solution
Il devrait avoir 12 (4×3) résultats possibles. Les résultats sont
(B,N) (B, R), (B,Bl), (N,B), (N,R), (N,Bl), (R,B), (R,N), (R,Bl), (Bl,B), (Bl,N), (Bl,R).
Exemple 2
Nous répétons l’expérience ci-dessus avec remplacement. Combien de résultat possible y a-t-il
maintenant.
Solution
16 = 4×4. On doit ajouter (B,B), (N,N), (R,R), et (Bl,Bl) comme résultats possibles.
Permutations
Supposons nous avons une liste qui contient k éléments, v = (v1, v2, …, vk). Une permutation de
la liste est une nouvelle liste qui contient les mêmes éléments qu’en v, mais dans un ordre
différent. Pour générer une permutation de v, on prend, par hasard, un élément en v et on le place
dans la première position de la nouvelle liste. Après on choisit un nouvel élément en v pour la
deuxième position de la nouvelle liste et on continue jusqu’à ce que on a complété la nouvelle
liste. Alors, la création d’une permutation de v est une expérience d’échantillonnage ordonné
sans remplacement. Ici on choisi k éléments, sans remplacement, d’un ensemble de k éléments.
Alors, il y a k! permutations possibles.
Échantillonnage non ordonné sans remplacement
Considérons l’expérience des jetons. Supposons que chaque jeton vaut un montant et que le
résultat est la somme. Alors l’ordre dans lequel les jetons sont choisis n’est pas important. Alors
(X,Y) = (Y,X) = 1 résultat distinct. Pour une expérience d’échantillonnage ordonnée sans
remplacement, (X,Y) et (Y,X) sont deux résultats distincts.
Dans le cas général, quand on choisi k éléments, sans remplacement, d’un ensemble de n
éléments, nous avons n!/(n-k)! listes ordonnées distinctes. Mais pour n’importe quelle résultat, il
y a k! permutations. Si l’ordre n’est pas important, toutes les permutations doivent être
considérées étant le même résultat. Alors, pour ce type d’expérience, il y a n!/[(n-k)!k!] résultats
distincts.
Exemple 1
On joue au 6/49. Le résultat est une liste non ordonnée de 6 numéros choisis, sans remplacement,
des entiers entre 1 et 49. Il y a combien de résultats possibles?
Solution
49!/[43!6!] = (49×48×47×46×45×44)/(6×5×4×3×2×1) = 13983816 résultats possibles.
⎛n⎞
n!
Le coefficient binomial est C kn = ⎜⎜ ⎟⎟ =
. Ça nous dit combien de combinaisons qu’on
⎝ k ⎠ (n − k )! k!
peut avoir quand on choisit k éléments d’une population qui contient n éléments.
Exemple 2
On joue au 6/49. Quelle est la probabilité que sa séquence ait 3 des 6 numéros?
Solution
Il y a 6 numéros dans la séquence gagnante. On doit déterminer combien de combinaisons
contiennent 3 des 6 numéros. Alors, le billet a 3 numéros qui viennent de la population des 6
numéros gagnants et 3 numéros viennent des 43 numéros qui n’apparaissent pas parmi les
numéros gagnants.
⎛ 6 ⎞⎛ 43 ⎞
6!43!
Alors il y a ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ =
= 246820 combinaisons possibles qui contiennent 3 des 6 numéros
⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ 3!3!40!3!
gagnants. Alors la probabilité d’avoir un billet qui a 3 des 6 numéros est 246820/13983816 =
0.0176 (1.76%).
Échantillonnage non ordonnée avec remplacement
Supposons qu’il y a une population de n éléments. On choisit un élément à la fois et on le
remplace. On répète l’expérience k fois en notant le nombre de fois que chaque élément a été
choisi.
Par exemple, suppose qu’il y a 3 éléments, E1, E2 et E3. Et on choisit 5 fois.
Voici des réalisations typiques pour l’expérience
1
2
3
E1
xxx
xx
E2
xx
xxxx
E3
xxx
x
On peut écrire les résultats comme 1) xxx/xx/ 2) xx/ /xxx 3) /xxxx/x où les x représentent chaque
fois que l’élément est choisit et les / séparent les éléments. On voit qu’il y a k x et (n-1) /. Alors
le résultat peut être exprimer comme un vecteur avec k x et (n-1) /. Il y a (n-1+k)!/[(n-1)!k!]
façons d’ordonné ce vecteur. Alors pour une expérience d’échantillonnage non ordonné avec
remplacement, il y a (n-1+k)!/[(n-1)!k!] résultats possibles.
(n − 1 + k )! ⎛ n − 1 + k ⎞ ⎛ n − 1 + k ⎞
⎟
⎟=⎜
=⎜
( n − 1)! k! ⎜⎝ k ⎟⎠ ⎜⎝ n − 1 ⎟⎠
Exemple
Dans un sac, il y a trois jetons : un jeton bleu, un jeton rouge et un jeton noir. Le résultat est
exprimé dans la forme (Nb, Nr, Nn) où Nb+Nr+Nn = 5 et 0≤Ni≤5 où i = b, r ou n. Combien de
résultat y a-t-il?
Solution
Il y a 7!/(5!2!) = 21 résultats possibles : (0,0,5), (0,5,0), (5,0,0), (0,1,4), (1,0,4), (0,4,1), (1,4,0),
(4,0,1), (4,1,0), (0,2,3), (2,0,3), (1,1,3), (0,3,2), (2,3,0), (1,3,1), (3,0,2), (3,2,0), (3,1,1), (2,2,1),
(2,1,2), (1,2,2).