semaine 1

Concepts Fondamentaux de la Probabilité
Modèles mathématiques
Nous utilisons des modèles pour simplifier l’analyse d’un système complexe. C’est une
représentation approximative de la situation actuelle. Le modèle simule le comportement du
système et permet l’ingénieur d’analyser une situation sans le besoin d’avoir à faire une
expérience coûteuse exigeant beaucoup de temps. Un modèle mathématique peut être conçu
quand le comportement du système peut être défini par des variables quantifiables. Le modèle
mathématique est défini par un groupe de suppositions qui sont présentées dans la forme de
relations mathématiques.
Quand nous utilisons un modèle mathématique au lieu d’une expérience, nous voulons que le
modèle simule l’expérience. Alors, les données des relations mathématiques du modèle sont les
conditions de l’expérience hypothétique. La solution des relations nous permet de prédire le
résultat de l’expérience hypothétique.
Modèles Déterministes
Pour un modèle déterministe, les conditions de l’expérience déterminent le résultat exact de
l’expérience. Par exemple, si on veut trouver la chute de tension sur une résistance donné pour
un courant donné, nous pouvons utiliser le modèle proposé par Ohm, qui dit V = IR, où I est le
courant, R est la valeur de la résistance et V est la chute de tension sur la résistance. La théorie
des circuits dit que si nous répétons la même expérience plusieurs fois, nous devons toujours
observer la même chute de tension. Alors, le modèle V = IR est un modèle déterministe.
Modèles Probabilistes
Un modèle probabiliste est utilisé pour simuler une expérience aléatoire. Une expérience
aléatoire en est une dont le résultat varie imprévisiblement quand l’expérience est répétée sous les
mêmes conditions. Par exemple, supposons que nous roulons un dé non biaisé. En répétant
l’expérience, même si nous le roulons de la même façon, sur la même table, etc, nous ne pouvons
pas garantir le même résultat à chaque épreuve. Alors, un modèle déterministe n’est pas
approprié pour modéliser cette expérience.
L’ensemble ou l’espace fondamentale, S, contient tous les résultats possibles de l’expérience.
Dans notre exemple, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Supposons que nous répétons l’expérience avec le dé n fois. Supposons que Nx est le nombre de
fois en n essais où la valeur du dé est x. La fréquence relative de la valeur x est fx(n) = Nx/n. On
dit que l’expérience démontre une régularité statistique si les variations de fx(n) diminue en
augmentant n. C'est-à-dire
x
x
n
x
np
n
N
nf →= ∞→∞→ lim)(lim (1)
où px est la probabilité que le résultat de l’expérience est x.
Figure 1 démontre la fréquence relative des six résultats possible quand l’expérience est répétée
100 fois. Figure 2 démontre ces fréquences relatives quand l’expérience est répétée 1000 fois.

On remarque que les variations des fréquences des observations diminuent en augmentant le
nombre de reprise de l’expérience.
010 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x=1
x=2
x=3
x=4
x=5
x=6
Figure 1 : Fréquence relative des résultats obtenus quand on lance un dé à 100 reprises.
0100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x=1
x=2
x=3
x=4
x=5
x=6
Figure 2 : Fréquence relative des résultats obtenus quand on lance un dé à 1000 reprises.

Propriétés de la fréquence relative
Pour une expérience, supposons qu’il y a K événements possible comme résultat. C'est-à-dire
que l’espace fondamentale contient K éléments. Pour n essais de la même expérience,
l’événement x est le résultat de l’expérience Nx fois. Nous notons que
1) 0 ≤ Nx ≤ n pour x = 1, 2, …, K.
2)
nN
K
xx=
∑
=1
3) Soit l’événement y défini par l’apparition de l’événement x1 ou x2, alors Ny = Nx1+Nx2.
En divisant par n, nous obtenons les observations suivantes pour la fréquence relative :
1) 0≤ fx (n)≤ 1 pour x = 1, 2, …, K.
2)
1)(
1
=
∑
=
K
xxnf
3) Soit l’événement y défini par l’apparition de l’événement x1 ou x2, alors fy(n) =
fx1(n)+fx2(n).
Application des propriétés de la fréquence relative à la théorie de la probabilité
Si nous définissons la probabilité d’un événement étant sa fréquence relative dans la limite où n
tend vers l’infini, on peut dire que :
1) 0 ≤ P[A] ≤ 1
2) P[S] = 1
3) Si les événements A et B ne peuvent se produire simultanément, P[A ou B] = P[A] + P[B].
Spécifications de l’expérience aléatoire
Une expérience dont le résultat varie d’une façon imprévisible quand on répète l’expérience sous
les mêmes conditions est une expérience aléatoire. On spécifie l’expérience aléatoire en énonçant
la procédure expérimentale de même que les observations et les mesures.
Exemple
Expérience 1 : Rouler un dé dix fois et observer le nombre de fois que le résultat est 6.
Expérience 2 : Rouler deux dés et observer la somme.
Expérience 3 : Mesurer le temps qui se passe entre la réception de deux messages de courrier
électronique.
Ici on voit qu’en expériences 1 et 2, on doit suivre la directive (la procédure expérimentale) et on
doit observer le résultat. En expérience 3, on doit mesurer le résultat de l’expérience.
L’espace fondamental
Il y a beaucoup de résultats possibles, il est nécessaire d’identifier l’ensemble de ces résultats.
Définissons un point échantillon (un résultat possible) comme un résultat distinct. C'est-à-dire

que le point échantillon est un résultat qui ne peut pas être décomposé en autres résultats. Alors,
les points échantillons sont des résultats s’excluant mutuellement. L’espace fondamental, S, est
l’ensemble de tous les points échantillons.
Exemple
Expérience 1 : S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Expérience 2 : S = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
Expérience 3 : S = {t : t ≥0} = [0, ∞)
Un espace fondamental est discret si on peut avoir un rapport un à un entre ses points échantillons
et les entiers positifs. Autrement, c’est un espace continu. Les espaces des expériences 1 et 2
sont des espaces discrètes tandis que l’espace fondamentale de l’expérience 3 est un espace
continu.
Un espace discret est nombrable. Si l’espace contient un nombre fini de points échantillons, on
dit que c’est un espace fini. Si l’espace discret contient un nombre infini de points échantillons,
on dit que c’est un espace infini nombrable. Un espace continu n’est pas nombrable.
Événement
Un événement est un résultat qui satisfait certaines conditions. Les conditions sont définies par
un sous-ensemble de l’espace fondamentale. Si le résultat est parmi les points échantillons de ce
sous-ensemble, on dit que l’événement a été produit par l’expérience. Par exemple, supposons
qu’on veut trouver la probabilité qu’on obtient 6 plus que trois fois quand on lance le dé dix fois.
C'est-à-dire que l’événement que nous recherchons se produit quand le résultat de la première
expérience est 4 ou plus. Alors, l’événement est défini d’un ou plusieurs points échantillons de
l’espace fondamentale.
L’événement certain est l’événement qui est formé de tous les points échantillons de l’espace
fondamentale. Alors, l’événement certain est S. L’événement impossible ou nul ne contient
aucun point échantillon de l’espace fondamentale. On identifie cet événement par le symbole Ø.
Définissons l’union de deux événements étant l’ensemble des résultats qui définissent
l’événement A, et ceux qui définissent l’événement B incluant ceux qui appartiennent aux deux
définitions.
BAU
L’intersection de deux événements est l’ensemble des résultats qui sont commun parmi les
résultats qui définissent A et ceux qui définissent B. On dit que A et B sont deux événements
s’excluant mutuellement si Ø.
BAI
=BAI
Le complément d’un événement A, Ac, est défini comme l’ensemble de tous les résultats qui ne se
trouvent pas parmi les résultats qui définissent événement A. Par définition, si le résultat d’une
expérience n’est pas parmi les résultats qui définissent l’événement A
On dit que A est un sous-ensemble de B, B
A
⊂, si tous les résultats qui définissent l’événement
A sont parmi les points échantillons qui définissent B. Supposons qu’`a la suite d’une expérience,
on observe l’événement A comme résultat. Pour B
A
⊂, on sait que le résultat de l’expérience a
produit l’événement B aussi. On dit que l’observation de A implique B quand B
A
⊂.

Ces définitions sont démontrées à la Figure 1.
SS
SS
S
A B A B
A
A B
A
B
SS
SS
S
A B A B
A
A B
A
B
Figure 1 : Union, intersection, complément, événements s’excluant mutuellement, et sous-
ensemble.
Pour les opérations la commutativité, l’associativité et la distributivité s’appliquent. Alors
IU ,
ABBAABBA IIUU
=
=
et (2)
)()(et )()( CBACBACBACBA IIIIUUUU
=
= (3)
)()()(et )()()( CABACBACABACBA IUIUIUIUIU
=
= (4)
Les lois de Morgan disent :
(5)
cccccc BABABABA IUUI == )(et )(
Considérons . Y est l’ensemble de tous les points échantillons en S sauf les échantillons
qui ne sont pas en A ET en B ( ). Alors Y = S- = .
Alors . En remplaçant A par A
BAY U=
cc BA Icc BA Icccccc BABAS )()( III =
ccc BABA IU =)( c et B par Bc et en prenant le complément, on
trouve .
ccc BABA )( IU =
Les axiomes de la probabilité
La probabilité d’un événement est une mesure de la vraisemblance de l’apparition de l’événement
suite à une expérience. Une loi de probabilité assigne les probabilités aux événements. Les
axiomes de probabilité disent qu’une loi de probabilité doit satisfaire les propriétés de la
fréquence relative.
Soit E est une expérience avec espace fondamental, S. Pour chaque événement, Ai, une loi de
probabilité de l’expérience E est un règle qui assigne sa probabilité, P[Ai]. Cette loi doit satisfaire
les axiomes suivants :
Axiome I : 0 ≤ P[Ai] ≤ 1.