Connexion de Gauss-Manin - Les Mathématiques à l`université d

Connexion de Gauss-Manin
Delphine Pol
sous la direction de Michel Granger
19 juillet 2013
Mémoire de Master 2 Année 2012-2013

Table des matières
Introduction 3
1 Fibration de Milnor 5
1.1 Théorème d’Ehresmann .................................. 5
1.1.1 Transversalité .................................... 5
1.1.2 Cas des fonctions à valeurs réelles ......................... 5
1.1.3 Cas des fonctions à valeurs dans Rk....................... 8
1.2 Fibration de Milnor ..................................... 10
1.2.1 Gradient complexe ................................. 10
1.2.2 Le lemme des petits chemins ........................... 11
1.2.3 Fibration de Milnor ................................ 13
1.3 Propriétés de la fibration de Milnor ............................ 14
1.3.1 Elle ne dépend que du germe en 0........................ 14
1.3.2 L’espace X(ε, η)est contractile .......................... 15
1.3.3 Le nombre de Milnor ................................ 16
2 Connexion de Gauss-Manin et cohomologie relative 21
2.1 Connexion de Gauss-Manin ................................ 21
2.1.1 Le fibré de Gauss-Manin .............................. 21
2.1.2 Connexion de Gauss-Manin ............................ 25
2.2 Cohomologie relative .................................... 26
2.2.1 Définition et quelques propriétés ......................... 26
2.2.2 Cohérence ...................................... 30
2.2.3 Etude comparée .................................. 40
2.2.4 Connexion ...................................... 46
2.2.5 Réseau de Brieskorn ................................ 49
3 Exemples de calcul de la matrice de monodromie 53
3.1 Régularité .......................................... 53
3.2 Lien entre les vecteurs propres de la monodromie et les sections du faisceau H(X/D)54
3.3 Cas des polynômes quasi-homogènes ........................... 56
3.3.1 Calcul dans le cas quasi-homogène ........................ 56
3.3.2 Exemples ...................................... 60
3.4 Cas non quasi-homogène .................................. 61
3.4.1 Quelques résultats ................................. 62
3.4.2 Un cas particulier .................................. 64
3.5 Une ouverture : le lien avec les polynômes de Bernstein ................. 69
3.5.1 Algèbre de Weyl .................................. 69
3.5.2 Polynôme de Bernstein ............................... 70
3.5.3 Lien avec la connexion de Gauss-Manin ..................... 71
1

A Quelques propriétés des faisceaux 73
A.1 Définitions .......................................... 73
A.2 Faisceaux cohérents et faisceaux localement libres .................... 74
A.3 Cohomologie des faisceaux ................................. 75
A.4 Variétés de Stein ...................................... 79
2

Introduction
Ce mémoire porte sur la connexion de Gauss-Manin que l’on peut attacher à une singularité
isolée d’hypersurface donnée par un germe de fonction analytique f: (Cn+1,0) →(C,0).
Le premier chapitre de ce travail concerne la fibration de Milnor, introduite dans [Mil68]. On
montre que fréalise une fibration localement triviale au-dessus d’un disque pointé, en dehors de la
fibre singulière, pour peu que l’on se restreigne à des voisinages assez petits de l’origine. On utilise
le théorème d’Ehresmann pour prouver ce résultat, puis on étudie quelques propriétés topologiques
de la fibration de Milnor.
Grâce à cette fibration, on construit un fibré vectoriel au-dessus du disque pointé, le fibré de
Gauss-Manin, que l’on munit d’une connexion plate. Notre objectif est d’étudier la monodromie qui
vient avec cette connexion car elle permet de retrouver des propriétés topologiques de la singularité,
d’après un résultat de Milnor. Néanmoins, pour calculer cette monodromie, on introduit un autre
faisceau plus manipulable, le faisceau de cohomologie relative H(X/D). On étudie quelques proprié-
tés de ce faisceau dans le deuxième chapitre, en particulier sa cohérence, dont la preuve développée
ici suit celle proposée par E.Brieskorn dans [Bri70], mais avec davantage de détails. On montre que
le n-ième faisceau de cohomologie relative restreint au disque pointé est isomorphe au faisceau des
germes de sections holomorphes du fibré de Gauss-Manin, et on définit une connexion méromorphe
sur le faisceau de cohomologie relative, qui coïncide avec la connexion de Gauss-Manin initiale en
dehors de 0. Ainsi, au lieu de calculer la monodromie à partir du fibré de Gauss-Manin, on la calcule
à l’aide du faisceau H(X/D), et on montre qu’on peut même se restreindre à des formes définies sur
un voisinage de l’origine. On introduit alors le “réseau de Brieskorn”, qui permet de simplifier des
calculs en considérant des formes de degré maximal, et donc des fonctions holomorphes.
Le troisième chapitre montre comment on peut trouver des valeurs propres de la monodromie
à l’aide du faisceau H(X/D), et on en déduit la matrice de la monodromie dans le cas simple des
polynômes quasi-homogènes. On introduit ensuite le “saturé” du réseau de Brieskorn afin de calculer
le “résidu” de la connexion.L’étude des valeurs propres de la monodromie a aussi un intérêt dans
l’étude des polynômes de Bernstein, ainsi que le montre B.Malgrange dans [Mal75], car elles sont
intimement liées au racines du polynôme de Bernstein que l’on associe à une singularité. On ne fera
ici qu’énoncer le résultat, et le relier aux exemples calculés.
A la fin de ce mémoire se trouve une annexe regroupant plusieurs résultats concernant les fais-
ceaux qui ont été utilisés, pour la plupart, dans le deuxième chapitre.
Ce mémoire m’a permis de m’initier à l’étude des singularités, et a fait appel à plusieurs do-
maines : la première partie utilise essentiellement de la géométrie différentielle à travers la construc-
tion de champs de vecteurs sur des variétés lisses, et l’étude de leur flot. La seconde partie quant
à elle fait surtout intervenir des résultats sur les faisceaux, et en particulier la cohomologie et les
suites spectrales, surtout dans la preuve de la cohérence du faisceau H(X/D). Le dernier chapitre
quant à lui repose sur de l’algèbre, qui permet de calculer des exemples simples.
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Remerciements
Je tiens ici à exprimer toute ma gratitude envers Michel Granger, pour m’avoir proposé ce sujet et
pour toute l’aide et les bons conseils qu’il m’a apportés tout au long de la réalisation de ce mémoire.
Je remercie également Frédéric Mangolte pour avoir encadré mon mémoire l’an passé, ainsi que
l’ensemble des professeurs des Universités d’Angers et de Nantes pour les cours auxquels j’ai pu
assister. Je veux aussi remercier mes camarades de promo, en particulier Mohamed et Hang, pour
toutes nos séances de travail qui m’ont bien aidée cette année, Benjamin, pour son enthousiasme et
aussi pour nous avoir prêté son bureau, ainsi que mes amis et ma famille pour leur soutien.
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