Travaux de Borel-Haefliger-Moore

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
M ICHEL Z ISMAN
Travaux de Borel-Haefliger-Moore
Séminaire N. Bourbaki, 1961-1962, exp. no 240, p. 287-295
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Séminaire BOURBAKI
14e
année, 1961/62,
n° 240
Mai 1962
TRAVAUX DE BOREL-HAEFLIGER-MOORE
par Michel ZISMAN
A.
1. Le
Homologie
des
localement compacts.
complexe
désigne un anneau de Dedekind, K* son corps des fractions. Si M
le
est un K-module,
le K-module libre engendré par M - {0} ~ et R(M)
noyau de F (M) - M , on désigne par M le quotient de K* (~ F (M) par R (I~ .
(1.0)
K
L’application canonique M -~ N est injective et fi
La correspondance qui, à My fait correspondre ~I
X
Soit
est
est fonctorielle.
topologique ;un faisceau sur X
K-modules. Si S est un tel faisceau, on définit
de
sant
I (S)
un
xEU
U
pour tout ouvert
touj ours
sera
espace
(U) =
K-module injectif.
un
un
~
un
l (5)
faisceau
faisceau
en
po-
étant la fibre de S
au
point x ~ l’homomorphisme de restriction étant évident. I(S) est un faisceau
injectif, donc flasque, et l’application canonique 3 - I(S) est injective. La
construction précédente perlât de construire une résolution canonique
S)
du faisceau 5 par des faisceaux injectifs. Si ~ est une famille de supports,
S) ) est un K-module injectif.
,,
(1.1)
Notations. - Soit 4S
famille de tous les
compacts
tous les fermés de
F
la
une
de
X
fermé dans
famille de
(resp.
X ) ~ on
supports
de tous les
écrit
c
X .
sur
est la
fermés de
X~
(resp. rien,
resp. de
resp.
F)
à
place
Remarquons que si X est localement compact (ce que l’on
partir de maintenant) la famille de tous les compacts de X
toujours à
paracompacti-
suppose
est
fiante.
(1.2)
Si
Soit
M
un
K-module. On pose, pour tout ouvert
l’application canonique
J(U) ~ 3(V) .
.
Les données
précédentes
U
et tout faisceau S
définit
définissent
287
un
homomorphisme
préfaisceau J sur X .
un
M. ZISMAN
En utilisant des partitions de sections subordonnées à
X on démontre la proposition suivante :
PROPOSITION. - Si F
est
est
recouvrement ouvert de
un
faisceau. Si
un
M
est
injectif,
ce
faisceau est flasque.
Dans la suite
1)~
degré
+
Si F
est
on
(différentielle de
K* -~ K*/K -~ 0 .
la résolution injective de K :
est un faisceau différentiel (pour le degré total) , la
de degré - 1 , que l’on désignera par D(5) . En particulier,
prend pour 5
pour
différentielle étant
~~ (X ~
si S =
conque
2.
on
K)
un
faisceau différentiel
M
on
0 -~ K -~
pose
D ( ~ _ ~ (X ~
H;) .
Enfin si §
est
un
faisceau
quel-
pose
K)
est
~)
est
K) (U)
flasque,
CP-fin si 4S
est
est sans torsion.
paracompactifiante.
Homologie.
X*(X ;
K)
est le faisceau
(2.2) Puisque
d’homologie locale
K) (U) =
restriction des sections définit
r~ (U ~
un
K)
D’âpres (C3~ ~ II, 4-1)
En particulier,
(H~(U ; K) ,
Principales propriétés
(2.3)
une
Soient 03A6
application
à tout
F
de
et 03C8
K;l
de
X .
pour tout ouvert
U
de
X ~
la
homomorphisme
est donné par le
préfaisceau
.
deux familles de
continue telle que
f (~)
soit propre. Il existe alors
supports
de
X
et
Y,
f : X - Y
et telle que la restriction de
un
homomorphisme canonique
f
TRAVAUX DE BOREL-HAEFLIGER-MOORE
en
particulier ,
(2.4)
il existe
Pour tout
compatible
avec
i ~
touj ours
on a une
la restriction
suite exacte scindée :
U
ouverts
aux
X ; donc,
de
vu
(2.2) ,
on a une
suite exacte scindée
des
à l’ ordonné filtrant
(2.6)
Si
a
Si 03B1
X
une
résolution
est de dimension
ordonnée par inclusion.
c-molle de
finie, $
sans
K ,
torsion,
on a
et 03A6
paracompactifiante,
on
aussi
(2.7)
où
est
ensembles de ~
Soient
iFX
(2.8)
F
fermé de
X
et
est
l’homomorphisme associé
Si
X
U = X - F . On
a une
à l’inclusion
F c X .
est localement connexe,
(pour H-l c’est évident d’après (2.4) ; pour
précédente de (2.5) et de la propriété suivante
connexe ,
F
un
Enfin,
si
santes
connexes
localement
X
suite exacte :
compact de
connexe) .
il existe
H° (X3 K)
est
de
X ;3
X
(si
K
est
un
un
c’est
: soit
compact
X
A
du
et localement
connexe
connexe
est le module libre
conséquence
une
F
tel que
engendré
c A ).
par les compo-
corps, il suffit de supposer que
X
est
M. ZISMAN
(2.9)
Si
F F~
I
F :
x
K -~ Y
est propre et si
on
~.10)
fini de
pour
Si X
est
générateurs
HLC~
pour
et
K)
compact,
q ~
Ft(x)
pose
à
l’homologie supports quelconques*
supports compacts, le résultat est encore vrai même
=
F (t ~
=
alors
Si
on
prend lthomologie à
si
F
n’est pas propre.
K)
et
ont
un
nombre
r .
3. Dualité.
(3. 1)
étant exact à gauche ,
On suppose maintenant que
fié si S = K ) . Alors Hn(CH(X ;
on a un
Tor (X
n (X ,
£))
(3.2) THÉORÈME. - Supposons
compactifiante si S ~ K . Si
que
X
=
Tor
homomorphisme canonique
K) x
liJ )
,
(ce qui
0
=
est
touj ours véri-
S .
Xn (X , K) ~
(X (X , K)
,
S
=
est de dimension finie
0
sur
et que
4S
soit para.-
K , l’homomorphisme
canonique
est
un
isomorphisme.
(3.3) DÉFINITION. n-manifold
over
K)
Un espace
X
topologique
est
n -
une
HI1K (homology
si
1.
2. ~ q (X; K) ~0
3.
Xn (X ;3
On
désigne
tion de
X.
est alors la
Exemple. les
K)
pour
q~n
est localement
isomorphe
par C le faisceau Hn(X
Si 0 est constant, on dit que
donnée d’un isomorphisme de ~
alors
Une variété
propriétés 2 et
Rn .
topologique
3 étant locales,
K .
faisceau constant
au
K) . C
;
X
est
est le faisceau d’ orienta-
orientable,
une
orientation
’
avec
de dimension
K .
n
est
une
n -
en
effet
il suffit de les vérifier pour les boules
ouvertes de
(34) THÉORÉbE. - Soit X une
tifiante, il existe un isomorphisme canonique
ou
si 03A6
est paracompac-
TRAVAUX DE BOREL-HAEFLIGER-MOORE
Démonstration. - On pose Nq = CH
-H (X ; S) n-q
dont la différentielle est de degré + 1 . On
Si S =
est
K~
et dans les deux
flasque ; si ~
on a
Comme
dimK
X
est
un
faisceau différentiel
a :
paracompactifiante, (8
est
une suite
est
3
(3) ~
spectrale
dont le terme
Ez
est
~i*) .
et dont l’aboutissement est
tenu de
li$*
cas :
D’après ([3~~ II~ 4*6.1)~
Compte
,
on a :
+00 , la suite spectrale est convergente
(~3~ t
p.
195)
donc
C. Q. F. D.
Remarque. (3.5)
phisme
Soient
La démonstration de
Supposons
que
X
soit
(3.2)
une
n -
est
analogue.
HMK
orientée, ~
de
a E
H~ (X
9
K)
et
b
E
K) ,
on
note
est alors
un
isomor-
M ZISMAN
a.b
est le
produit
d’intersection de
produit est associatif
b. Ce
et
a
et
anticommutatif.
B. Classe fondamentale.
4.
du
Es aces
VSn
t
K
sur
Ce sont des espaces localement
(variété
de dimension
n
avec
singularités) *
compacts
de dimension
n
sur
K
épais (i. e. dont le complémentaire est de dimension
homéomorphe à une n - HM qui est HLCK (en abrégé : n logique de dimension n ).
ouvert
Une variété
note
à
l’ensemble des
XR
une
C’est
n -
de
points
un
ouvert
Xp (resp. X )
de
points
de dimension
topologique
est
n
X
sont dits
n -
variété cohômo-
pour tout
CMK
n -
X
voisinage desquels
au
épais
une
possédant un
1 sur K )
K . On
homéomorphe
est
complémentaire est noté
réguliers (resp. singuliers).
dont le
Xg .
Les
.
5. Classe fondamentale.
(5,1)
et de
Soit
X
un
(X ; K) ) -~ ~ n
l’application
pondre
en
x
é X .
Soit alors
X
du
sa
(5.2)
topologique.
espace
valeur
qui,
(X ,
d’homologie
x
régulier.
locale
type
VSn
Xque
x
X-
sur n( ;
en
x
est
par x
section
s
car
si
section,
K) .
g
et
un
K)
générateur
Hn (X ;
un
isomorphisme
dont
fait
de
ce
l’image
corres-
X
est
6
un
s
est
une
générateur
est
une
n -
de
dans le grou-
groupe pour tout
du faisceau constant
L’existence d’une classe fondamentale
soit orientable. Si
suffisante,
une
de
K .
sur
Une classe fondamentale définit donc
K
à
composé
.
Une classe fondamentale est un élément de
pe
le
désigne par p
On
implique
CM , cette condition est
K ~ l’application x -~ g
classe fondamentale.
donc
aussi
est
une
TRAVAUX DE BOREL-HAEFLIGER-MOORE
(5.3)
VS
ouvert de dimension
Soit
U
un
K.
U
est aussi du
sur
X
THEOREME. - Soient
X . Si
de
possède
une
U
possède
et
une
VS
espace du
un
une
type
sur
type
K
sur
n
X
d’un espace
du
type
K.
VS
sur
K ~
et
U
ouvert
un
épais
X
classe f ondamentale et si
seule classe fondamentale dont la restriction à
classe fondamentale donnée de
U
est
une
U .
Démonstration. - La suite exacte
montre
de montrer que
est aussi
jnXR%
est
un
(X) - Hn (U) est im isomorphisme. Pour conclure
UR . Comme
x (X ; K) est constant au-dessus de
H
que jnXU :
un
isomorphisme. (3.2)
montre alors que
K)
conséquent ? (XR ;
et par
isomorphisme,
COROLLAIRE. - Si dans le théorème
X
la classe fondamentale de
puisque
6.
UR
est
est
Alors
dimZ
est
précédent UR
un générateur de
un
faisceau constant.
H(X 3
K) ~ K ~
n(X ;
est connexe,
K) . En
effet
connexe.
Classe fondamentale des es aces analwti ues.
Soit X un espace analytique complexe (au sens
n .
il suffit
n
X
=
2n ,
où
-
dim. désigne
comme
SERRE) de dimension complexe
précédemment la dimension cohomode
-
logique.
Désignons
un
par
U
l’ensemble des
2n - 2
sur
espace du
type
espace analytique de dimension
variété,
on
X
voit que
THEOREME. - Soit
X
est
un
points simples
de
X . On sait que
Z ~ donc, puisque
VS2n
et,
de
est
est
une
plus :
espace analytique complexe. Il existe
classe fondamentale induisant l’orientation naturelle sur U .
un
U
X - U
une
et
une
seule
M. ZISMAN
COROLLAIRE. - Soit
n .
Alors
non
compacta
La
l’ensemble
un
Z) ~ Z
H2n ~X ~
première
X
analytique irréductible de dimension complexe
engendré par la classe fondamentale. Si X est
espace
est
assertion
fait que dans
U
est
des
provient du
points simples
connexe.
un espace analytique irréductible,
La deuxième assertion vient de ce
’
que
l’isomorphisme
si
X
nule
n’ e st pas
en un
compacta
pointa
Z)
car, H2n(U ,
elle est nulle
puisque
C. Intersection de
7. Cycles
X
U
est
constante
si
une
section s’ an-
connexe
sous-ensembles analytique s.
analytigue s.
Sommes localement finies. - Soit
(7.1)
de
étant
(X03B1)03B1~I
mie
famille localement finie
fermés d’un espace X , et soit Y l’espace somme des X .Les injections
-, X
déf inissent une application propre Y -~ X ~ donc une application
l’image
de
par
I
(7.2)
Soit
d’un espace
Z : ~ n.
X.
lEI
03C903B1 ,
puisqueIzl(
a E H* (x ; a K)
analytique V ;
un
MZ
où le s
support|Z|
pour lesquels
est f ermé.
désigne
est
cycle analytique
à coeff icients dans
Xi
se
1.ensemble des sous-ensembles
famille localetnent f inie. Le
réunion des
03C9
de
0 . Soit
Z
aE
I
03C903B1 .
analytiques irréductibles
une
combinaison linéaire
tels que
Xi
par
0
f orment
e st le sous-ensemble
h(Xi)
une~
analytique
la classe fondamentale de
TRAVAUX DE BOREL-HAEFLIGER-MOORE
(7.3)
On suppose maintenant que V est irréductible. Si X et Y sont deux
sous-ensembles analytiques de dimension pure, on désigne par
l’ensemble
des composantes irréductibles propres de X n Y , et par 2p la dimension sur
Z
de
C.
On
peut alors
C
montrer que tout
c
~Y (V ; Z)
s’écrit de manière
unique
N
où
somme
est l’ensemble des
La
Si V
d’après
une
et
propresde X
H;(V;$
Z)
ont
analytique,
espace
un
Y ~ I. représentant
n
une
H"(V 3 Z)
(6). On
définit
sont les intersections
points simples
est alors
le note
on
h(X)
et
h (Y)
considérés
produit d’intersection
dans
le corollaire de
X’,
un
i(X.Y 3
multiple
Si V
entier de
est de
i(X.Y ; Cj comme étant
de X, Y ,
C. et de l’ouvert
C’)
des
V.
de
On montre alors que
tiplicité
variété analytique .connexe,y
h(X) .h(Y)
de
composante
nouveau un
ou
est
I~_ ~V ; Z)
h(C )
non
localement finie.
(7.4)
dans
composantes
i(X.Y ;
C-)
possède
les
propriétés
habituelles de la mul-
d’intersection.
Remarque. -
Ce
qui précède
ne
constitue qu’une
partie
du travail de BOREL-.
auteurs étudient aussi les espaces analytiques réels, dont il
HAEFLIGER,
n’a pas été question ici dans un but de simplification~ de
façon que ce texte
soit d’une longueur raisonnable.
ces
BIBLIOGRAPHIE
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BOREL (A.) et HAEFLIGER (A.). - Classe
d’homologie
math. France, t. 89, 1961, p. 461-513.
[2]
BOREL
(A.)
et MOORE
J., t.
Mich. math.
[3]
(J. C.). - Homology theory
7, 1960, p. 137-159.
GODEMENT
for
(Roger). - Topologie algébrique et théorie
Hermann, 1958 (Act. scient. et ind., 1252 ; Publ.
Strasbourg, 13).
295
fondamentale,
Bull. Soc.
locally compact spaces,
des faisceaux. - Paris,
Inst. math. Univ.