trigonometrie triangle quelconque

TRIGONOMETRIE TRIANGLE QUELCONQUE
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Soit ABC un triangle quelconque.
Al-Kashi :
Ccosab2²b²a²c
Bcosac2²c²a²b
Acosbc2²c²b²a
−+= −+= −+=
.
Si l’angle A est droit, alors cos A = 0 et la relation devient : a² = b² + c². Elle
correspond au théorème de Pythagore.
Cette relation permet de calculer les éléments d’un triangle quelconque
connaissant :
- les trois côtés
- ou deux cotés et l’angle compris entre ces deux côtés.
L’aire d’un triangle quelconque est donné par :
Bsinac
2
1
Asinbc
2
1
Csinab
2
1==
Relation des sinus : Csin
c
Bsin
b
Asin
a==
Cette relation permet de calculer les éléments d’un triangle quelconque
connaissant :
- un côté et deux angles
- ou deux cotés et un angle non compris entre des deux cotés.
1
C
Soit ABC un triangle quelconque. On donne AB = 4 cm ; BC = 7 cm et CBA = 45°.
1) Construire le triangle ABC
2) Mesurer le coté AC (arrondir à 10
-1
)
2
C
On donne un triangle GEF quelconque avec GF = 6 cm ; GEF = 83° et FGE = 58°.
Calculer la mesure de EF
3
C
On donne ABC avec CA = 6,1 cm ; AB = 5 cm et BAC = 51 °
Calculer la mesure de BC
4
C
ABC est un triangle tel que AB = 3cm ; BC = 7 cm et B = 40 °
1) Construire le triangle ABC.
2) Calculer l’aire du triangle ABC.
3) Calculer AC.
4) Calculer les mesures des angles A et C à 0.1 près.
5
C
ABC est un triangle tel que BC = 5 cm ; C = 18 ° et B = 97°.
Calculer les angles et les côtés manquants.
6
C
ABC est un triangle tel que AC = 60 cm ; AB = 90 cm et C = 80°
Calculer les angles et les côtés manquants.
7
C
Calculer les mesures des angles A, B et C dans le triangle ABC tel que AB = 5 cm ; AC = 4 cm et BC = 6 cm
8
C
Calculer le côté AC dans le triangle ABC tel que AB = 12 cm, BC = 6 cm et l’angle B = 125°.
9
C
Construire un triangle RST tel que RS = 7 cm ; SRT = 30° et TSR = 70°. Calculer les angles et les côtés manquants.
10
C
Soit le triangle ABC tel que BAC = 60° ; AC = 5 cm et BC = 7 cm. Calculer la mesure de l angle ABC.
11
C
Soit le triangle MNP tel que MN = 5 cm ; NP = 8 cm et MP = 9 cm. Calculer les angles de ce triangle. Arrondir à l’unité.
12
C
DEF est un triangle tel que DE = 4 cm, EF = 6 cm et l’angle E mesure 70°.
1) Construire le triangle DEF.
2) Calculer l’aire de DEF.
3) H désigne le pied de la hauteur issue de E. Calculer EH.
4) Calculer DF. Arrondir au centième.
5) Calculer les meures des angles D et F à 0.1 près.

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13
C
Déterminer les longueurs des côtés a, b et c et les angles A, B et C dans chacune des conditions suivantes :
1) On a : a = 10 ; b = 8 et c = 5.
2) On a : a = 6 ; b = 7.5 ; C = 47°.
3) On a : b = 5 ; c = 4 ; C = 35°
4) On a : a = 11 ; b = 7 ; A = 40°.
14
C
Le profil d’une pièce métallique est représenté par la figure ci-dessous.
On donne AB = 18,6 m ; AE = 14,6 m ; CD = x ; BAE = 150° et DE = BC.
Les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Calculer la longueur CD
15
C
Un couvreur possède une vue de côté d’une maison avec un toit à deux pentes ; la façade mesure 14,5 m et la toiture
dépasse sur chaque côté de 0,25m.
Quelle est la surface que le couvreur doit recouvrir ?
16
C
Lors d’une forte tempête dans la Manche, une station de radio C située au Cap de Carteret sur l’ile d’Aurigny capte un
message de détresse en provenance d’un transporteur T.
Ce même signal de détresse est également capté par une autre station H située sur le Cap de la Hague.
Dans le premier cas, le signal provient d’une direction faisant un angle de 59° avec la droite (CH).
Dans le deuxième cas, il fait un angle de 22° avec la droite (CH).
La situation est représentée par le schéma suivant :
[CH = 32 km]
S = 59° et H = 22°
Calculer en degré la mesure de l’angle T du triangle CTH.
Calculer en km la distance TH.

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17
C
Soit le quadrilatère ABCD : AD = 80 mm ; AB = 30 mm
Calculer :
1) la mesure de BD
2) les mesures de BC et CD
3) la mesure de l’angle BDA puis celle de ADC
4) la mesure de AC
18
C
Au dessus d’un passage de 10m, un luminaire est maintenu par deux câbles métalliques.
Les câbles OA et OB font respectivement un angle de 10° et de 30° avec l’horizontale.
1) Calculer à 0,1 près les longueurs OA et OB des câbles.
2) En déduire la côte x.
19
C
Un plateau incliné, mobile autour d’un axe O est commandé par un vérin.
Le vérin AB est fixé sur un support horizontal au point A, sur le plateau mobile au point B tel que OA = 600 mm et
OB = 500 mm.
La largeur AB peut ainsi varier de 200 mm à 600 mm.
Déterminer les valeurs minimales de l’angle d’inclinaison α.

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CORRIGE :
1 Soit ABC un triangle quelconque. On donne AB = 4 cm ; BC = 7 cm et CBA = 45°.
1) Construire le triangle ABC
2) Mesurer le coté AC (arrondir à 10
-1
)
cm04,5ACdonc
402,2545cosx4x7x2²4²745cosABxACx2²BC²AB²AC
==−+=−+=
2 On donne un triangle GEF quelconque avec GF = 6 cm ; GEF = 83° et FGE = 58°.
Calculer la mesure de EF
cm13,5
83sin
58sinx6
EF
83sin
6
58sin
EF ==⇒=
3 On donne ABC avec CA = 6,1 cm ; AB = 5 cm et BAC = 51 °. Calculer la mesure de BC
cm88,4BCdonc82,2351cosx1.6x5x2²1.6²551cosABxBCx2²BC²AB²BC ==−+=−+=
4 ABC est un triangle tel que AB = 3cm ; BC = 7 cm et B = 40 °
1) Construire le triangle ABC.
2) Calculer l’aire du triangle ABC. ²cm75,640sinx3x7
2
1=
3) Calculer AC. cm57,5ACdonc3140cosx7x3x2²7²3²AC ==−+=
4) Calculer les mesures des angles A et C à 0.1 près. °=°=⇒== 7.119Aet3.20C
Asin
7
Csin
3
40sin
57.5
5 ABC est un triangle tel que BC = 5 cm ; C = 18 ° et B = 97°. Calculer les angles et les côtés manquants.
cm48,5ACetcm70,1AB
65sin
5
18sin
AB
97sin
AC
65
A
==⇒==
°
=
6 ABC est un triangle tel que AC = 60 cm ; AB = 90 cm et C = 80°. Calculer les angles et les côtés manquants.
cm57,59BC41cosx60x90x2²60²90²BC
594180180B
41A
Asin
60
80sin
90
= ⇒ −+= °=−−=
°= ⇒ =
7 Calculer les mesures des angles A, B et C dans le triangle ABC tel que AB = 5 cm ; AC = 4 cm et BC = 6 cm
°= ⇒ = ⇒ −+= 8,82A
40
5
AcosAcosx4x5x2²4²5²6
°= ⇒ = ⇒ −+= 4,41B
60
45
BcosBcosx6x5x2²6²5²4
°= ⇒ = ⇒ −+= 8,55C
48
27
CcosCcosx4x6x2²4²6²5
8 Calculer le côté AC dans le triangle ABC tel que AB = 12 cm, BC = 6 cm et l’angle B = 125°.
cm2,16AC125cosx6x12x2²6²12²AC =⇒−+=
9 Construire un triangle RST tel que RS = 7 cm ; SRT = 30° et TSR = 70°. Calculer les angles et les côtés manquants.
cm68,6RTetcm55,3TS
80sin
7
70sin
RT
30sin
TS ==⇒==
10 Soit le triangle ABC tel que BAC = 60° ; AC = 5 cm et BC = 7 cm. Calculer la mesure de l angle ABC.
°=⇒=38B
60sin
7
Bsin
5
11 Soit le triangle MNP tel que MN = 5 cm ; NP = 8 cm et MP = 9 cm. Calculer les angles de ce triangle. Arrondir à l’unité.
°=⇒=⇒−+= 62M
90
42
McosMcosx9x5x2²9²5²8
°=⇒=⇒−+= 84N
80
8
NcosNcosx8x5x2²8²5²9
°=⇒=⇒−+= 34P
144
120
PcosPcosx9x8x2²9²8²5
12 DEF est un triangle tel que DE = 4 cm, EF = 6 cm et l’angle E mesure 70°.
1) Construire le triangle DEF.
2)
Calculer l’aire de DEF. ²cm28.1170sinx4x6x
2
1=

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3) H désigne le pied de la hauteur issue de E. Calculer EH. cm37,170cosx4EH
4
EH
70cos ==⇒=
4) Calculer DF. Arrondir au centième.
cm97.5DF70cosx6x4x2²6²4²DF =⇒−+=
5) Calculer les meures des angles D et F à 0.1 près.
°=°=⇒== 39Fet71D
70sin
97.5
Fsin
4
Dsin
6
13 Déterminer les longueurs des côtés a, b et c et les angles A, B et C dans chacune des conditions suivantes :
1) On a : a = 10 ; b = 8 et c = 5. A = 98° ; B = 52° ; C = 30°.
2) On a : a = 6 ; b = 7.5 ; C = 47°. c = 5.56 cm ; A = 52° ; B = 81°.
3) On a : b = 5 ; c = 4 ; C = 35°. a = 6.87 cm ; A = 99° ; B = 46°.
4) On a : a = 11 ; b = 7 ; A = 40°. c = 15.4 cm ; B = 24° ; C = 116°.
14 Le profil d’une pièce métallique est représenté par la figure ci-dessous.
On donne AB = 18,6 m ; AE = 14,6 m ; CD = x ; BAE = 150° et DE = BC. Les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
Calculer la longueur CD.
BE² = 14,6² + 18,6² - 2x14.6x18.6xcos150 = 1029.48.
CD = BE = 32.09 cm
15 Un couvreur possède une vue de côté d’une maison avec un toit à deux pentes ; la façade mesure 14,5 m et la toiture
dépasse sur chaque côté de 0,25m. Quelle est la surface que le couvreur doit recouvrir ?
².m475.1675.14x05.55.14x50.6S
m05.5BCetm50.6AB
30sin
BC
40sin
AB
110sin
5.9
=+=
==⇒==
16 Lors d’une forte tempête dans la Manche, une station de radio C située au Cap de Carteret sur l’ile d’Aurigny capte un
message de détresse en provenance d’un transporteur T.
Ce même signal de détresse est également capté par une autre station H située sur le Cap de la Hague. Dans le premier
cas, le signal provient d’une direction faisant un angle de 59° avec la droite (CH). Dans le deuxième cas, il fait un angle de
22° avec la droite (CH). La situation est représentée par le schéma suivant : [CH = 32 km]
S = 59° et H = 22°
Calculer en degré la mesure de l’angle T du triangle CTH.
Calculer en km la distance TH.
58.45TH
37sin
32
121sin
TH
37
22
121
180
T
=⇒=
°
=
−
−
=
17 Soit le quadrilatère ABCD : AD = 80 mm ; AB = 30 mm
Calculer :
1) la mesure de BD : 85.44 mm
2) les mesures de BC et CD : CD = 26.72 mm et BC = 64.69 mm.
3) la mesure de l’angle BDA puis celle de ADC : 21°.
4) la mesure de AC : 67.83 mm.
18 Au dessus d’un passage de 10m, un luminaire est maintenu par deux câbles métalliques.
Les câbles OA et OB font respectivement un angle de 10° et de 30° avec l’horizontale.
1) Calculer à 0,1 près les longueurs OA et OB des câbles. OA = 7.8 m et OB = 2.7 m.
2) En déduire la côte x. x = 1.35 m.
19 Un plateau incliné, mobile autour d’un axe O est commandé par un vérin.
Le vérin AB est fixé sur un support horizontal au point A, sur le plateau mobile au point B tel que OA = 600 mm et OB =
500 mm. La largeur AB peut ainsi varier de 200 mm à 600 mm.
Déterminer les valeurs minimales de l’angle d’inclinaison α .
Valeur minimale : °=α ⇒ =α ⇒ α−+= 2.18
600000
570000
coscosx600x500x2²600²500²200
Valeur maximale : °=α ⇒ =α ⇒ α−+= 4.65
600000
250000
coscosx600x500x2²600²500²600