Les groupes de galois des polynômes de Bessel

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
E MIL G ROSSWALD
Les groupes de Galois des polynômes de Bessel
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 18, no 1 (1964-1965), exp. no 17,
p. 1-12
<http://www.numdam.org/item?id=SD_1964-1965__18_1_A14_0>
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17-01
Séminaire DUBREIL-PISOT
(Algèbre et Théorie des nombres)
année, 1964/65,
18e
15 mars 1965
n° 17
LES GROUPES DE GALOIS DES POLYNÔMES DE BESSEL
par Emil GROSSWALD
1 . Introduction.
L’ équation
des ondes
trois dimensions
en
l’ on
exprime le Laplacien
riables, on obtient (après
=
n(n
1)
+
férentielles. En
est
une
générale
Ù
un
spatiales
s’écrit ~2
= 1 c2 ~2 u ~t2 .
l’on sépare les
coordonnées sphériques et
changement d’échelle) :
u
en
valeur propre
on pose
f =
imposée
par
r ‘~~2 y ,
et
on
équations
l’équation de
des autres
une
obtient
Si
u
va-
dif-
Bessel s
d’ordre semi-entier, donc
on
avec
des solutions élémentaires. Si l’on pose
obtient
équation
d’ondes stationnaires.
équation qui
des solutions
a
Enfin,
le
changement
polynomiales,
et
qu’il
de
variable
x = 1 ir
donne
convient de comparer à l’é-
quation
des
polynômes
de
D’une manière
Legendre.
un
peu
plus
générale,
l’équation x 2 y" +
portance car,
=
0 ; mais a
on
peut considérer
avec
KRALL et
(ax + b)y’ - n(n + a - l)y
paramètre
en posant
x = bz , l’équation se réduit à z~ y ~’
e st un paramètre effectif.
Les solutions
polynomialee :
= 0 . Le
b
FRINK [18]
est
sans
im-
ont été étudiées par KRALL et
FRINK [18] en 1949, et ces polynômes avaient déjà
été rencontrés par KRALL en 1941 [l7]. En fait, ils avaient déjà été utilisés
par
HAHN en 1g35 ~ ~ 2 ~ et BOCHNER (l929 ; voir [4]), et ne diffèrent
que par leur normalisation des polynômes employés par HERMITE [13] pour prouver la transcendance
de
e.
Depuis 1949,
ces
polynômes, appelés
utiliserons ici pour les
(BURCHNALL ( ~ 95 Z ~ ~ 6~ ,
AL-SALAM
désigner l’abréviation
2.
( L 954 ~ ~ I ~ , NASS IF (1954) [19], CARLITZ (1957) [8],
( 1957~ ~ ~~ , ~ 3~ , GROSSWAID [11], et d’autres). On a étudié leurs proprié-
d’orthogonalité, représentations de
P. B., fonctions génératrices, etc.
Propriétés générales
(a)
P.
AGARWAL
tés
de
polynômes de Bessel (nous
B.), ont été beaucoup étudiés
par KRALL et FRINK
certaines classes de fonctions
séries
en
des P. B.
Relations de récurrences.
(b) Orthogonalité.
Remaraues.
(i) C’ e st bien le produit
signe d’intégration.
de s
Ce s formules re ssemblent
Legendre.
( c j Fonction génératrice .
polynômes
beauc oup
et
non
ymm ( z)
ypn (z)
à celle s relative s
qui apparaît
aux
polynômes
sous
de
le
(d)
Formule "de Rodrigues".
Ces
propriétés (ainsi
Nous utiliserons les relations
titution de
(e)
d’autres) se trouvent toutes démontrées en [18].
de récurrence, qui se démontrent par directe subs-
que bien
(1).
Zéros.
Tous les zéros sont
(i)
simples.
Démonstration. - Si
y’ i(x..) =
et
(4)
et
ainsi, par induction,
===f>
(ii)
rieurs
au
A
(car
0
l’exception
x)
cercle
= ~ ! ceci
0 , alors (3) ====>
0 ). Donc, x~ est zéro multiple de Yn-l (x)
(= 1 + x)~ ce qui est faux.
=
=
y.(x)
y.(x)
de
de
=
1
+
x , tous les zéros des P. B. sont inté-
1 .
Démonstration. - Le théorème de KAKEYA
[16]
affirme que , si
n
n
alors tous les zéros
Hurwitz donne
une
l’exception
(et suffisante)
condition nécessaire
les P. B. satisfont la condition de
à
satisfont )
03A3 a03BD xn-03BD
de
z
(NASSIF
de
Kakeya,
et
1,
et
pour avoir
aucun ne
un
z )1
théorème de
= 1 . Tous
vérifie celle de Hurwitz,
montre que les racines de
se
trouvent dans
le cercle
(iii)
quée ; la propriété
BURCHNALL [6].)
(x)
(iV)
n’a pas de zéros réels.
est
un
0
a
=
Démonstration. - Si
Il résulte donc de
== ~
donc,
(3)
x.
exactement
p
un
une
compli-
généraux
de
racine réelle.
sont deux racines réelles
Xp
consécutives,
que
pour
un
x
avec
3. Irréductibilité des P. B.sur
Soit
directe est
corollaire facile de certains résultats
(iii).
(a)
(La démonstration
nombre
premier,
Q.
et
xi
x
x~ ~
ce
qui
est
impossible d’après
On considère les
gone de Newton"
ductible
v ,
au-dessous).
e)
s’il l’est dans
Q
sur
chaque côté
et que, à
Q ,
(n -
point
aucun
points de coordonnées (n - v , ev) , et on construit
correspondant (polygone convexe d’ordonnées maximales,
du
polygone
de
obtient le résultat suivant
on
p
Supposons
que le
polygone
projection horizontale t r
alors,
~r ~ r
ne
laissant
réciproquement)
pas
facteur de
un
dans
~10~~ ~
de Newton
a
.
côtés et que le côté
m
et verticale
kr ,
de
connus
r-ième ait la
(tr , kr~ ~ Xr ,
avec
tout facteur irréductible de
Les critères d’irréductibilités bien
des
p-adique (mais
Newton, correspond
"poly-
est sûrement irré-
En observant que
extension
une
le
f(x)
a un
degré
EISENSTEIN, PERRON~
de sorte que
de la forme
etc.
en
sont
particuliers.
cas
ve
Si
e0 = 0 ,
= r n/X
avec
e03BD n n ,
À
=
(n ,
alors
m
=
1
et tout facteur irréductible
e)
Si
en
plus
(n
e)=
irréductible.
est
(b)
Pour étudier le groupe de Galois des P. B.
(y
à-dire l’irréductibilité des
polynômes réciproques
z
polynômes) , il est plus
(x) xn yn (1 x) , soit
inclus
sa
1
Alors
k~
(5)
ou
pz
n ; du
degré
au
p=
polygone
moins
n -
de
k~ .
d’un facteur irréductible de
n =
p -
1,
c’est-
convenable de considérer les
=
des nombres
montre que, si
+
ble de
ce
p~
f(x)
alors
transitivité,
ceux-ci ont les mêmes discriminants et mêmes groupes de Galois
que les
Soient
degré
a un
premiers consécutifs,
e - 0
Pi
n
p ,
yn (x)
.
et posons
pour
pour
Newton, il résulte qu’il y a un facteur irréductiDe même, en prenant p =
p~ , on montre l’existendegré au moins n particulier, si n p
le P. B. est irréductible. Si
=
k =
min(k1 , k) ,
le P. B.
a un
facteur irréductible de
si E >
On sait que,
N
La fonction
degré %
N(e)
=
k .
n -
0,
n’est pas
connue en
générale
mais
on
sait,
par
exemple
~N(s) ,
~? ’ ~ sorte que
un facteur irréductible
de degré n - k > n(l - e/2) . Avec
e=l/8~ ~~2014-~20142014-~2014 ~
pour n~48 . Comme une étude direc(voir [5]),
que
contient
=
48 . pour
te montre que tous les P.
(i)
k
avec
avec
50 ,
n
sont
Les facteurs irréductibles des P. B .
d
irréductibles,
peuvent
ne
pas avoir des
P. B.
a un
facteur irréductible de
degré An
Si
résulte :
degrés
d
et
avec
m
n
ve
e
v
(iV)
en
en
lorsque
(iii)
donc
il
n - k .
(ii) Chaque
A~ 1
B. ,
n
,
> ~--=
~
n
Si
et
n =
particulier,
comme on a
q.p .~ 1
e = q ,
(en , n) ~ ~ ,
aussi
( q peut
m = 1 ,
pas être
ne
et
z
n
(x)
premier)
est irréductible.
avec
p , alors
q
(e , n) = (q , qp - 1) = 1 ,
donc
z
(x)
est irréductible.
(V)
n =
qp,
q
p . La situation est
pareille
à
(iV),
à
l’exception
du
(e , n) = q . Donc, on peut avoir des facteurs de
tp
Si
q 17 , n 17 p d lp n - n 17, ce qui est impossible,
(1 l q).
près (i). Même si q > 17 , mais p > k , on obtient l’irréductibilité, et c’est
le cas de tous les n = pq
50 (lorsque les P. B. correspondants ne sont pas déjà irréductibles en vertu des critères précédents).
fait que
(Vi) n = pm - 1 , e0 = 0 ,
(n ,
donc,
Si
k
On
p
en = n p-1 ,
en) = n p-1 , et les degrés des
-1 , z n (x) est irréductible.
peut prouver d’autres critères,
mais ils
19 ; ces
(i).
19
03BDen n
(calcul
facteurs sont de la
trer l’irréductibilité de tous les P. B. Pour
fisent dans tous les cas, sauf
comme on le prouve à l’aide de
e03BD
ne
trivial) ;
for.me t(p - 1) .
non
sont pas suffisants pour démon-
n ~ 400 , les critères énoncés suf-
polynômes
sont aussi
irréductibles,
Le groupe de Galois
4. 20142014s20142014~2014201420142014201420142014~
(a) THÉORÈME. symboles,
n
Si
G
de
(x) .
l’exception possible des
avec
théorème,
ce
nus, ainsi que de certains résultats
petits degrés.
THEOREME
ble
A
o(G)
On écrira
f(x)
Soit
THÉORÈME
B
(C. JORDAN, [14],
moins 2
au
THÉORÈME
C
k
premier,
=
n -
plusieurs théorèmes
G.
l’ordre du groupe
1
=
un
a.
p)a. ,
6
=
con-
concernant les groupes finis de
polynôme irréductiSupposons
G .
pue
et
pfô .
discriminant de
y(x)
Si le groupe
de permutations
et
Note
p
+
1
C). -
G
n
sur
substitution circulaire d’ordre premier
une
p ,
fois transitif.
=
D
(R. DEDEKIND ;
bibliographiques.
f(x)
au moins
une
permatation de
(voir
e.
+
p
(p
k
contenir le
[7],
SCHUR
outre ~
p
n -
complète.
sur
n
[9],
(1 ~j ~r)
f(x)
un
irré-
contient
facteur
f.(x)
auquel il correspond.
207, démonstration
p.
réfé-
contenu dans
groupe de Galois de
fj(x)
sans
du
corollaire). -
symboles, et soit
9
p 2n/3
à moins que
Soit
G
un
nombre
Go A
(An
n
=
symboles).
n
(I.
Comme la
alors~ le
alors
THEOREME F
~.
équivalent à un résultat
(mod p) , f.(x)
degré du polynôme
g.
ou le théorème est cité
449,
cycles, chacun correspondant à
r
primitif de permutations
premier tel que
groupe alterné sur
p.
Il semble être
(mod p) j
et de même ordre Que le
THEOREME E
[20],
voir
=
ductibles et distinctes
en
12 .
=
(C. JORDAN, [15], Théorème I). - Un groupe de degré n
> 2 ) ne peut être plus de k fois transitif, à moins de
3 et
groupe
n
sur
alterné.
THÉORÈME
§
et
et ayant le groupe de Galois
A~
symboles est primitif et contient
rences
11
=
symétrique
plo(G) .
Alors.
groupe
n
le groupe
= S ,
fera usage de
on
désigner
(a) 3p ~ m tels que m n,
(b) f(x)=x y(x) (modp) , avec
il est
cas
classiques
pour
(I. SCHUR, [20]). de discriminant
Q,
sur
G
est transitif, alors
G
démonstration de
Dans la
z
2014 ~
n
[20]). -~
2 ,n
alors
justification
de
ce
G
satisfait
p
=
A
si
n-
théorème
en
aux
conditions du théorème A et
~Tn 2014
eZ,G==S
~
n
n
[20]
est très
brève,
2014
en
voici
n ’ 2014n
une
plus
’
conditions du théorème
Comme
A~
n
p > n~2 ~ il résulte en plus que Gn contient un élément P 9 générateur d’un
groupe cyclique d’ordre p 9 donc, Gn est primitif. Il résulte ainsi du théorème
B que G
est au moins ~ - n ~ p + 1
(> ~~ f ois transitif. A.lors, en écrivant
n
k: n-p-~-~>2, et il résulte du théorème C que G A
n
n
E Z
G _ S selon
k + 1 > k et k > 2 ) et G = A
ou
n
n-..
n
n
n
Démonstration. - Si
D
n~
(b)
Pour
ou
de
z
n
(x~ 9
calcule,
satisfait
ces
théorèmes,
aux
Z .
appliquer
(l)
que
alors
=
=(2),(2n)! n! 2n ,
a0
à l’aide de
comme
y i(x) ~
et
il faut d’ abord calculer le discriminant
yn (x~
le même que celui de
il résulte de
se
p
en
a
.
Si
=
1,
et la résultante
suit : Si
x
faisant le
produit
=
x
v
parcourt
pour
R
=
les zéros de
De
et,
par
même,
en
induction,
la substitution de ;
faisant le
produit sur v,
d’où l’on obtient
En observant que
a0
D
=
n
R(yn , y’n ) ,
une
n
y)
yn(x),
~=1~2~...~n~
donc
et,
D
simplification évidente
donne
ou
(6)
Nous faisons les remarques suivantes :
~i~ Si n > 1 ,
Z 9 donc,9 G ~ A
n
(ii)
Pour tout entier
(c) Essayons
rons, il
Nous
nous
savons
d’abord
déjà
de
n
impair
m
d’appliquer
faut trouver
[5]
et il résulte aisément
jours
-
un
que, pour
(en
n,
une
48 ,
il y
3)
Sn
° et
puissance
pour
cela,
k >
n .
comme nous
le
ver-
tel que
p
x = n -
n
F 9
premier
x ~
posant *
à
n
le théorème
nombre
G =
~
n
a un
x
p ~ -~ x ,
57,
il y a tou-
tel que
p
n ==
que, pour
dans l’intervalle désiré. Une vérification directe montre que de tels
nombres premiers existent en fait pour tout n ~ 14 , ainsi que pour n = 10 .
un
p
Vérifions maintenant que les conditions du théorème A sont
par
un
Pour
=
a
n
tel
(car pl
2n> 1
En écrivant
,
2pl 2n> 1
#
mais
et
d’ après (6) .
(b) : D’après (5),
Mais
d onc
d ’ aprè s ( 5 ) j
pI ni ,
Pour
fait satisfaites
p .
(a) :
(2n)!
n,
~n ~j
en
2p
>
et
p
d ivi se
a
n
mais, d’après 7> ,
,
/fni ) .
p
Si
p
=
exac tement à la
p >
2n - 2k -
2n + 1 3
1,
divise les coefficients de
et
première pui s sanc e
3pi2n) 1 ;
aussi
alors
zV (0 03BD p) ; donc,
de sorte que
Enfin, d’après (6) ,
2n -
rème A
4n-2 3 -
D1/2
2n - 1 3
vérifiées.
L -
1,
£
pour tout n >
n
si que le P. B. de degré
trique S .
Z
-
pD n-p
donc,
p °
2n - 1 3 n 2 ;
1,
n >
pour
contient que des facteurs
ne
n-p
trouvent
se
Enfin,
D
plus petits
donc le théorème F est
ont
10 ,
=
applicable et, puisque
degrés
groupe de Galois
comme
-2p - 1
et toutes les conditions du théo-
,
tous les P. B. irréd,uctibles de
n
que 2n
Gn
14 ,
n )
ain-
symé-
le groupe
n
(d)
Pour les autres valeurs de
d’étudier presque chaque
n
(car
2
=
et
S2
(1§
n
séparément.
cas
Sont les seules
A2
Le
Pour
cela,
il
qUe
n
nous
faut
pn
n .
3 ’
*
P4
LeS
trouver,
transitifs.
e8t
En
gré
POUr
-
>
pn
Il
aPPlicable .
t n& n
le
Donc,
CeS CaS
dre
=
1
est
pour
G2 ~ A2 ) et
A3
S3 , et les
G3 (e ) ,
ou
=
chaque
en
un
n ,
mais aussi
trivial ;
et
essayons d’utiliser
Nous trouvons
P6
*
P7
polynômes correspondants
tous
nous
n
obligés
nous sommes
au
3
=
deux
moins le théorème A.
nombre
effet de tels
n
premier
p
pn , sauf pour
=
n
’
p , tel
=5
et
à savoir
11 ,
=
(n / 10) ,
n $ 13
4 §
cas
possibilités,
(car ’il n’y a que les trois possibilités
premières s’éliminent trivialement).
POUr
n £ 10) ,
n $ 13 ,
pn
en
pour
4
et
A4
*
P~
*
7,
P12
*
Pi~
*
11.
irréductibles, de sorte que leurs
s’applique, et p n)o(G n) . Comme on
il résUlte que les
Gn
résUlte que chacun de
ces
sont
G~
n
sont
a encore
dans
et le théorème B
primitifs
groupes
G
est
transitif,
1 .
+
ParticUlier,
sont
Pà
sont
théorème A
n/2 ,
5,
*
n
=
4 ,
les seuls groupes de
54 (voir 1?1 ,
§ 166
(ii) ,
permutations primitifs d.e de=°°°i
po 214) 1 donc, G4~A4
G4=S4 .
de
de
groupes
permutations
degré
7 - 5 +
7,
3 , et les seuls
7 , triplement transitifs, sont A7 et S7 ( [ 7] , § 1 66 (V ) , p . 2 1 6) , ainsi que
G7 S7 . FOUr n 13 , nous rappelons le fait (voir par exemple [7] , § 165,
P. 214, Ex. ; mais Ce résultat fut connu par JORDAN) que, si
pi > 3 et p2=2p1+1
sont des nombres premiers, alors tout groupe triplement transitif de
degré
~ ~
contient
En particulier,
~~ ~ ~ ~ ~ ~1 * ~ J donc,
~~l ~ ~
~13
b
~13
est triplement transitif. On a aussi n
13
2 . 5 + 3 avec p1
5 > 3 et
n
1
=
=
=
=
=
2Pi
+
1
=
2.5
+
1
=
ii
=
P2
nombres
=
Premiers.
=
Par
conséquent, G13 ~
A13 ,
et
D x/z ~3 ~ M Z
comme
Il
p’
2n 3 ,
firme que
n
n
élément de
n
et 12. Pour les étu-
d’établir l’existence d’un élément
en vue
(avec
Le théorème E
à moins que
G D
p’)o(G)
n
n
p’ ,
~
mais
A
;
n
n
’
~.
=
et
e =
1)
af-
ayant établi l’existence d’un
GnD A
,
n
G
de sorte que
=n
S ,
n
avant.
comme
P our
n = 5 ,
x3 x2
+
avec
D,
tel que
d’ordre
G
G13
n~596,~, 9,11
cas
utiliserons le théorème
nous
d’ordre
il s’ensuit que
reste à considérer les
nous
dier,
G ~3 ~ A13 ’
==>
contient
un
4x
+
+
5
(mod 17) . Donc, d’après
irréductible
cycle d’ordre 3
3to(G~) .
et
dont l’ordre soit divisible par
sont
3 ,
théorème D,
le
Mais les seuls groupes de
A5
et
S5 ;
ainsi,
fois de
une
G5
degré 5 ~
plus,
~ =’5 De
même,
tous les facteurs étant irréductibles
alors
P~ G/ aussi,
G~ S~ (comme
(a ~ b)
e
=
transposition,
=
tement le théorème
Pour
avec
n
28!
I1
nous
2 ~! j6i ~
primitif
G/
il serait bien malaisé
D,
contient
une
d’appliquer
direc-
E).
des facteurs irréductibles
et
le groupe
comme
le théorème
=~~
de sorte q ue
5
et
(mod 13) . D’après
5
PQ
~ G8,
2.8/3 ,
(mod 19) . Donc, d’après
P2 - (c ,
e , g ,
d ,9
le théorème E montre que
f)
étant d’ordre
8
A
8 9 donc.
reste à considérer seulement les trois valeurs
Tous les calculs
cessaires pour
précédents se font aisément
obtenir la décomposition
le théorème D ,
5 . Comme
G
=
8
5I 8:
,
S .
8
n = 9 , 11 , et 12 .
à la main ; mais
déjà
les calculs né-
seraient
pénibles
29 ) indique, d’après
irréductibles
mod
tion
de la forme
P e
P E Gg
aussi
Donc,
et
P~ = (d ,
y
mais, ayant aussi
quent,
E montre que
y
Pour les deux
ainsi que
soit allé
z (x)
jusqu’à
). (il
pour
7
P
et
et
y
5
-?-.9
=
6 ,
le théorème
S.
dans
mod 61
des congruences
est clair que, si
n = 11
5 /~9!
=
5. Par consé-
est d’ordre
5J9! ~
facteurs
D, l’existence d’une permuta-
f)
h ,
n = 11
évidence des éléments d’ordre
en
le théorème
g, e ,y
G~
qui restent,
cas
(en
l’aide d’une calculatrice. Cette factorisation
sans
e
et
n
G11
=
et
12 , tous les efforts de mettre
G 12
ont
échoué,
bien que l’on
(pour z (x) ) et mod 47 (pour
o(P) 7 ; alors, 7)n!,..
=
n = 12 , et l’on obtiendrait,
comme
avant,
G
=
n
S
dans
7-?-~
ces
n
cas.)
Aussi, d’autres manières d’approcher le problème ont été essayées en
vain, par exemple l’étude de leurs multiples transitivités, à l’aide des théorèmes
deux
classiques
de JORDAN
Ph. HALL. Ces échecs
et
n = 11
pour
ou
BURNSIDE,
répétés
nous
n==12,et
pour
ou
des résultats récents de M.
amènent à considérer la
ces
HALL, WIELANDT et
possibilité
que
G ~
S
n
valeurs seulement1
étrange que cela puisse paraître, cela n’est peut-être pas plus étrange que
l’existence, précisément pour ces degrés, de groupes de hautes transitivités, ne
contenant pas A , à savoir les groupes de Mathieu. Il paraît désirable de déterminer la structure de
G et G ~ , pour clore ainsi définitivement le problème
des groupes de Galois transitifs des polynômes de Bessel.
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