Opération reste commentaire On divise a par b Si r0 - index - mf-go

Chapitre. II : PGCD de deux entiers - - Tale S spécialité maths 2010 – 2011
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I. Activité :
Rechercher les diviseurs communs à 12 et 18
II. Le Plus Grand Commun Diviseur
1°/ Diviseurs communs à deux entiers :
Propriété de réduction : (admise)
Soit    l’ensemble des diviseurs communs à deux entiers  et .
Corollaire
*            où r est le reste de la division euclidienne de  par .
* Si  divise ,      [l’ensemble des diviseurs de b]
Remarques :
* Les diviseurs communs à 0 et  sont les diviseurs de pour tout    .
* Les diviseurs communs à 1 et  sont – 1 et 1 pour tout   
* Deux entiers non nuls ont un nombre fini de diviseurs, alors il en existe un plus grand que les autres .
Définition
Le plus grand commun diviseur à  est appelé le PGCD de  et de ,
Il est noté :       PGCD(a ; b).
Conséquence :
    si, et seulement si, .
Démo :
2°/ PGCD et algorithme d’Euclide :
Lemme d’Euclide
   désignent des entiers relatifs non nuls.
Si               
Démo :
Algorithme d’Euclide : a  IN* et b  IN*, avec a > b.
On remplace   par des couples de nombres de plus en plus petits, qui ont le même ensemble de diviseurs communs
Opération
reste
commentaire
On divise a par b
Si r0  0, on divise b par r0
Si r1  0, on divise r0 par r1
Si rn – 1  0, on divise rn – 2 par rn – 1
Si rn  0, on divise rn – 1 par rn
r0
r1
r2
rn
0
0 r0 < b et PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r0)
0 r1 < r0 et PGCD(b ; r0) = PGCD(r0 ; r1)
0 r2 < r1 et PGCD(r0 ; r1) = PGCD(r1 ; r2)
0 rn < rn – 1 et PGCD(rn – 2 ; rn – 1) = PGCD(rn – 1 ; rn)
PGCD(rn – 1 ; rn) = rn
Ci-dessus, on note rn le dernier reste non nul.

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On trouve forcément un reste nul, en effet, les restes sont des entiers positifs qui vont en décroissant strictement
( 0 < 
et              
Propriété
Si  ne divise pas , le PGCD des entiers naturels non nuls est égal au dernier reste non nul obtenu par l’algorithme
d’Euclide.
Un exemple : recherche du PGCD de 1078 et 322 à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
On écrit les divisions euclidiennes successives …
L’utilisation d’un tableur est intéressante.
3°/ Propriétés du PGCD :
Propriété :
Les diviseurs communs à deux entiers relatifs non nuls  et  sont les diviseurs de   .
Démo :
Propriété :
Si on multiplie deux entiers naturels non nuls  par un même entier naturel  , leur  est multiplié par  soit :
Démo :
Un exemple :
Conséquence :
Si  est un entier naturel non nul, diviseur commun à  et , alors :
Un exemple :

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Identité de Bézout :
 désignent deux entiers relatifs non nuls.
Si    , alors il existe des entiers relatifs  tels que     
Démo :
 Si  et  sont des entiers naturels, on suppose par exemple que      et  ne divise pas.
L’algorithme d’Euclide s’écrit :
   q0 + r0 ;   r0 q1 + r1 ; … ; rn-2 = rn-1 qn + rn ; rn-1 = rn qn+1 avec 0 < rn < rn – 1 < … < r0 < .
D’où, r0 =  q0 =  u0 +  v0 avec u0 = 1 et v0 = – q0
r1 =  – r0 q1 = + (  q0) × (– q1) =  × (– q1) + × (1 + q0 q1) = u1 +  v1 avec u1 = – q1 et v1 = 1 + q0 q1
En réitérant ce procédé, on montre que tous les restes rk, avec 0    , obtenus dans l’algorithme d’Euclide s’écrivent sous la
forme rk =  uk +  vk, où uk et vk sont des entiers relatifs qui s’expriment en fonction de q0, q1, …, qk, et en particulier le dernier
reste non nul rn qui est le PGCD de  et .
 Les autres cas, par exemple    et    se ramènent aux cas précédents :   et  étant entiers naturels,
il existe un couple    d’entiers relatifs tels que     
Il existe donc des entiers relatifs    et    tels que     
Remarque :
Le couple    n’est pas unique.
Par exemple, pour    et   , on obtient PGCD(3 ; 2) = 1.
Or, 1 = 3 × 1 + 2 × (– 1) d’où   et   ou 1 = 3 × (– 1) + 2 × 2 d’où   et  
Exemple:
Déterminer un couple    d’entiers tels que       
1/ on écrit l’algorithme d’Euclide ; 2/ on isole les restes: (feuille annexe)
4°/ Nombres premiers entre eux
Définition : Dire que deux nombres entiers non nuls sont premiers entre eux signifie que leur PGCD est égal à 1.
Exemples : 25 et 27 ,  et   
Quotient de deux entiers non nuls par leur PGCD
 désignent deux entiers relatifs non nuls.
Si    , alors il existe des entiers relatifs  et  premiers entre eux tels que     
( Les nombres 
 et   sont premiers entre eux)
Démo : (feuille annexe)
IV. Théorème de Bachet-Bézout :
Deux entiers relatifs non nuls  sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe des entiers relatifs  tels
que     
Démo : (feuille annexe)
Exemple:
 désigne un entier naturel non nul. Appliquer le théorème à  et    , puis à    et   .

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V. Théorème de Gauss :
1°/ Théorème :
  et  désignent trois entiers relatifs non nuls.
Si  divise le produit  et si  est premier avec , alors  divise 
Démo :
Remarque :
Vérifier que  est premier avec  car  peut diviser  en ne divisant ni , ni 
Par exemple, 6 divise 300 , or 300 = 15 × 20 et
2°/ Conséquences :
Propriété :
 et désignent des entiers relatifs non nuls et  un nombre premier.
Si  divise le produit  alors  divise  ou  divise .
Rappel : définition d’un nombre premier
Démo :
Propriété :
 désignent des entiers relatifs non nuls
Si  et  sont premiers entre eux et si chacun d’eux divise , alors  divise .
Démo :
Ex 1 :
5 et 9 sont premiers entre eux et divisent 1 035, alors .
Ex 2 : Démontrer que 6 divise      avec   IN.