2x4

Math´ ematiques assist´ ees par ordinateur
Chapitre 3 : Arithm ´ etique des polynˆ omes
Michael Eisermann
Mat249, DLST L2S4, Ann´ ee 2008-2009
www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao
Document mis ` a jour le 6 juillet 2009
1/55
Objectifs de ce chapitre
Nous allons discuter et approfondir l’arithm´ etique des polynˆ omes sur
un corps, notamment ` a coefficients rationnels, r´ eels, complexes.
Afin de proc´ eder syst´ ematiquement et efficacement, nous
introduisons d’abord le vocabulaire ad´ equat (corps et anneaux).
Ensuite on ´ etablira quelques outils fondamentaux, notamment
la division euclidienne : S=P Q +Ro` udeg R < deg P,
l’algorithme d’Euclide pour calculer pgcd(A, B),
l’algorithme d’Euclide-B ´ ezout : pgcd(A, B) = AU +BV .
Les applications sont nombreuses !
D´ ecomposition des polynˆ omes et des fractions rationnelles.
Localisation des racines r´ eelles d’un polynˆ ome r´ eel (Sturm).
Localisation des racines complexes d’un polynˆ ome complexe.
2/55
Sommaire
1Arithm ´ etique des polynˆ omes sur un corps, Euclide, B´ ezout
Polynˆ omes sur un corps
La division euclidienne
Les algorithmes d’Euclide et de B ´ ezout
2´ Evaluation, racines, d´ ecomposition en facteurs irr´ eductibles
Fonctions polynomiales, m´ ethode de Horner, Horner–Taylor
Multiplicit´ e d’une racine, r´ eduction aux racines simples
D´ ecomposition de polynˆ omes en facteurs irr´ eductibles
3Fractions rationnelles, ´ el´ ements simples, int´ egration symbolique
Le corps des fractions rationnelles
D´ ecomposition d’une fraction en fractions simples
Primitive d’une fraction rationnelle
3/55
Corps
Les nombres rationnels (Q,+,·), les nombres r´ eels (R,+,·), et les
nombres complexes (C,+,·)jouissent des propri´ et´ es suivantes :
(A1 : associativit´ e) ∀a, b, c : (a+b) + c=a+ (b+c)
(A2 : commutativit´ e) ∀a, b :a+b=b+a
(A3 : ´ el´ ement neutre) ∃0∀a: 0 + a=a
(A4 : ´ el´ ement oppos´ e) ∀a∃b:a+b= 0
(M1 : associativit´ e) ∀a, b, c : (a·b)·c=a·(b·c)
(M2 : commutativit´ e) ∀a, b :a·b=b·a
(M3 : ´ el´ ement neutre) ∃16= 0 ∀a: 1 ·a=a
(M4 : ´ el´ ement inverse) ∀a6= 0 ∃b:a·b= 1
(D : distributivit´ e) ∀a, b, c :a·(b+c) = (a·b) + (a·c)
D´ efinition (corps)
Un corps (K,+,·)est un ensemble Kmuni de deux op´ erations,
appel´ ees addition +: K×K→Ket multiplication ·:K×K→K,
v´ erifiant tous les axiomes (A1-4), (M1-4), (D) ci-dessus.
§1.1 4/55
Corps finis
Outre les corps Q,R,Cil existe beaucoup d’autres exemples !
Sur l’ensemble F2={0,1}` a deux ´ el´ ements on n’a qu’un seul choix :
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
et ·0 1
0 0 0
1 0 1
.
Proposition (le corps ` a deux ´ el´ ements)
(F2,+,·)est un corps.
D´ emonstration. Les axiomes se v´ erifient en ´ enum´ erant tous les cas.
Alternative : Si l’on interpr ` ete 0et 1comme «vrai »et «faux »alors la
multiplication ·est la conjonction «et »tandis que l’addition +est la
disjonction «ou exclusif ». Sous cette forme vous avez d´ ej` a´ etabli la
v´ eracit´ e des axiomes lors de votre introduction ` a la logique.
Alternative : On peut reconnaˆ ıtre F2comme le quotient Z/2Z.
Remarque
Les corps finis sont fortement utilis´ es en alg` ebre et en cryptographie.
Tout corps fini est de cardinal pkpour un premier p. R ´ eciproquement,
pour tout premier pet k≥1il existe un unique corps de cardinal pk.
§1.1 5/55
Les quatre op´ erations dans un corps
On abr` ege a·bpar ab. Au lieu de a+ (b·c)on ´ ecrit aussi a+bc.
Les ´ el´ ements 0et 1ainsi que les applications a7→ −aet a7→ a−1
ne figurent pas explicitement dans (K,+,·), ils s’en d´ eduisent :
L’´ el´ ement neutre de l’addition est unique : si 0 + a=aet 00+a=a
pour tout a∈K, alors 00= 0 + 00= 00+ 0 = 0.
Pour tout a∈Kl’oppos´ e est unique : Si a+b= 0 et a+b0= 0 alors
b= 0 + b=b+ 0 = b+ (a+b0) = (b+a) + b0= (a+b) + b0= 0 + b0=b0.
On notera donc sans ambigu¨ ıt´ e l’oppos´ e de apar −a.
De mˆ eme l’´ el´ ement neutre 1de la multiplication est unique.
Pour tout a∈K\ {0}l’inverse est unique, et sera not´ e par a−1.
On a ab = 0 ssi a= 0 ou b= 0 : si a6= 0 alors b=a−1ab = 0.
§1.1 6/55
Anneaux
Les entiers (Z,+,·)ne forment pas un corps mais un anneau :
D´ efinition (anneau)
Un anneau (A,+,·)est un ensemble muni de deux op´ erations dont
on exige les axiomes ci-dessus ` a l’exception de M4 (´ el´ ement inverse).
Ici tout anneau sera donc suppos´ e commutatif (M2) et unitaire (M3).
D´ efinition (´ el´ ements inversibles)
Soit a∈A. On dit que b∈Aest un inverse de asi a·b= 1.
Dans ce cas l’inverse de aest unique et sera not´ e par a−1.
On appelle a∈Ainversible s’il admet un inverse dans A.
Dans Z, par exemple, les seuls ´ el´ ements inversibles sont 1et −1.
L’´ el´ ement 0n’est jamais inversible : on a toujours 0·b= 0 6= 1.
Un anneau Aest un corps ssi tout ´ el´ ement a∈A,a6= 0 est inversible.
On note A∗=A\ {0}l’ensemble des ´ el´ ements non nuls,
et A×⊂A∗l’ensemble des ´ el´ ements inversibles dans A.
§1.1 7/55
Polynˆ omes
Soit Kun corps (par exemple Q,R,C).
Un polyn ˆ ome sur Kest une expression formelle
P=p0+p1X1+p2X2+··· +pnXno` up0, p1, p2, . . . , pn∈K.
!
Ici Xn’est qu’une variable formelle (et non un ´ el´ ement de K).
De mˆ eme, Pn’est qu’une expression formelle (et non une fonction).
Ce qui compte est la suite des coefficients dans K:
n
X
k=0
akXk=
n
X
k=0
bkXk⇐⇒ ak=bkpour tout k= 0, . . . , n
!
On peut rajouter ou supprimer des termes nuls, 0·Xn+1.
Ainsi P=Pm
k=0 pkXken prolongeant par pn+1 =··· =pm= 0,
voire P=P∞
k=0 pkXken prolongeant par pk= 0 pour tout k > n.
Pour l’impl´ ementation il suffit de stocker les coefficients non nuls.
Typiquement on stocke la suite (p0, p1, p2, . . . , pn)telle que pn6= 0.
§1.1 8/55

L’anneau des polynˆ omes
On note par K[X]l’ensemble des polynˆ omes sur l’anneau K.
On d´ efinit l’addition terme par terme :
n
X
k=0
akXk+n
X
k=0
bkXk:=
n
X
k=0
(ak+bk)Xk
Pour obtenir Xi·Xj=Xi+jon d´ efinit la multiplication par
m
X
i=0
aiXi·n
X
j=0
bjXj:=
m+n
X
k=0 X i+j=k
aibjXk
Ces d´ efinitions se traduisent directement en algorithme de calcul.
Proposition (l’anneau des polynˆ omes sur K)
L’ensemble K[X]des polynˆ omes sur Kmuni de l’addition +
et de la multiplication ·d´ efinies ci-dessus est un anneau.
On remarque que aX0+bX0= (a+b)X0et aX0·bX0= (ab)X0.
Ainsi on obtient K⊂K[X]en identifiant a∈Kavec aX0∈K[X].
§1.1 9/55
L’anneau des polynˆ omes : v´ erification des axiomes
Pour prouver le th´ eor` eme il faut v´ erifier les axiomes un par un.
L’associativit´ e de (K[X],+) d´ ecoule de celle de (K,+) :
PakXk+PbkXk+PckXk=P(ak+bk)Xk+PckXk
=P[(ak+bk) + ck]Xk=P[ak+ (bk+ck)] Xk
=PakXk+P(bk+ck)Xk=PakXk+PbkXk+PckXk
La commutativit´ e de (K[X],+) d´ ecoule de celle de (K,+) :
PakXk+PbkXk=P(ak+bk)Xk
=P(bk+ak)Xk=PbkXk+PakXk
L’´ el´ ement neutre de (K[X],+) est le polynˆ ome nul :
P0Xk+PakXk=P(0 + ak)Xk=PakXk.
L’´ el´ ement oppos´ e de PakXkest P(−ak)Xk:
PakXk+P(−ak)Xk=P(ak+ (−ak))Xk=P0Xk.
§1.1 10/55
L’anneau des polynˆ omes : v´ erification des axiomes
L’associativit´ e de (K[X],·)repose sur celle de (K,·):
hX
i
aiXi·X
j
bjXji·X
k
ckXk
=hX
sX
i+j=s
aibjXsi·X
k
ckXk=X
tX
i+j+k=t
(aibj)ckXt
=X
tX
i+j+k=t
ai(bjck)Xt=X
i
aiXi·hX
sX
j+k=s
bjckXsi
=X
i
aiXi·hX
j
bjXj·X
k
ckXki
La commutativit´ e de (K[X],·)repose sur de celle de (K,·):
X
i
aiXi·X
j
bjXj=X
sX
i+j=s
aibjXs
=X
sX
j+i=s
bjaiXs=X
j
bjXj·X
i
aiXi
L’´ el´ ement neutre est 1·X0. La distributivit´ e est laiss´ ee en exercice.
§1.1 11/55
L’anneau des polynˆ omes : algorithmes
Algorithme 1 addition de deux polynˆ omes
Entr´ ee: les coefficients de A=Pn
k=0 akXket B=Pn k=0 bkXksur K.
Sortie: les coefficients de la somme C=A+B,C=Pn
k=0 ckXk
pour kde 0` anfaire ck←ak+bkfin pour
retourner (c0,...,cn)
Algorithme 2 multiplication de deux polynˆ omes
Entr´ ee: les coefficients de A=Pm
i=0 aiXiet B=Pn j=0 bjXjsur K.
Sortie: les coefficients du produit C=A·B,C=Pm+n
k=0 ckXk
pour kde 0` am+nfaire ck←0fin pour
pour ide 0` amfaire
pour jde 0` anfaire
ci+j←ci+j+aibj
fin pour
fin pour
retourner (c0,...,cm+n)
!
Cette m´ ethode de multiplication est de complexit ´ e quadratique :
elle effectue (m+ 1)(n+ 1) additions et multiplications dans K.
§1.1 12/55
Le degr´ e des polynˆ omes
Tout polynˆ ome non nul s’´ ecrit comme P=Pn
k=0 pkXko`
upn6= 0.
Cette ´ ecriture est unique. On appelle deg P:= nle degr´ ede P,
et dom P:= pnle coefficient dominant de P.
Le polynˆ ome nul est particulier ; on pose deg 0 := −∞ et dom 0 := 0.
Proposition (propri ´ et´ es du degr´ e sur un corps)
On a deg(P+Q)≤sup{deg P, deg Q}, avec ´ egalit´ e si deg P6= deg Q.
On a deg(P Q) = deg P+ deg Qet dom(P Q) = dom P·dom Q.
Soulignons en particulier que P6= 0 et Q6= 0 implique P Q 6= 0.
D´ emonstration. Supposons P=p0+p1X1+··· +pnXnavec
pn6= 0 et Q=q0+q1X1+··· +qmXmavec qm6= 0. Alors
P Q =p0q0+ (p0q1+p1q0)X1+··· + (pnqm)Xm+n.
Dans un corps pn6= 0 et qm6= 0 implique pnqm6= 0.
On conclut que deg(P Q) = n+met dom(P Q) = dom P·dom Q.
Si P= 0 ou Q= 0, on a P Q = 0 et deg(P Q) = deg P+ deg Q
selon la convention (−∞) + deg Q=−∞ et deg P+ (−∞) = −∞.
§1.1 13/55
La division euclidienne : existence et unicit´ e
Soit Kun corps (par exemple Q,R,C).
Proposition (division euclidienne de polynˆ omes)
Soit P∈K[X]un polynˆ ome non nul. Alors pour tout S∈K[X]il existe
une unique paire Q, R ∈K[X]telle que S=P Q +Ret deg R < deg P.
D´ efinition (quotient et reste)
Si S=P Q +Ret deg R < deg P, on appelle Squo P:= Qle quotient
et Srem P:= Rle reste de la division euclidienne de Spar P.
(X5+ 1) = (X3−3X2)(X2+ 3X+ 9) + (27X2+ 1)
−(X5−3X4)
(3X4+ 1)
−(3X4−9X3)
(9X3+ 1)
−(9X3−27X2)
(27X2+ 1)
§1.2 14/55
La division euclidienne : d´ emonstration
Unicit´ e. Si l’on avait P Q +R=P Q0+R0avec deg R < deg P
et deg R0<deg P, alors on aurait P(Q−Q0) = R0−R,
donc deg P+ deg(Q−Q0) = deg(R−R0)<deg P.
Ceci n’est possible que pour deg(Q−Q0)<0, d’o` uQ−Q0= 0.
On conclut que Q=Q0puis R=R0.
Existence. Si deg S < deg Palors Q= 0 et R=Sconviennent.
Pour deg S≥deg Pon proc` ede par r´ ecurrence sur n= deg S.
On suppose le r´ esultat vrai pour tout polynˆ ome ˜ Savec deg ˜ S < n.
On pose M= dom(P)−1dom(S)·Xdeg S−deg Pet ˜ S=S−P M .
Ainsi deg(P M ) = deg Set dom(P M) = dom S, donc deg ˜ S < deg S.
Il existe ˜ Q, R ∈A[X]tels que ˜ S=P˜ Q+Ret deg R < deg P.
Ainsi S=˜ S+P M =P Q +Ren posant Q=˜ Q+M.
Cette construction se traduit en l’algorithme bien connu.
§1.2 15/55
La division euclidienne : algorithme
Algorithme 3 division euclidienne de deux polynˆ omes
Entr´ ee: deux polynˆ omes S, P ∈K[X],P6= 0, sur un corps K.
Sortie: les polyn ˆ omes Q, R ∈K[X]v´ erifiant S=P Q +Ret deg R < deg P.
Q←0;R←S// invariant S=P Q +R
tant que deg R≥deg Pfaire
M←dom(P)−1dom(R)·Xdeg R−deg P// R=P M en degr´ e dominant
Q←Q+M;R←R−P M // pr´ eserve S=P Q +R
fin tant que
retourner (Q, R)
Proposition
L’algorithme 3 ci-dessus est correct.
Terminaison. Le monˆ ome Mest choisi de sorte que Ret P M aient
le mˆ eme degr´ e et coefficient dominant. Ainsi deg(R−P M )<deg R.
L’algorithme se termine apr` es au plus 1 + deg S−deg Pit ´ erations.
Validit´ e. L’initialisation Q←0,R←Sassure que S=P Q +R,
et chaque it´ eration Q←Q+M,R←R−P M conserve cette ´ egalit´ e.
§1.2 16/55

Divisibilit´ e
D´ efinition
Soient A, B ∈K[X]deux polyn ˆ omes sur K. On dit que Adivise B
dans K[X], not´ eA|B, s’il existe Q∈K[X]de sorte que AQ =B.
Par exemple, X+ 1 divise X2−1car (X+ 1)(X−1) = X2−1.
Notation
On ´ ecrit P1∼P2si P1=cP2pour un facteur constant c∈K×.
Dans ce cas on dit que P1et P2sont proportionnels.
Si P1∼P2, alors A|P1⇔A|P2et P1|B⇔P2|B.
Observation
On a toujours A|A(r´ eflexivit´ e),
A|Bet B|Cimplique A|C(transitivit´ e),
A|Bet B|Aimplique A∼B(antisym´ etrie).
Dans ce sens la divisibilit´ e d´ efinit un ordre partiel sur les polynˆ omes.
Dans cet ordre, 1est minimal car 1|Ppour tout P∈K[X].
De mˆ eme, 0est maximal car P|0pour tout P∈K[X].
§1.2 17/55
Divisibilit´ e:v´ erification des propri´ et´ es
Rappel. On a A|Bs’il existe Qde sorte que AQ =B.
R´ eflexivit´ e : A|A.
C’est clair car A·1 = A.
Transitivit´ e : A|Bet B|Cimplique A|C.
Si AU =Bet BV =Calors A(UV ) = C.
Antisym´ etrie : A|Bet B|Aimplique A∼B.
Si A= 0 alors B=AU = 0, et on a A∼B. Supposons donc A6= 0.
Par hypoth` ese on a AU =Bet BV =A, donc AUV =A,
soit encore A(UV −1) = 0. Puisque A6= 0 ceci implique U V = 1.
Ensuite UV = 1 implique deg U= deg V= 0 et donc U, V ∈K×.
On conclut que A∼B.
Observation. Si A|Bet A|Calors A|(B+C).
Par distributivit´ eAU =Bet AV =Cimplique A(U+V) = B+C.
§1.2 18/55
D´ efinition du pgcd
D´ efinition
On dit que Cest un diviseur commun de A1, . . . , Ansi C|Akpour
tout k. On note D(A1, . . . , An)l’ensemble des diviseurs communs.
On dit que D∈D(A1, . . . , An)est un plus grand commun diviseur
(pgcd) si tout autre diviseur commun C∈D(A1, . . . , An)divise D.
On note pgcd(A1, . . . , An)le pgcd unitaire de A1, . . . , An, si non nul.
Exemple : A1= 3X2−6X−9 = (3X−9)(X+ 1)
et A2= 6X2−10X−24 = (2X−6)(3X+ 4) dans Q[X].
Ici X−3ou 2X−6ou 3X−9sont des diviseurs communs, voire des
pgcd de A1et A2.` A noter qu’ils sont proportionnels entre eux.
!
Cette ambigu¨ ıt´ e nous oblige ` a dire un pgcd et non le pgcd.
Pour nos impl´ ementations ceci pose un probl` eme de sp´ ecification.
On privil ´ egiera le pgcd unitaire, ` a coefficient dominant 1.
Sur un corps on peut toujours passer de P` aP/ dom(P).
§1.3 19/55
Existence du pgcd : algorithme pr ´ eliminaire
Soit A, B ∈K[X]deux polyn ˆ omes. On it` ere la division euclidienne :
R0=A
R1=B
R2=R0rem R1=R0−R1Q1
.
.
..
.
.
Rn=Rn−2rem Rn−1=Rn−2−Rn−1Qn−1
0 = Rn−1rem Rn=Rn−1−RnQn
La terminaison est assur ´ ee car deg R1>deg R2>··· >deg Rn.
Apr` es un nombre fini d’it´ eration on tombe donc sur Rn+1 = 0.
Proposition
Le dernier reste Rnnon nul est un pgcd de Aet B.
D´ emonstration.
Par hypoth` ese Rndivise Rn−1, Rn−2, . . . , R2puis R1=B,R0=A.
C’est donc un diviseur commun de Aet B. R´ eciproquement, si P
divise R0=Aet R1=Balors il divise aussi R2, . . ., Rn.
§1.3 20/55
Propri ´ et´ es du pgcd
On a d´ efini le pgcd unitaire de sorte qu’il soit unique.
On vient de prouver qu’il existe. Il reste ` a le calculer efficacement.
Observation
On a D(A1, . . . , An) = D(pgcd(A1, . . . , An−1), An).
Ainsi pgcd(A1, . . . , An) = pgcd(pgcd(A1, . . . , An−1), An).
Il suffit donc de savoir calculer le pgcd de deux polynˆ omes.
Observation
On a D(A, B) = D(B, A) = D(B, A −QB),
d’o` upgcd(A, B) = pgcd(B, A) = pgcd(B, A −QB).
C’est l’observation cl´ e pour l’algorithme d’Euclide.
Observation
On a finalement le cas trivial pgcd(A, 0) = A/ dom(A).
C’est la condition d’arrˆ et dans l’algorithme d’Euclide.
§1.3 21/55
L’algorithme d’Euclide, version pr ˆ ete ` a programmer
Algorithme 4 calcul du pgcd selon Euclide
Entr´ ee: deux polynˆ omes A0, B0∈K[X]sur un corps K
Sortie: le pgcd de A0et B0dans K[X], unitaire si non nul
A←A0,B←B0// pgcd(A, B) = pgcd(A0, B0)
tant que B6= 0 faire
R←Arem B// A=QB +Ret deg R < deg B
A←B,B←R// pgcd(A, B) = pgcd(B, R)
fin tant que
si A= 0 alors retourner 0sinon retourner A/ dom(A)
Th´ eor` eme
L’algorithme 4 ci-dessus est correct :
Il se termine [apr ` es au plus deg(B0)+1it´ erations].
Il renvoie le pgcd unitaire de A0et B0.
§1.3 22/55
L’algorithme d’Euclide : d ´ emonstration
Terminaison. Dans chaque it´ eration deg(B)diminue. Apr` es au plus
deg(B0)+1it´ erations on arrive ` aB= 0 et l’algorithme s’arr ˆ ete.
Correction. On cherche ` a calculer pgcd(A0, B0).
Initialement A=A0et B=B0donc pgcd(A, B) = pgcd(A0, B0).
Cas exceptionnel : pour A0=B0= 0 l’algorithme s’arrˆ ete tout de
suite avec A= 0 et on renvoie pgcd(0,0) = 0, ce qui est correct.
Les polynˆ omes Aet Bchangent, mais pgcd(A, B)est invariant :
chaque it´ eration le conserve car pgcd(A, B) = pgcd(B, A −BQ).
`
A la fin on a A6= 0 et B= 0, et on renvoie pgcd(A, B) = A/ dom(A).
Par l’invariance on a toujours pgcd(A, B) = pgcd(A0, B0).
§1.3 23/55
L’algorithme d’Euclide-B ´ ezout
Th´ eor` eme (identit´ e de B´ ezout)
Pour tout A, B ∈K[X]il existe U, V ∈K[X]tels que
pgcd(A, B) = AU +BV . L’algorithme 5 les calcule.
Algorithme 5 Euclide-B´ ezout
Entr´ ee: deux polynˆ omes A0, B0∈K[X]sur un corps K
Sortie: trois polyn ˆ omes D, U, V tels que D=A0U+B0V= pgcd(A0, B0)
„A U V
B S T «←„A01 0 B00 1«// invariant (A=A0U+B0V
B=A0S+B0T
tant que B6= 0 faire
Q←Aquo B// A=QB +R,deg R < deg B
„A U V
B S T «←„B S T A−QB U −QS V −QT «
fin tant que
si A= 0 alors retourner le triplet [0,0,0] sinon
retourner le triplet [A/ dom(A), U/ dom(A), V/ dom(A)]
!
Les coefficients U, V ne sont pas uniques : Pour tout Q∈K[X]
les coefficients U0=U+QB/D et V0=V−QA/D marchent aussi.
§1.3 24/55

L’algorithme d’Euclide-B ´ ezout : d´ emonstration
Il existe plusieurs fac¸on de d´ emontrer ce th´ eor` eme. Comme il s’agit
d’un ´ enonc´ e d’existence pour Uet Vnous devons construire deux
polynˆ omes Uet Vqui conviennent. Ici nous prouvons ce th´ eor` eme
en montrant que l’algorithme ci-dessus est correct.
Terminaison. Dans chaque it´ eration deg(B)diminue. Apr` es au plus
deg(B0)+1it´ erations on arrive ` aB= 0 et l’algorithme s’arr ˆ ete.
Correction. On cherche ` a calculer pgcd(A0, B0) = A0U+B0V.
Cas exceptionnel : pour A0=B0= 0 l’algorithme s’arrˆ ete
tout de suite et on renvoie (0,0,0), ce qui est correct.
Initialement A=A0et B=B0donc pgcd(A, B) = pgcd(A0, B0).
Le polynˆ ome pgcd(A, B)est invariant pendant l’algorithme.
`
A la fin on a B= 0 donc pgcd(A, B) = A/ dom(A).
L’initialisation assure que A=A0U+B0Vet B=A0S+B0T.
Chaque it´ eration conserve pr´ ecieusement ces ´ egalit´ es.
`
A la fin on a pgcd(A0, B0) = A/ dom(A)ainsi que
A/ dom(A) = A0·U/ dom(A) + B0·V / dom(A).
§1.3 25/55
Non-unicit´ e des coefficients de B´ ezout
Lemme (de Gauss)
Si pgcd(A, B)=1alors A|BC implique A|C.
D´ emonstration. Supposons que AU +BV = 1 ainsi que AQ =BC.
Alors C= (AU +BV )C=AUC +BV C =A(UC +QV ).
Proposition
Soit D= pgcd(A, B)et AU0+BV0=D. Alors AU1+BV1=D
implique U1=U0+QB/D et V1=V0−QA/D pour un Q∈K[X].
D´ emonstration.
Quitte ` a passer ` aA/D et B/D on peut supposer que D= 1.
Pour U=U0−U1et V=V0−V1on trouve AU +BV = 0.
Or, A|BV implique A|V. Donc V=QA, puis U=−QB.
Corollaire
S’il existe une solution minimale v´ erifiant deg U0<deg(B/D)et
deg V0<deg(A/D)alors elle est n ´ ecessairement unique.
§1.3 26/55
L’algorithme d’Euclide-B ´ ezout : minimalit´ e
Proposition
Supposons que A0, B0∈K[X]∗ne sont pas proportionnels, A06∼ B0.
Alors les coefficients de B´ ezout U, V calcul ´ es par l’algorithme 5 sont
minimaux : on a deg U < deg(B0/D)et deg V < deg(A0/D).
Esquisse de d´ emonstration (` a d´ etailler en exercice)
Si deg A0>deg B0≥0, alors on trouve apr` es une it´ eration
deg A > deg B, deg A+ deg U < deg B0,deg A+ deg V < deg A0,
deg A+ deg S= deg B0,deg A+ deg T= deg A0.
Si deg A0≤deg B0, il faut deux it´ erations initiales pour y arriver.
Les it´ erations suivantes pr ´ eservent ces relations. On s’arrˆ ete avec
B= 0 et A∼D, donc deg U < deg(B/D)et deg V < deg(A/D).
Remarque. Ces in´ egalit´ es ne tiennent plus dans les cas d´ eg´ en´ er´ es :
Si A0= 0 on a D∼B0donc deg D= deg B0≥deg A0.
Si B0= 0 on a D∼A0donc deg D= deg A0≥deg B0.
Si A0∼B0on a D∼A0∼B0donc deg D= deg A0= deg B0.
Dans tout autre cas la proposition s’applique comme esquiss´ e.
§1.3 27/55
Fonctions polynomiales
D´ efinition
Soit P=Pn
k=0 akXkun polynˆ
ome dans K[X].
On d´ efinit l’´ evaluation de Pen x∈Kpar P(x) := Pn
k=0 akxk.
Autrement dit, on substitue la variable Xpar un ´ el´ ement x∈K.
Pour tout P, Q ∈K[X]l’ ´ evaluation en x∈Kv´ erifie
(P+Q)(x) = P(x) + Q(x)et (P·Q)(x) = P(x)·Q(x).
D´ efinition
Tout polynˆ ome P=Pn
k=0 akXkdans K[X]induit une
fonction polynomiale fP:K→Kpar x7→ P(x) = Pn
k=0 akxk.
!
Expression 6=fonction ! Ne pas confondre le polynˆ ome P∈K[X]
et la fonction polynomiale fP:K→Kassoci´ ee.
Exemple
Le polynˆ ome P=X2+Xdans F2[X]est non nul mais induit la
fonction nulle : fP(0) = 02+ 0 = 0 et fP(1) = 12+ 1 = 0.
§2.1 28/55
La m´ ethode de Horner : calcul de P(x0)
Soit P=a0+a1X+a2X2+··· +anXnun polyn ˆ ome dans K[X].
Comment calculer efficacement P(x)pour x∈K?
M´ ethode na¨ıve : On calcule akxken effectuant kmultiplications.
Impl´ ement´ e ainsi, le calcul de P(x) = a0+a1x+a2x2+··· +anxn
n´ ecessite nadditions et 1 + 2 + ··· +n=n(n+1)
2multiplications.
M´ ethode de Horner : En profitant de la distributivit´ e on ´ evalue
P(x) = ((···((anx+an−1)x+an−2)···x+a2)x+a1)x+a0.
Ceci ne n´ ecessite que nadditions et nmultiplications !
Exemples : Pour n= 100 on passe de 5050 ` a100 multiplications.
Pour n= 1000 on passe de 500500 ` a1000 multiplications.
Algorithme 6 ´ evaluation d’un polynˆ ome selon Horner
Entr´ ee: des coefficients a0, a1, a2,...,an∈Ket un ´ el´ ement x0∈K.
Sortie: la valeur y=a0+a1x0+a2x2
0+· · · +anxn 0.
y←an
pour kde n−1` a0faire y←y·x0+akfin pour
retourner y
§2.1 29/55
Transformer P(X)en P(X+x0)
Soit P=a0+a1X+a2X2+··· +anXnun polyn ˆ ome et x0∈K.
Comment calculer les coefficients b0, b1, b2, . . . , bntels que
P=b0+b1(X−x0) + b2(X−x0)2+··· +bn(X−x0)n?
Premi` ere m´ ethode : Par la formule binomiale on trouve
n
X
k=0
bkXk=P(X+x0) =
n
X
`=0
a`(X+x0)`=
n
X
`=0
a`
n
X
k=0 `
kXkx`−k
0
=
n
X
k=0
n
X
`=0
a``
kXkx`−k
0=
n
X
k=0 n
X
`=0
a``
kx`−k
0!Xk.
Ainsi on obtient la formule bk=Pn
`=k`
ka`x`−k
0.
Seconde m´ ethode : Par la formule de Taylor on trouve d’une part
P(k)(x0) = Pn
`=k`!
(`−k)! a`x`−k
0et d’autre part P(k)(x0) = k!bk.
On obtient la mˆ eme formule bk=Pn
`=k`
ka`x`−k
0.
!
Cette formule est belle et explicite, mais pas encore optimale :
La m´ ethode de Horner calcule b0, b1, . . . , bnavec moins d’op´ erations.
§2.1 30/55
La m´ ethode de Horner–Taylor : calcul de P(X+x0)
Objectif.
´
Etant donn´ eP=a0+a1X+a2X2+··· +anXnet x0∈K
on cherche P=b0+b1(X−x0) + b2(X−x0)2+··· +bn(X−x0)n
| {z }
(X−x0)Q
.
M´ ethode de Horner :
On effectue une division euclidienne P=q0+ (X−x0)Q.
Algorithme 7 division euclidienne par (X−x0)
Entr´ ee: des coefficients a0, a1, a2,...,an∈Ket un ´ el´ ement x0∈K.
Sortie: des coefficients q0, q1, q2,...,qn∈Ktels que
P=q0+ (X−x0)Qo` uP=Pn
k=0 akXket Q=Pn−1 k=0 qk+1Xk.
qn←an
pour kde n−1` a0faire qk←qk+1 ·x0+akfin pour
retourner q0, q1, q2,...,qn
Ainsi b0=q0et b1+b2(X−x0) + ··· +bn(X−x0)n−1=Q.
On calcule ensuite les coefficients b1, b2, . . . , bnpar r´ ecurrence.
§2.1 31/55
La m´ ethode de Horner–Taylor, prˆ ete ` a programmer
L’algorithme 8 r ´ esume la m´ ethode issue de notre discussion :
Algorithme 8 la m´ ethode de Horner–Taylor
Entr´ ee: a0, a1,...,an∈Ket x0∈K.
Sortie: b0, b1,...,bn∈Ktels que Pn
k=0 bk(X−x0)k=Pn k=0 akXk.
pour jde 0` anfaire bj←ajfin pour
pour `de 0` an−1faire
pour kde n−1` a`faire bk←bk+1 ·x0+bkfin pour
fin pour
retourner b0, b1,...,bn
Conclusion
´
Etant donn´ eP=PakXk, les coefficients de P=Pbk(X−x0)k
peuvent ˆ etre calcul´ es avec n(n+1)
2multiplications et n(n+1) 2additions.
§2.1 32/55

Multiplicit´ e d’une racine
On dit que r∈Kest une racine de P∈K[X]si P(r)=0.
Proposition
Un ´ el´ ement r∈Kest une racine de Pssi P= (X−r)Qo` uQ∈K[X].
D´ emonstration. Il existe des polynˆ omes Q, R ∈K[X]tels que
P= (X−r)Q+Ret deg R < deg(X−r)=1, donc R∈K.
Ainsi P(r) = Rs’annule si et seulement si R= 0.
Corollaire
Pour tout P∈K[X]∗et tout r∈Kil existe un unique entier m≥0
tel que P= (X−r)mQet Q(r)6= 0.
Si m≥1on dit que rest une racine de Pde multiplicit´ em.
La racine est simple si m= 1, et multiple si m≥2.
§2.2 33/55
Factorisation et racines
Corollaire
Tout P∈K[X]∗s’´ ecrit comme P= (X−r1)m1···(X−rk)mkQ
o` ur1, . . . , rk∈Ksont des racines distinctes, de multiplicit ´ e
m1, . . . , mk≥1, et Q∈K[X]n’a pas de racine dans K.
Ainsi un polynˆ ome de degr´ ensur Kadmet au plus nracines dans K.
D´ emonstration. On suppose P6= 0 donc deg(P)≥0.
On proc` ede par r´ ecurrence sur deg P:
Si deg(P) = 0 alors Pn’a pas de racines et P=Qconvient.
Si deg(P)≥1on distingue deux cas :
Si Pn’a pas de racines, alors P=Qconvient.
Si Padmet une racine r1∈K, alors il existe P∗∈K[X]
tel que P= (X−r1)m1P∗avec m1≥1et P∗(r1)6= 0.
Par r ´ ecurrence on sait que P∗= (X−r2)m2···(X−rk)mkQ,
o` ur2, . . . , rk∈Ksont des racines distinctes, de multiplicit ´ e
m2, . . . , mk≥1, et Q∈K[X]n’a pas de racine dans K.
On a deg P=m1+··· +mk+ deg Q, donc m1+··· +mk≤deg P.
Si P(r)=0, alors r∈ {r1, . . . , rk}, car un des facteurs s’annule.
§2.2 34/55
Interpolation de Lagrange
Th´ eor` eme
´
Etant donn´ es des points distincts x0, . . . , xn∈Ket des valeurs
arbitraires y0, . . . , yn∈K, il existe un unique polyn ˆ ome P∈K[X]
de degr´ e≤nv´ erifiant P(xk) = ykpour tout k= 0, . . . , n.
On appelle Ple polyn ˆ ome interpolateur de Lagrange.
Unicit´ e : Supposons que P, Q ∈K[X]sont de degr ´ e≤net v´ erifient
P(xk) = Q(xk)pour tout k= 0, . . . , n. Alors R=P−Qest de degr´ e
≤net s’annule dans les n+ 1 points distincts x0, . . . , xn.
Ceci n’est possible que pour R= 0, donc P=Q.
Existence : Pour tout k= 0, . . . , n le polynˆ ome
Pk=Y
j6=k
X−xj
xk−xj
est de degr´ enet v´ erifie Pk(xk)=1ainsi que Pk(xj) = 0 pour j6=k.
Ainsi P=Pn
k=0 ykPkv´
erifie P(xj) = yjpour tout j= 0, . . . , n.
§2.2 35/55
D´ erivation des polynˆ omes
Proposition
On d´ efinit la d´ erivation ∂:K[X]→K[X]par
∂n
X
k=0
pkXk:=
n
X
k=1
kpkXk−1.
Cette application est K-lin´ eaire et v´ erifie la r ` egle de Leibniz :
∂(P Q) = (∂P )·Q+P·(∂Q).
D´ emonstration.
´
Evidemment ∂(P+Q) = ∂P +∂Q et ∂(aP ) = a(∂P )pour tout a∈K.
La r` egle de Leibniz est v´ erifi ´ ee pour P=Xmet Q=Xncar
∂(P Q) = ∂Xm+n= (m+n)Xm+n−1
=mXm−1·Xn+Xm·nXn−1= (∂P )·Q+P·(∂Q).
Cette formule est K-lin´ eaire en Pet en Q.
Elle s’´ etend donc ` a tout couple de polynˆ omes P, Q ∈K[X].
§2.2 36/55
Racines multiples et d´ eriv ´ ee
Proposition
Un ´ el´ ement r∈Kest une racine multiple de P∈K[X]∗si et
seulement si rest une racine commune de Pet de sa d´ eriv ´ ee P0.
D´ emonstration. Supposons P= (X−r)mQavec m≥1et Q(r)6= 0.
En appliquant la r` egle de Leibniz on obtient la d´ eriv ´ ee
P0=m(X−r)m−1Q+ (X−r)mQ0.
Si m= 1, alors P(r) = 0 mais P0(r) = Q(r)6= 0.
Si m≥2, alors P(r) = 0 et P0(r)=0.
Corollaire
Si pgcd(P, P 0)=1alors toute racine de Pest simple.
D´ emonstration. Supposons P(r)=0et P0(r) = 0.
Dans ce cas on aurait P= (X−r)Q0et P0= (X−r)Q1,
donc pgcd(P, P 0) = (X−r) pgcd(Q0, Q1)serait de degr´ e≥1.
§2.2 37/55
R´ eduction aux racines simples
En g´ en´ eral il est difficile de trouver des racines !
Par contre, il est facile de r ´ eduire leur multiplicit´ e` a1:
Corollaire (sur K=Q,R,C)
Pour tout polynˆ ome P∈K[X]∗le quotient P/ pgcd(P, P 0)
a les mˆ emes racines que P, mais chacune est de multiplicit´ e1.
D´ emonstration.
Supposons P= (X−r)mQo` um≥1et Q(r)6= 0. Alors
P0=m(X−r)m−1Q+ (X−r)mQ0= (X−r)m−1R
o` uR=mQ + (X−r)Q0et ainsi R(r) = mQ(r)6= 0.
Autrement dit, rest une racine de P0de multiplicit´ em−1.
Donc rest une racine de pgcd(P, P 0)de multiplicit ´ em−1.
On conclut que rest une racine simple de P/ pgcd(P, P 0).
Avertissement : La situation est plus compliqu ´ ee sur des corps finis :
pour P= (X+ 1)2dans F2[X]on trouve P0= 0 car 1 + 1 = 0.
Ici P/ pgcd(P, P 0)=1n’a pas les m ˆ emes racines que P.
§2.2 38/55
C Factorisation «squarefree »
L’astuce de passer de P` aP/ pgcd(P, P 0)peut ˆ etre perfectionn´ ee :
On peut trier les racines du polynˆ ome Ppar leur multiplicit´ e.
Algorithme 9 factorisation «squarefree »selon Yun (1976)
Entr´ ee: un polynˆ ome P∈Q[X]tel que dom P= 1.
Sortie: des polyn ˆ omes P1, P2,...,Pn∈Q[X]v´ erifiant P=P1P2
2· · · Pn n
et pgcd(P1, P 0
1) = pgcd(P2, P 0 2) = · · · = pgcd(Pn, P 0 n) = 1.
n←0;U←pgcd(P, P 0);V←P/U ;W←P0/U,
tant que deg(V)>0faire
n←n+ 1 ;W←W−V0
Pn←pgcd(V, W );V←V/Pn;W←W/Pn
fin tant que
retourner P1,...,Pn
Pour une preuve et une discussion d´ etaill´ ee voir
Gathen & Gerhard, Modern Computer Algebra,§14.6
§2.2 39/55
D´ ecomposable vs irr´ eductible
D´ efinition
Un polynˆ ome P∈K[X]est r´ eductible (ou d´ ecomposable) dans K[X]
s’il existe A, B ∈K[X]tels que P=AB o` udeg A≥1et deg B≥1.
Un polynˆ ome P∈K[X]est irr´ eductible (ou ind´ ecomposable) dans
K[X]si P=AB o` uA, B ∈K[X]implique soit A∈K×soit B∈K×.
Dans K[X]il y a donc quatre types de polynˆ omes :
L’´ el´ ement nul : P= 0 ⇔deg(P) = −∞.
Les ´ el´ ements inversibles : P∈K[X]×=K×⇔deg(P)=0.
Les ´ el´ ements irr´ eductibles, n ´ ecessairement de degr´ e≥1.
Les ´ el´ ements d´ ecomposables, n ´ ecessairement de degr´ e≥2.
!
´
Etant donn´ eP∈K[X]de degr´ e´ elev´ e, il peut ˆ etre difficile
d’effectivement d´ eterminer s’il est d ´ ecomposable ou irr´ eductible.
!
Mˆ eme si l’on sait d’avance que P∈K[X]est d´ ecomposable,
il peut ˆ etre difficile d’effectivement trouver une d´ ecomposition.
Il existe quelques crit` eres d’irr´ eductibilit´ e. Les algorithmes de
factorisation sont un domaine de recherche toujours tr` es actif.
§2.3 40/55