format pdf - Math

A
ACTIVITÉ CTIVITÉ TICE : D TICE : DÉRIVATION ÉRIVATION
Niveau :
Bac Professionnel
Type d'utilisation :
Cours en salle d'informatique muni d'un vidéo-projecteur ou d'un tableau interactif
Matériel :
1 ordinateur par binôme et/ou un poste prof avec vidéo-projecteur ou un tableau interactif.
Logiciel :
Graphmatica http://www8.pair.com/ksoft/francais/about.html
Objectifs :
Vérifier la validité d'une loi, d'une hypothèse par expérimentation interactive
En prenant comme support une fonction du second degré issue d'une situation concrète (étude
cinématique du déplacement d'un véhicule) ; l'ordinateur permet de s'affranchir de calculs
répétitifs de nombres dérivés pour trouver la relation entre l'expression de la fonction et celle
de sa fonction dérivée.

D
DÉRIVATION ÉRIVATION
VROUM...
La Peugeot 207 1.6 HDi modèle 2006 présente les caractéristiques suivantes :
(source : http://feline207.online.fr/modules/sections/index.php?op=viewarticle&artid=11 ) :
207 1.6 HDi
Prix TTC à partir de 14 550 €
Emission CO2 (g/km) 120
Puissance 90 ch
Cylindrée 1560 cc
Nombre de cylindres 4
Couple maximum N.m
(à tr/min)
215
(à 4000)
Vitesse maximale (km/h) 182
Accélération
(0 - 100 km/h) 11,5 secondes
1. Sachant que l'équation de la vitesse instantanée est v = a × t ( vitesse v en m/s ;
accélération a en m/s² ; temps t en s) et que la valeur de l’accélération de la Peugeot 207 est
a ≈ 2,4 m/s², calculer les vitesses atteintes aux temps t suivants. Arrondir les résultats à 0,1.
t en s 0 2 5 7 10 12 15 20
v en m/s
v en
km/h
2. En combien de temps la voiture atteindra t-elle sa vitesse maximale ? Arrondir le résultat au
dixième de seconde.
Rappel : d’après l’équation horaire d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré sans
vitesse initiale, on peut écrire : , a étant l’accélération.
3. Sachant que la valeur de l’accélération de la Peugeot 207 est a ≈ 2,4 m/s², écrire son
équation horaire lors d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré.
derivation.odt 2

La situation précédente peut être représentée par une fonction numérique : la branche de
parabole ci-dessous est la représentation graphique, de la fonction f définie par :
f(x) = 1,2 x2 sur l’intervalle [0 ; 22].
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
x
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
y
C
D
A
B
On se propose de déterminer les valeurs des coefficients directeurs des deux droites (AC) et
(DB), tangentes à la courbe respectivement aux points A et B.
A l’aide de la relation a =
yM– yN
xM−xN
, déterminer le coefficient directeur a1 de la droite (AC)
sachant que les coordonnées des points A et C sont les suivantes : A(10 ; 120) C(18 ; 312)
2. Déterminer le coefficient directeur a2 de la droite (DB) sachant que les coordonnées des
points D et B sont les suivantes : D(7,5 ; 0) B(15 ; 270)
3. Regrouper les résultats dans le tableau ci-dessous :
point A B
abscisse x 10 15
coefficient directeur a
derivation.odt 3

NOMBRE DÉRIVÉ
On appelle « nombre dérivé » le coefficient directeur a de la tangente au point d’abscisse
xo.
Notation : f ’ (x0) = a
0
x
0
y
x
0
f’(x
0)
a
Relation entre
Relation entre a a
et
et x x
1. Démarrer graphmatica2 et charger le fichier derive.gr
2. Cliquer sur le bouton « Dessiner une tangente »
3. Placer le curseur sur le point de coordonnées (0 ; 0). Ajuster la
valeur de l’abscisse à 0 dans le champ « Tracer tangente à x = » et
cliquer sur calculer.
4. Relever la valeur du coefficient directeur et compléter le tableau de valeurs suivant en
modifiant les valeurs de x comme précédemment :
x0 2 5 7 10 12 15 20
a24 36
5. Etablir une relation entre a et x.
6. Comparer les résultats obtenus dans le tableau précédent et celui des vitesses atteintes par
la voiture. Conclure.
derivation.odt 4

FONCTION DÉRIVÉE
Ouvrir un nouveau fichier dans graphmatica. Tracer, à l’aide du logiciel, la représentation
graphiques de la fonction g suivantes telle que g(x) = −1,5x2
(entrer dans le champ : y=-1.5*x^2 et appuyer sur "Entrée")
1. Tracer les tangentes pour les valeurs de x du tableau ci-dessous et
relever la valeur du nombre dérivé (coefficient directeur de la
tangente) correspondant :
x−1,5 −1 −0,5 0,25 1 1,5
a
2. Opérer de la même manière pour une fonction du second degré et des valeurs de x de votre
choix .
Le menu déroulant du champ
"Equation" permet de choisir la
fonction
h : h(x) = ..........................
x
a
3. conclure : si l’expression de la fonction est de la forme f(x) = k × x2 ; quelle est l’expression
du nombre dérivé ?
a = …………………………
Définition
Soient les nombres réels a et b.
La fonction qui, à tout nombre x de l'intervalle [a ; b] associe le nombre dérivé de f en x, est
appelée fonction dérivée de la fonction f. On notre cette fonction dérivée f '
derivation.odt 5