TD 6 Moment cinétique

PH1ME2-C Université Paris 7 - Denis Diderot 2012-2013
TD 6
Moment cinétique
1. Force centrale ∗
1. Définir une force centrale.
2. Donner les propriétés du moment cinétique d’une masse ponctuelle uniquement soumise
à un champ de force centrale.
3. Parmi les courbes planes ci-dessous, quelles sont celles qui ne peuvent pas être la tra-
jectoire d’une particule soumise à un champ de force centrale dont le centre serait en
O ?
2. Bobine ∗
Une bille lancée horizontalement avec une vitesse V0est attachée à un
fil qui s’enroule autour d’un poteau fixe vertical de rayon a. Le moment
cinétique de la bille est-il conservé ? (on pourra négliger la force de
gravité)
3. Chute libre ∗
Dans le champ de pesanteur terrestre, on lance une masse ponctuelle, m, représentée par le
point M, à partir d’un point O, avec une vitesse horizontale −→ V0pointant vers les x positifs. On
néglige tout frottement.

1. Exprimer le moment par rapport à Odes forces agissant sur la
masse m à chaque instant.
2. Calculer le moment cinétique de la masse m par rapport à O, à
l’instant taprès le lancement.
3. Vérifier le théorème du moment cinétique à partir des résultats
obtenus.
4. Le pendule simple ∗
Établir, en utilisant le théorème du moment cinétique, l’équation différentielle du mou-
vement plan d’une masse ponctuelle msuspendue à l’extrémité d’un fil inextensible, sans
masse, de longueur let dont l’autre extrémité est fixée en O. Résoudre cette équation dans
l’approximation des petits angles en considérant que la masse ponctuelle a été lâchée sans
vitesse initiale d’un angle θ0par rapport à la verticale.
5. Gonds ∗
1. Pourquoi la poignée d’une porte de longueur h et de largeur L est-elle le plus loin possible
de l’axe des gonds ?
2. Rappeler le lien entre pression du fluide et force exercée par ce fluide sur un élément de
surface dS.
3. Quel est le moment total de la force du vent lorsqu’il exerce une pression uniforme per-
pendiculairement à cette porte ?
6. Calculs de moments d’inertie ∗
1. Calculer le moment d’inertie I, par rapport à son axe de symétrie, d’un cylindre homogène
de masse met de rayon R.
2. Calculer le moment d’inertie Id’une tige rectiligne de section négligeable, de masse met
de longueur lpar rapport à un axe orthogonal passant par l’une de ses extrémités.
3. Calculer le moment d’inertie, par rapport à l’un de ses diamètres, d’un disque homogène
de rayon Ret de masse m.
7. Le manège ∗
Un manège, assimilé à un disque circulaire horizontal de rayon Ret de masse M, tourne
sans frottement autour de son axe de symétrie vertical ∆. Un homme de masse msupposé
ponctuel, se déplace sur ce manège le long d’un cercle de rayon r avec une vitesse angulaire −→ ω′
par rapport au manège. L’homme et le manège sont initialement immobiles.
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1. Montrer que le moment cinétique du système (homme + manège) par rapport à ∆est
conservé.
2. Donner le moment d’inertie d’un disque par rapport à son axe de rotation.
3. En déduire les vitesses angulaires du manège −→ Ωet de l’homme −→ ωpar rapport au sol en
fonction de −→ ω′,m,M,ret R.
4. Que se passe-t-il si le manège est :
i) très lourd (devant quoi ?) ?
ii) très léger ?
8. Poulie ∗∗
Une poulie homogène assimilée à un disque homogène (de masse M, de rayon Ret de
moment d’inertie Ipar rapport à son axe) peut tourner autour de son axe horizontal maintenu
fixe. Deux masses M1et M2, initialement immobiles, sont suspendues de part et d’autre de cette
poulie par un fil inextensible de masse négligeable. Le contact fil-poulie a lieu sans glissement
(il n’y a donc pas de dissipation d’énergie).
1. En utilisant le théorème du moment cinétique, déterminer
l’accélération −→ a1de la masse M1, en fonction des données du
problème.
2. Déterminer les différentes forces appliquées à la poulie et aux
deux masses.
3. Que deviennent ces résultats si :
i) M1=M2, quel que soit I
ii) M≪M1et M2?
4. Déterminer la valeur de l’accélération dans le cas où M2=
2M1lorsque :
i) Mest négligeable
ii) M=M2.
9. Plan incliné: roulement sans glissement ∗∗
Un disque homogène de masse, m, et de rayon rroule sans glisser en suivant une ligne de
plus grande pente d’un plan incliné faisant un angle αavec l’horizontale.
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1. Représenter les forces qui s’appliquent sur le disque.
2. Lier la vitesse du point O’ et la vitesse angulaire du disque.
3. Donner la vitesse du point Cdu disque, point du disque en
contact avec le plan, dans les référentiels O’x’y’ et Oxy. Que
dire des forces de frottements et de la dissipation d’énergie ?
4. Déterminer l’accélération du centre de masse du disque par
deux méthodes différentes.
Même question si l’on remplace le disque par un cerceau de même rayon et de même masse.
Lequel des deux aura la plus grande accélération sur le plan incliné précédent ?
10. Echelle ∗∗
Une échelle de longueur L= 4 m et de masse m= 20 kg, s’appuie en Asur le sol horizontal
(coefficient de frottement statique µA= 0.4) et en Bsur un mur vertical (sans frottement). Le
centre de masse Gde l’échelle est situé au tiers inférieur de sa hauteur.
1. Jusqu’à quelle inclinaison par rapport à l’horizontale, θmin, l’échelle peut-elle rester en
équilibre ?
2. Jusqu’où un homme de masse Mpeut-il monter sur l’échelle inclinée de θ= 60◦par
rapport à l’horizontale ? Pour quelles valeurs de θpeut-il atteindre le haut de l’échelle?
(A.N. : M= 80 kg)
3. Comment le résultat de la question 1) serait-il modifié si l’on tenait compte des frottements
en Bsur le mur, caractérisés par µB?
(Rép.: Si µB=µA= 0.4,θmin = 29.5◦)
11. Mouvement d’une toupie ∗∗∗
1. Rappeler la définition du moment d’inertie Id’un solide de
masse volumique ρ, par rapport à un axe ∆. Si ∆est un axe
de symétrie du solide, rappeler la relation entre le moment
cinétique −→ J/O (où Oest un point de l’axe ∆) et le vecteur
rotation angulaire −→ Ωcolinéaire à ∆. (Rép. : −→ J/O =I−→ Ω)
2. Une toupie, assimilée à un cône de révolution de moment
d’inertie I, tourne autour de son axe de symétrie ∆avec
une vitesse angulaire Ω.∆fait un angle θavec la verticale
Oz. ∆tourne avec une vitesse angulaire ωautour de l’axe z.
On suppose que le point de contact Oavec le sol reste fixe
au cours du mouvement. Donner l’expression du moment
cinétique −→ J/O de la toupie dans le cas où Ωest élevée (on
précisera devant quoi) et le dessiner. Représenter les forces appliquées à la toupie. Écrire
le théorème du moment cinétique. 4

3. Quel est le mouvement de la toupie ? Pour ce calcul, on utilisera le théorème du moment
cinétique. Quelle est la vitesse angulaire de précession ωde la toupie ?
(Rép. : ω=Mgl/IΩoù lest la distance de Oau centre de gravité G)
12. Théorème de Huygens ∗∗∗
1. Montrer que le moment d’inertie d’un objet quelconque, de
masse M, par rapport à un axe quelconque D, est donné
par : ID=IDG+Ml2où IDGest le moment d’inertie de
l’objet par rapport à l’axe DGparallèle à Dpassant par le
centre de masse Gde l’objet et lest la distance entre Det
DG.
2. On rappelle que le moment d’inertie d’un disque homogène
(rayon R, masse m) par rapport à l’un de ses diamètres est
Io=mR2/4. En déduire le moment d’inertie IDd’un cylin-
dre homogène (masse M, rayon R, hauteur h) par rapport à
un axe Dorthogonal à son axe de symétrie qu’il coupe à la
distance lde son centre de masse (lpouvant être supérieur
ou inférieur à h/2).
Rép. : I=M(l2+h2/12 + R2/4)
3. Le cylindre est fixé au bout d’une tige sans masse de longueur l−(h/2), c’est à dire que
la distance du centre de gravité à l’axe est égal à l. On écarte la tige d’un angle θpar
rapport à la verticale : écrire l’équation différentielle pour θ(t). Calculer la période T
dans l’approximation des petites oscillations. Todésignant la période d’un pendule simple
de masse Met de longueur l, calculer (T−To)/To.
AN : l= 20 cm, M= 55 g, R= 1.5cm, h= 3 cm.
Rép. : T/T0= 1 + h2/(24l2) + R2/(8l2)si Ret h≪l.
4. Question Bonus : On suppose que la masse mde la tige n’est plus négligeable. Donner
l’expression de T. Tracer l’allure du graphe de T(l).
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