DROITES I) Coefficient directeur

Droites 1/3
DROITES
I) Coefficient directeur ; ordonnée à l’origine
On considère le plan muni d’un repère
(,,)
Oij
rr
.
1) Droites non parallèles à l’axe des abscisses
Définitions : On considère une droite D non parallèle à l’axe des abscisses.
• Quels que soient les points A et B sur la droite D, le rapport
BA
BA
yy
xx
−
− est constant et est appelé le coefficient
directeur a de la droite D : →
↑
=
−
−
=horizontalt déplacemen t verticaldéplacemen
AB
AB xx yy
a.
‚ L’ordonnée à l’origine est l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.
Coefficient directeur positif Coefficient directeur négatif
Remarque : Les droites parallèles à l’axe des ordonnées ou « verticales » n’ont pas de coefficient directeur.
2) Des méthodes
Méthode 1 : Dessiner un coefficient directeur (méthode de l’escalier).
a = − 3
1
Méthode 2 : Lire le coefficient directeur d’une droite sur un graphique.
• Choisir deux points A et B sur la droite.
‚ Se déplacer de A vers B par la méthode de l’escalier.
ƒ En déduire le coefficient directeur : horizontaltdéplacemen verticaltdéplacemen .
Exemple : On se déplace de A vers B
- en se déplaçant vers la droite de 3 graduations
- puis en descendant de 2 graduations.
Le coefficient directeur de la droite (AB) est : a =
Remarque : on peut aussi lire les coordonnées de A et de B et calculer a ;
A ( ; ) B ( ; ) =
−
−
=AB
AB xx yy
a
4
2
3
− 1
y
A
B
O x
0
1
Ordonnée
à l’origine
Ordonnée
à l’origine
x
x
y y
1
1
1
0
a = 2 = 2
4
1
1

Droites 2/3
Méthode 3 : Tracer une droite dont on connaît un point et le coefficient
directeur.
• Placer le point.
‚ Dessiner le coefficient directeur en partant de ce point.
Exemple : Tracer la droite • passant par A (1 ; −2)
• de coefficient directeur a = 3
4
3) Coefficients directeurs et droites parallèles
Propriété : On considère deux droites D et z non parallèles à l’axe des ordonnées.
• Si D et z sont parallèles, alors elles ont le même coefficient directeur.
• Réciproquement : si D et z ont même coefficient directeur, alors D et z sont parallèles.
II) Equations de droites
On considère le plan muni d’un repère
(,,)
Oij
rr
.
1) Théorème
Théorème :
• Toute droite D non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y = a x + b où a et b sont deux nombres
réels. Cette équation y = a x + b est appelée équation réduite de D. Le nombre a est le coefficient directeur de D et le
nombre b est l’ordonnée à l’origine de D.
• Toute droite D’ parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme x = c où c est un nombre réel et correspond
à l’abscisse constante de tous les points de D’.
Exemples :
O
i
r
j
r
D1
y =
.
2x +3
1
.2
O
i
r
j
r
y = 3
D2
O
i
r
j
r
x
= 2
D3
D1 a pour équation y = .2x + 3.
Coefficient directeur a = .2 ;
ordonnée à l’origine b = 3.
D2 a pour équation y = 3.
Coefficient directeur a = 0.
D2 est parallèle à l’axe des abscisses.
Ordonnée à l’origine b = 3.
D3 a pour équation x = 2.
D3 n’a pas de coefficient directeur.
D3 est parallèle à l’axe des
ordonnées.
2) Des méthodes
a) Tracer une droite dont on connaît une équation
• Méthode 4 : • Placer l’ordonnée à l’origine.
‚ Dessiner le coefficient directeur.
Exemple : Tracer la droite d’équation y = x
3
1− 2.
y
O x
y
O x
1
1
1
1

Droites 3/3
• Méthode 5 : • Déterminer les coordonnées de deux points.
‚ Placer ces deux points.
Exemple 1 : Tracer la droite d’équation y = − x
2
1+ 3
Si x = 0, alors y = ......
Si x = 4, alors y = ......
On place les points A (0 ; ) et B (4 ; )
Exemple 2 : Tracer la droite d’équation 2x + 3y + 3 = 0
Si x = 0, alors y = ...... .
Si x = 3, alors y = ...... .
Remarque : on peut aussi déterminer l’équation réduite sous la forme
y = a x + b, puis utiliser la méthode 4.
2x + 3y + 3 = 0 donne y =
Conseils : • Pour avoir un tracé précis, les points doivent être suffisamment éloignés.
• Prendre des valeurs donnant des calculs simples et si possible des nombres entiers.
b) Déterminer l’équation d’une droite
• Méthode 6 : Déterminer graphiquement l’équation d’une droite.
• Lire le coefficient directeur par la méthode de l’escalier.
‚ Lire l’ordonnée à l’origine.
Exemple :
• Le coefficient directeur est a =
‚ L’ordonnée à l’origine est b =
L’équation de la droite est donc : y =
• Méthode 7 : Déterminer par le calcul l’équation d’une droite passant par deux points A et B.
L’équation est de la forme y = a x + b.
• Calculer a en écrivant
AB
AB xx yy
a−
−
=.
‚ Pour trouver b, utiliser le fait que A (ou B) est un point de la droite, c’est-à-dire que ses coordonnées vérifient
l’équation cherchée.
Exemple : Déterminer l’équation de la droite (D) passant par A (−1 ; 2) et B (3 ; −4)
On a : =
−
−
=AB
AB xx yy
a2
3
46 )1(324 −=
−
=
−−
−
−
.
L’équation de (D) est donc de la forme : y = − x
2
3 + b.
Comme A est un point de (D), on peut écrire :
2 = − 2
3 J (− 1) + b d’où 3
2
2
b
+=
, soit b =
31
2
22
−=
.
L’équation de (D) est donc : y = − 2
3x + 2
1.
y
O x
x
y
y
O x
x
y
y
O x
y
O x
1
1
1
1
1
1
1
1