Chap 1 Arithmétique - Collège Albert Sidoisne

Chap 1 Arithmétique
I. Les ensembles de nombres
•les entiers naturels : ceux sont les nombres entiers positifs, 0,1, 2, ... On les note ℕ.
•les entiers relatifs : ceux sont les nombres entiers positifs ou négatifs (-6 ; - 2 ; 3 ; ...)
On les note ℤ.
•les décimaux : ceux sont les nombres pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction
décimale (
4,5=45
10
;
−0,067=− 67
1000
;
3=30
10
par exemple). On les note ID.
•les rationnels : ceux sont les nombres pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction
(
1
3
;
−4
7
;
6=6
1
; ...). On les note ℚ.
•les irrationnels : ce sont les nombres qui ne sont pas rationnels (  ;
2
; ...).
ℕ 5 ℤ ID ℚ
0 -8
1 -3 -4,1
2
3
2
−5
7
ℝ
L'ensemble des nombres connus au collège forme l'ensemble des réels, noté ℝ.
II. PGCD de deux nombres entiers naturels
1. Division euclidienne
définition : La division euclidienne d'un entier a (le dividende) par entier b non nul (le diviseur)
est l'opération qui permet de trouver le quotient q et le reste r tels que :
a= (q×b) + r
avec
r<b

exemple :
On a alors :
•357 est le dividende
•12 est le diviseur
•29 est le quotient
•9 est le reste.
2. Multiples et diviseurs
Si le reste de la division euclidienne de a par b est égal à zéro, on dit que :
•a est un multiple de b,
•b est un diviseur de a,
•a est divisible par b.
exemple :
On peut écrire
357 = 21 ×17  0
, le reste est nul.
On peut écrire :
357 est un multiple de 17 ou 17 est un diviseur de 357 ou 357 est divisible par 17
Rappel : On appelle critère de divisibilité un moyen rapide de savoir si un nombre entier est
divisible par un nombre donné.
•Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
•Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
•Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
•Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
•Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
définition : Un nombre premier est un nombre entier qui n'admet que 2 diviseurs : 1 et lui-
même.
3. PGCD
On considère 2 nombres entiers positifs a et b.
définition : Un diviseur commun à a et à b est un nombre qui divise a et b.
exemple : Trouver les diviseurs communs de 24 et 36.
24 : 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 8 – 12 – 24
36 : 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 9 – 12 – 18 - 36 les diviseurs communs sont : 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 12.
753 71
1243-
71
71-
0
753 21
9242-
711
801-
9

définition : Parmi les diviseurs communs à a et à b, l'un d'entre eux est plus grand que les
autres. On l'appelle le Plus Grand Commun Diviseur ou PGCD de a et b. On le note PGCD (a ; b).
exemple : on en déduit que : PGCD (24 ; 36) = 12
III. Algorithmiques de calcul du PGCD
Un algorithme est une succession de manipulations sur les nombres qui s'exécutent toujours
de la même façon.
1. algorithmique des soustractions successives
propriété : a et b sont des nombres entiers positifs tel que
a b
. On a alors :
PGCD a ; b = PGCD a−b ; b
.
exemple : calculer le PGCD de 252 et 360.
360 −252 =108
252 −108 =144
144 −108 =36
108 −36 =72
72 −36 =36
36 −36 =0
A partir de la 2ème étape, on soustrait les 2 plus petits nombres.
L'algorithme s'arrête lorsque l'on obtient 0. Le PGCD est alors la
dernière différence non nulle : 36
PGCD (360 ; 252) = PGCD (252 ; 108) = PGCD (144 ; 108) = PGCD (108 ;
36) = PGCD (72 ; 36) = PGCD (36 ; 36) = 0
2. algorithmique d'Euclide
propriété (admise) : a et b sont des nombres entiers positifs tel que
a>b
. On note r le reste
de la division euclidienne de a par b. On a alors :
PGCD a ; b = PGCD b ; r
.
exemple : Calculer le PGCD de 1078 et 322.
1078 =3×322 112
322 =2×112 98
112 =1×98 14
98 =7×14 0
A partir de la 2ème étape, on divise de diviseur précédent par le reste
précédent. Le PGCD est alors le dernier reste non nul : 14.
PGCD (1078 ; 322) = PGCD (322 ; 112) = PGCD (112 ; 98) = PGCD (98 ;
14) = 14

IV. Fractions irréductibles
définition : Deux entiers naturels non nuls sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
Autrement dit, 1 est le seul diviseur commun à ces deux entiers naturels.
exemples :
45 et 91 ?
91 =2×45 1
45 =1×45 0
On a PGCD (45 ; 91) = 1 donc 45 et 91 sont
premiers entre eux.
117 et 91 ?
117 =1×91 26
91 =3×26 13
26 =2×13 0
On a PGCD (117 ; 91) = 13 donc 117 et 91 ne
sont pas premiers entre eux.
définition : Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers
entre eux.
Pour rendre une fraction irréductible, il faut la simplifier par son PGCD.
exemple : Rendre
136
782
irréductible.
782 =5×136 102
136 =1×102 34
102 =3×34 0
On a donc : PGCD (136 ; 782) = 34.
On obtient :
136
782 =34 ×4 34 ×23 =4 23