Chap 1 Arithmétique I. Les ensembles de nombres • • • • • les entiers naturels : ceux sont les nombres entiers positifs, 0,1, 2, ... On les note ℕ. les entiers relatifs : ceux sont les nombres entiers positifs ou négatifs (-6 ; - 2 ; 3 ; ...) On les note ℤ. les décimaux : ceux sont les nombres pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction 45 67 30 décimale ( 4,5= ; −0,067=− ; 3= par exemple). On les note ID. 10 1000 10 les rationnels : ceux sont les nombres pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction 1 4 6 ( ; − ; 6= ; ...). On les note ℚ. 3 7 1 les irrationnels : ce sont les nombres qui ne sont pas rationnels ( ; 2 ; ...). 5 ℕ ℤ 0 ℚ ID -8 1 -3 -4,1 2 3 − 5 7 2 ℝ L'ensemble des nombres connus au collège forme l'ensemble des réels, noté ℝ. II. PGCD de deux nombres entiers naturels 1. Division euclidienne définition : La division euclidienne d'un entier a (le dividende) par entier b non nul (le diviseur) est l'opération qui permet de trouver le quotient q et le reste r tels que : a = (q × b) + r avec r < b exemple : On a alors : • 357 est le dividende • 12 est le diviseur • 29 est le quotient • 9 est le reste. - 3 5 7 2 4 1 1 7 1 0 8 1 2 2 9 9 2. Multiples et diviseurs Si le • • • reste de la division euclidienne de a par b est égal à zéro, on dit que : a est un multiple de b, b est un diviseur de a, a est divisible par b. exemple : 357 - 34 1 7 - 1 7 0 1 7 2 1 On peut écrire 357 = 21 × 17 0 , le reste est nul. On peut écrire : 357 est un multiple de 17 ou 17 est un diviseur de 357 ou 357 est divisible par 17 Rappel : On appelle critère de divisibilité un moyen rapide de savoir si un nombre entier est divisible par un nombre donné. • • • • • Un Un Un Un Un nombre nombre nombre nombre nombre est est est est est divisible divisible divisible divisible divisible par par par par par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. 10 si son chiffre des unités est 0. 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. définition : Un nombre premier est un nombre entier qui n'admet que 2 diviseurs : 1 et luimême. 3. PGCD On considère 2 nombres entiers positifs a et b. définition : Un diviseur commun à a et à b est un nombre qui divise a et b. exemple : Trouver les diviseurs communs de 24 et 36. 24 : 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 8 – 12 – 24 36 : 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 9 – 12 – 18 - 36 les diviseurs communs sont : 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 12. définition : Parmi les diviseurs communs à a et à b, l'un d'entre eux est plus grand que les autres. On l'appelle le Plus Grand Commun Diviseur ou PGCD de a et b. On le note PGCD (a ; b). exemple : on en déduit que : PGCD (24 ; 36) = 12 III. Algorithmiques de calcul du PGCD Un algorithme est une succession de manipulations sur les nombres qui s'exécutent toujours de la même façon. 1. algorithmique des soustractions successives propriété : a et b sont des nombres entiers positifs tel que a b . On a alors : PGCD a ; b = PGCD a−b ; b . exemple : calculer le PGCD de 252 et 360. 360 − 252 = 108 252 − 108 = 144 144 − 108 = 36 108 − 36 = 72 72 − 36 = 36 36 − 36 = 0 A partir de la 2ème étape, on soustrait les 2 plus petits nombres. L'algorithme s'arrête lorsque l'on obtient 0. Le PGCD est alors la dernière différence non nulle : 36 PGCD (360 ; 252) = PGCD (252 ; 108) = PGCD (144 ; 108) = PGCD (108 ; 36) = PGCD (72 ; 36) = PGCD (36 ; 36) = 0 2. algorithmique d'Euclide propriété (admise) : a et b sont des nombres entiers positifs tel que a > b . On note r le reste de la division euclidienne de a par b. On a alors : PGCD a ; b = PGCD b ; r . exemple : Calculer le PGCD de 1078 et 322. 1078 = 3 × 322 112 322 = 2 × 112 98 112 = 1 × 98 14 98 = 7 × 14 0 A partir de la 2ème étape, on divise de diviseur précédent par le reste précédent. Le PGCD est alors le dernier reste non nul : 14. PGCD (1078 ; 322) = PGCD (322 ; 112) = PGCD (112 ; 98) = PGCD (98 ; 14) = 14 IV. Fractions irréductibles définition : Deux entiers naturels non nuls sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1. Autrement dit, 1 est le seul diviseur commun à ces deux entiers naturels. exemples : 45 et 91 ? 117 et 91 ? 91 = 2 × 45 1 45 = 1 × 45 0 117 = 1 × 91 26 91 = 3 × 26 13 26 = 2 × 13 0 On a PGCD (45 ; 91) = 1 donc 45 et 91 sont premiers entre eux. On a PGCD (117 ; 91) = 13 donc 117 et 91 ne sont pas premiers entre eux. définition : Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Pour rendre une fraction irréductible, il faut la simplifier par son PGCD. exemple : Rendre 136 irréductible. 782 782 = 5 × 136 102 136 = 1 × 102 34 102 = 3 × 34 0 On a donc : PGCD (136 ; 782) = 34. On obtient : 136 34 × 4 4 = = 782 34 × 23 23