Démonstration de l`algorithme d`Euclide : Soient a et b deux entiers

Démonstration de l’algorithme d’Euclide :
Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
Division euclidienne de a par b : a = b q1 + r1, avec 0 ≤ r1 < b.
→ si r1 = 0 : alors b divise a et PGCD (a ; b) = b.
→ si r1 ≠ 0 : d’après le théorème fondamental (3°), PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r1).
b = r1 q2 + r2 , avec 0 ≤ r2 < r1.
→ si r2 = 0 : alors r1 divise b et PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r1) = r1 .
→ si r2 ≠ 0 : , PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r1) = PGCD (r1 ; r2).
r1 = r2 q3 + r3 , avec 0 ≤ r3 < r2 …
On construit ainsi une suite (rk) d’entiers naturels tels que : b > r1 > r2 > … > rn-1 > rn ≥ 0.
Cette suite est strictement décroissante, et son nombre de termes non nuls est fini.
Notons n le plus petit entier tel que rn = 0. rn – 1 est donc le dernier reste non nul.
PGCD (a ; b) = PGCD (rn – 2 ; rn – 1 ) = PGCD (rn – 1 ; rn ) = PGCD (rn – 1 ; 0) = rn – 1 CQFD
5°) Calculer le PGCD de deux nombres littéraux
Exemple : n étant un entier naturel supérieur à 5, il s’agit de déterminer le pgcd ( 2n + 1 ; n – 5 ) . Pour cela :
- Démontrer que PGCD ( 2n + 1 ; n – 5 ) = PGCD ( n – 5 ; 11) .
- En remarquant que le PGCD ( n – 5 ; 11 ) est forcément un diviseur de 11, déterminer les valeurs de ce
PGCD suivant les valeurs de n.
6°) Nombres premiers entre eux
Définition : On dit que deux entiers p et q sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1,
c’est à dire lorsque leur seul diviseur commun est 1.
Par exemple, 6 et 25 sont premiers entre eux.
Attention ! Ne pas confondre deux nombres premiers entre eux avec des nombres premiers.
Rappel : un entier naturel n est premier lorsqu’il a exactement deux diviseurs naturels distincts : 1 et
lui-même..
SAVOIR-FAIRE : DEMONTRER QUE DEUX ENTIERS SONT PREMIERS ENTRE EUX.
Exemple: n étant un entier naturel quelconque, démontrer que les nombres ( 5 n + 2 ) et ( 7 n + 3 ) sont
premiers entre eux (considérer un nombre d diviseur naturel commun à ces deux nombres et montrer que
d = 1 forcément) .
V – Propriétés du PGCD
a) Propriété des diviseurs du PGCD
Les diviseurs communs à deux entiers naturels non nuls sont les diviseurs de leur PGCD.
Preuve : Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Dans la démonstration du théorème fondamental,
on a vu que : si a = bq + r, alors les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs communs à b et r,
soit : D ( a ; b ) = D ( b ; r ).
Soient r1 , r2 , r3 , … , rn les restes successifs de l’algorithme d’Euclide de a et b, avec r n – 1 ≠ 0 et
r n = 0 .
On sait que le PGCD ( a ; b ) est le dernier reste non nul ce cet algorithme, donc : rn – 1 = PGCD (a ; b).
On a alors : D(a ; b) = D(b ; r1 ) = D ( r1 ; r2 ) = … = D( rn – 1 ; r n ) = D( r n – 1 ; 0 ) = D( r n – 1 ) .
CQFD

b) Propriété multiplicative
Si a et b sont des entiers naturels non nuls, alors pour tout entier naturel non nul k :
PGCD ( k a ; k b ) = k × PGCD ( a ; b ).
Preuve : Soient r1 , r2 , r3 , …, rn – 1 , rn les restes successifs de l’algorithme d’Euclide de a et b, avec
rn – 1 ≠ 0 et r n = 0 .
On sait que le pgcd ( a ; b ) est le dernier reste non nul de cet algorithme, donc : rn – 1 = PGCD (a ; b) .
Remarquons d’abord que si a = bq + r, avec 0 ≤ r < b, alors on aura ka = kbq + kr, avec 0 ≤ kr < kb
(car k > 0 ), donc kr sera le reste de la division euclidienne de ka par kb.
Envisageons alors l’algorithme d’Euclide de ka par kb :
D’après la remarque ci-dessus, les restes successifs de cet algorithme seront kr1 , kr2 , kr3 , …, krn – 1 ,
k rn. Or krn = k × 0 = 0 . Donc krn – 1 sera le dernier reste non nul de cet algorithme, donc ce sera le
PGCD de ka et kb.
Autrement dit : PGCD ( ka ; kb ) = k rn – 1 = k × PGCD ( a ; b ) . CQFD
Exemple: n et p étant des entiers naturels non nuls, démontrer que le PCGD de pn et
p(n+1) est égal à p .