Modélisation, Identification Expérimentale et Commande d`un

Ecole Nationale des Arts et Métiers
_____________
Master Recherche
Energie Electrique et Développement Durable
_________________
Modélisation, Identification Expérimentale et
Commande d'un Moteur Linéaire Synchrone à
Aimants Permanents
_________________
Détermination des inductances
_________________
Synthèse Bibliographique
_________________
Julien GOMAND
Le 26 janvier 2005
Année Universitaire 2004 - 2005
Responsables :
M. P.J. BARRE, Maître de conférences, L2EP, Equipe de Recherche Technologique CEMODYNE
M. F. PIRIOU,
Professeur des universités, L2EP, Equipe de Recherche Technologique MECOSYEL
M. M. TOUNZI, Maître de conférences, L2EP, Equipe de Recherche Technologique MECOSYEL
Sommaire
Introduction générale...................................................................................................... 3
I
Modélisation analytique........................................................................................... 4
I.1
Modèle de la matrice inductance .......................................................................................... 4
I.2
Réseau de réluctances ............................................................................................................ 5
II Calcul de la matrice inductance par la méthode des éléments finis.................... 7
III
Identification expérimentale de la matrice inductance ..................................... 9
III.1
Introduction............................................................................................................................ 9
III.2
Méthodes classiques ............................................................................................................... 9
III.2.1
Analyse harmonique ...................................................................................................... 10
III.2.1.1
Mesure de la fréquence de résonance en oscillation forcée................................... 10
III.2.1.2
Mesure de la fréquence de résonance en oscillation libre...................................... 10
III.2.2
Analyse temporelle ........................................................................................................ 10
III.2.2.1
Essai en sinusoïdal ................................................................................................. 10
III.2.2.2
Essai indiciel .......................................................................................................... 11
III.2.3
Limites des méthodes classiques ................................................................................... 11
III.2.3.1
Problème du mouvement résiduel de la partie mobile........................................... 11
III.2.3.2
Problème de la saturation du circuit magnétique :................................................. 13
III.3
Exploitation des signaux M.L.I........................................................................................... 15
III.4
Injection d'un signal haute fréquence ................................................................................ 16
Conclusion...................................................................................................................... 17
Bibliographie.................................................................................................................. 18
Introduction générale
Le contexte général de cette étude est le moteur linéaire pour des systèmes de
positionnement linéaire de précision à dynamique élevée, utilisé dans des applications telles que la
mise en place de composants électroniques sur circuits imprimés ("pick & place") [Cassat 2003].
L'augmentation des rendements de production implique de réduire au maximum les temps
de cycles, sans que ce soit au détriment de la précision du positionnement. Etant donné que les
accélérations mises en jeu sont très élevées pour de faibles distances de déplacement, les machines
d'entraînement des axes fonctionnent la plupart du temps en régime transitoire. Pour diminuer l'erreur
de poursuite, il est nécessaire d'augmenter la dynamique de chaque axe et donc d'employer des
actionneurs très performants permettant de limiter au maximum les masses embarquées : les
actionneurs linéaires à entraînement direct.
Cependant, l'optimisation des performances de ce type d'actionneurs présente certaines
difficultés relatives aux caractéristiques dimensionnelles des moteurs linéaires comme l’asymétrie, la
longueur finie du primaire ou encore les effets d’encoches. Ces particularités sont à l'origine
d’ondulations parasites de la force de poussée dont il serait souhaitable de s'affranchir par la
commande. Pour cela, il est indispensable de modéliser le plus finement possible les différents
phénomènes mis en cause. Une grande partie de cette démarche de modélisation a déjà été menée par
les membres de l'équipe Commande et Entraînement des Machines-Outils à DYNamique Elevée
(CEMODYNE) du Laboratoire d'Electrotechnique et d'Electronique de Puissance (L2EP) de Lille
[Askour 2002], [Zeng 2002], [Remy 2003], [Remy 2004].
L'équation de la force de poussée fait intervenir les inductances de la machine
[Madani 1995]. Celles-ci sont susceptibles de varier en fonction de l'état magnétique des tôles qui
constituent le primaire de l'actionneur, et donc en fonction de la position occupée par ce dernier vis-àvis des aimants. Par conséquent, nous nous proposons ici de poursuivre la démarche de modélisation
en s'intéressant aux variations des inductances de la machine en fonction de la position et du courant.
Nous commencerons par établir un lien entre un modèle analytique avec harmoniques de la
matrice inductance et la géométrie de l'actionneur. Afin d'obtenir une expression analytique des
inductances, nous introduirons le modèle par réseau de réluctances. Nous poursuivrons par le calcul
des composantes de la matrice inductance à l'aide d'un calcul par éléments finis avant de nous
intéresser aux différentes méthodes expérimentales à mettre en oeuvre pour l'identification des
paramètres du modèle.
Notons que nous travaillons sur un actionneur linéaire synchrone à aimants permanents à
pôles lisses (LMD10-050 d'Etel) et qu'il n'est pas courant de s'intéresser aux variations d'inductances
pour une telle machine. C'est pour cette raison que la bibliographie qui sera utilisée pour les méthodes
expérimentales correspondra plutôt à des machines pour lesquelles la saillance est un effet important.
3
Avant de chercher à l'identifier, commençons par poser le modèle de la matrice inductance.
I
Modélisation analytique
I.1
Modèle de la matrice inductance
L'expression générale de la matrice inductance découle de l'étude de la géométrie de la
machine étudiée. A titre d'exemple, nous pouvons trouver dans la littérature [Madani 1995] :
⎛ L d (θ ) ⎞ ⎛ L d 0 ⎞ ⎛ Ld 6 ⎞
⎛ Ld 12 ⎞
+⎜
⋅ cos ( 6 ⋅ θ ) + ⎜
⎜
⎟=⎜
⎟
⎟
⎟ ⋅ cos (12 ⋅ θ )
⎝ L q12 ⎠
⎝ Lq (θ ) ⎠ ⎝ L q 0 ⎠ ⎝ L q 6 ⎠
Pour une machine tournante à pôles saillants, il est possible de tracer l'allure de la
= 1 (vue du stator) pour un angle électrique θe
perméance d'entrefer par unité de surface p =
ds
⋅ ds
donné, sur une période électrique [Seguier 1994] :
Figure I-1 : Perméance d'entrefer par unité de surface d'une machine à pôles saillants "développée"
Sa décomposition en séries de Fourier est donc de la forme :
∞
p = p 0 + ∑ p 2 k ⋅ cos ( 2k ⋅ θ )
k =1
L'induction magnétique crée par chaque enroulement est déduite des expressions des forces
magnétomotrices ε de chacun des trois enroulements et de la perméance d'entrefer par unité de surface.
Les flux dans chaque phase s'obtiennent par intégration de l'induction magnétique sur la surface
d'entrefer :
[φ ] = ∫ [ B ] ⋅ ds
se
Ce qui permet de remonter aux inductances en divisant le flux par le courant :
⎡ Laa 0
[ L] = ⎢⎢ M ba0
⎢⎣ M ca0
M ab0
Lbb0
M cb0
⎡
Laa 2 k ⋅ cos ( 2k ⋅ θ )
⎢
M ac0 ⎤ ∞ ⎢
M bc0 ⎥⎥ + ∑ ⎢ M ba 2 k ⋅ cos ⎛⎜ 2k ⋅ θ + 2π
⎢
3
⎝
k =1
Lcc0 ⎥⎦
⎢
⎢ M ca 2 k ⋅ cos ⎛⎜ 2k ⋅ θ − 2π
3
⎝
⎣⎢
(
(
)
)
(
(
M ab2 k ⋅ cos ⎛⎜ 2k ⋅ θ + 2π
3
⎝
⎞ L ⋅ cos ⎛ 2k ⋅ θ − 2π
bb2 k
⎟
⎜
3
⎠
⎝
⎞
M cb2 k ⋅ cos ( 2k ⋅ θ )
⎟
⎠
) ⎞⎟⎠
) ⎞⎟⎠
(
)
(
)
⎤
M ac2 k ⋅ cos ⎛⎜ 2k ⋅ θ − 2π ⎞⎟ ⎥
3
⎝
⎠
⎥
⎥
M bc2 k ⋅ cos ( 2k ⋅θ )
⎥
⎥
Lcc2 k ⋅ cos ⎜⎛ 2k ⋅ θ + 2π ⎟⎞ ⎥
3 ⎠ ⎦⎥
⎝
Une fois la forme générale du modèle posée en décomposition en séries de Fourier, les
différentes méthodes de calcul et d'identification serviront à renseigner ce modèle. Il s'agira d'attribuer
des valeurs aux différents coefficients du modèle.
4
Voyons maintenant comment calculer analytiquement les inductances propres et les
mutuelles inductances de la machine.
I.2
Réseau de réluctances
L'intérêt de cette méthode est qu'elle permet d'obtenir une expression analytique des
composantes de la matrice inductance à partir des dimensions géométriques de la machine.
Son principe est de partir de la structure de la machine et d'en réaliser le schéma équivalent
électrique équivalent en réseau de réluctance [Polinder 2003] :
Figure I-2 : Structure et réseau de réluctances d'un actionneur linéaire à aimants permanents
Chaque réluctance est fonction des dimensions géométriques de la partie de circuit
magnétique qu'elle représente. Chaque branche comporte deux sources magnétomotrices : la première
correspond à un enroulement traversé par un courant, la seconde correspond à tout ou partie d'un
aimant, en fonction de la position occupée par le primaire.
En faisant l'hypothèse que les effets d'extrémité sont négligeables [Polinder 2003], la
simplification du schéma ainsi obtenu est possible en utilisant les règles employées pour les schémas
électriques :
Nous
obtenons
un
schéma
équivalent constitué de trois branches, chacune
correspondant à une phase de l'actionneur.
En faisant l'hypothèse de linéarité
du circuit magnétique, le calcul de chaque
réluctance pour une position donnée est
simplifié. Dans le cas contraire, le calcul des
réluctances des dents saturées devient délicat et
nécessite un algorithme itératif. En effet, la
réluctance dépend de la perméabilité du
matériau, elle même fonction du champ
magnétique, ce dernier se calculant à partir de
la réluctance.
Figure I-3 : Réseau de réluctances simplifié
5
φa = Laa ⋅ I a + M ab ⋅ I b + M ac ⋅ I c + φma
Pour le calcul de l'inductance Lkk de la phase k, nous devons "éteindre" toutes les sources
de force magnétomotrice, sauf celle associée au courant Ik de cette phase de manière à obtenir φ kk . Il
suffit alors de calculer le flux φ kk dans la branche correspondante en appliquant la loi d'Hopkinson :
È ⋅ φ kk = N t ⋅ I k
L'inductance se déduit de l'expression :
φ kk = Lkk ⋅ I k
Le principe est le même pour une mutuelle inductance entre deux phases : le courant de
l'une des deux phases prend la valeur Ik, alors que le flux calculé est celui de la deuxième.
Si la méthode de modélisation par réseau de réluctance peut vite être fastidieuse, elle
permet d'obtenir une expression analytique des inductances à partir des grandeurs géométriques de
l'actionneur et permettra de vérifier analytiquement les résultats expérimentaux ainsi que ceux issus
des calculs par éléments finis pour quelques positions du primaire.
Notons que la représentation de l'entrefer dans la modélisation par réseau de réluctances est
un point délicat. Il est alors intéressant de disposer d'une cartographie des lignes de champ dans
l'entrefer, issue d'un calcul par éléments finis, afin d'adapter la représentation de l'entrefer au
comportement des lignes de champs observées [Remy 2004].
6
Le calcul par éléments finis permet d'obtenir plus facilement les résultats numériques, mais
ne donne pas d'expression analytique simple des éléments de la matrice inductance. Il est donc
complémentaire à la modélisation par réseau de réluctances.
II Calcul de la matrice inductance par la méthode des éléments finis
Le principe est de diviser la structure de la machine en un nombre important d'éléments de
dimensions finies et de résoudre les équations de Maxwell pour chacun d'eux. Les conditions aux
limites de chaque élément sont fixées par les éléments voisins. La combinaison de tous ces éléments
de calcul permet alors de connaître l'état magnétique de la structure complète et donc d'effectuer des
calculs de flux, de force, d'inductance...
Une fois le maillage de la structure effectué, le calcul de la matrice inductance pour chaque
position s'effectue en deux étapes [Remy 2004] :
- tout d'abord, il faut établir l'état magnétique de la structure en la seule présence des
aimants ; ce calcul s'effectue en linéaire.
- ensuite, il est nécessaire de reprendre tous les calculs, toujours pour la même position
du primaire, en imposant cette fois-ci un courant dans l'enroulement de la phase étudiée ; pour cette
deuxième phase, l'état magnétique de la structure calculé lors de l'étape précédente est pris comme
condition initiale.
Le code de calcul que nous utiliserons pour la résolution des équations électriques et
magnétiques a été développé par l'équipe Modélisation, étude et conception des systèmes
électromagnétiques (MECOSYEL) du L2EP
Figure II-1 : Maillage de la structure de l'actionneur linéaire LMD10-050 - Etel
Les résultats obtenus par l'auteur [Remy 2004] concernent la partie linéaire du
fonctionnement (sans saturation magnétique), les calculs ayant été effectués avec un courant de 1
Ampère par phase et sans les aimants :
2.00E-05
0.021965
1.50E-05
M12
M21
M13
M31
M23
M32
1.00E-05
0.021963
L11
L22
L33
0.021960
0.021958
5.00E-06
0.00E+00
-5.00E-06
-1.00E-05
-1.50E-05
0.021955
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
-2.00E-05
Figure II-2 : Evolution des inductances (H) en fonction de la position (mm) pour le LMD10-050 - Etel
Ces premiers résultats permettent de constater que, sans tenir compte d'éventuelles
saturations, les trois inductances propres sont identiques à 0.1 % près et qu'elles ne varient pas en
fonction de la position. Cela correspond bien à une machine à pôles lisses. Leur valeur avoisine les 22
7
mH. En raison de la disposition particulière des enroulements, les mutuelles inductances sont très
faibles, de l'ordre de la dizaine de µH.
Ces résultats sont importants dans la mesure où ils donnent un ordre de grandeur des
inductances à mesurer. Cela nous permettra par la suite de choisir les méthodes d'identification
expérimentale adaptées à ces valeurs.
Les calculs des inductances en prenant en compte la saturation magnétique du matériau
ferromagnétique restent à effectuer. Pour cela, le code de calcul nécessite la caractéristique
magnétique H=f(B) des tôles employées. Cette équation est obtenue par identification de la fonction de
B ετ + cB 2α
Marroco H =
avec la courbe B(H) du matériau. Les coefficients ε, τ, c et α sont appelés
µ 0 τ + B 2α
les coefficients de Marroco.
La limitation principale du calcul par éléments finis est liée au pas de discrétisation spatial
engendré par le maillage de la structure : la distance minimale entre deux positions discrètes pour le
calcul des inductances correspond à la largeur d'un élément. En effet, rappelons que nous voulons une
modélisation de la matrice inductance en fonction de la position et comprenant les harmoniques. Le
temps de calcul, lié au nombre d'éléments, augmente beaucoup plus rapidement que la précision
obtenue. Nous limiterons donc le calcul à un temps raisonnable.
8
Une fois le modèle analytique de la matrice inductance posé, l'identification expérimentale
de ses paramètres s'impose.
III Identification expérimentale de la matrice inductance
III.1 Introduction
Pour les machines à aimants permanents à pôles lisses, nous considérons classiquement que
les phénomènes de réluctance variable du rotor sont inexistants. Cette habitude se justifie parfaitement
si l'hypothèse de non saturation des circuits magnétiques est adoptée. Dans le cadre de notre étude,
nous souhaitons observer plus finement les éventuels phénomènes de saturation des tôles
ferromagnétiques au niveau des dents de la partie primaire de l'actionneur. Par conséquent, nous
sommes amenés à étudier des phénomènes de variation de réluctance, et donc d'inductance, sur une
machine à pôles lisses. Cette démarche n'étant pas habituelle, les références bibliographiques de ce
chapitre ne correspondent pas au type de l'actionneur étudié, mais à des machines, souvent tournantes,
pour lesquelles les phénomènes de réluctance variable sont importants, voire prépondérants. En effet,
dans la littérature, il existe de nombreux articles qui présentent des méthodes de positionnement des
aimants pour l'I.P.P. (Initial Pole Position) [Remy 2003], ou encore des méthodes de contrôle de
position sans capteur pour machines à réluctance variable [Huovila 1995], basées sur la mesure des
variations d'inductance des enroulements liées à la saillance de la partie mobile (rotor).
Pour identifier la matrice inductance en fonction de la position et du courant appliqué, la
solution la plus immédiate consiste à effectuer des mesures à des positions discrètes, pour différentes
valeurs de courant : il s'agit des méthodes classiques.
III.2 Méthodes classiques
[Se-Yuen 2002] présente six méthodes classiques pour la mesure d'inductance. Nous les
classons ici en deux groupes principaux : l'analyse harmonique et l'analyse temporelle.
Nous cherchons à identifier les inductances d'une machine en fonction de la position à
partir des grandeurs électriques mesurables : le courant et la tension. L'évolution de ces grandeurs est
régie par l'équation différentielle suivante :
(
)
d
d
⎡⎣u ( t ) ⎤⎦ = [ r ] ⋅ ⎡⎣i ( t ) ⎤⎦ +
⎡⎣ L ( x, i ) ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣i ( t ) ⎤⎦ + ⎡⎣φm ( x ) ⎤⎦
dt
dt
Que nous pouvons écrire en faisant apparaître la vitesse v :
d
d
∂
d
⎛∂
⎞
⎡⎣u ( t ) ⎤⎦ = [ r ] ⋅ ⎡⎣i ( t ) ⎤⎦ + ⎡⎣ L ( x, i )⎤⎦ ⋅ ⎡⎣i ( t ) ⎤⎦ + ⎜ ⎡⎣ L ( x, i )⎤⎦ ⋅ ⎡⎣i ( t )⎤⎦ + ⎡⎣ L ( x, i )⎤⎦ ⋅ v ⎟ ⋅ ⎡⎣i ( t )⎤⎦ + v ⋅ ⎡⎣φm ( x )⎤⎦
dt
dt
∂x
dx
⎝ ∂i
⎠
La simplification de cette expression repose sur une idée très simple [Stumberger 2000] :
travailler à primaire bloqué, de manière à éliminer tous les termes faisant intervenir la vitesse. Ainsi,
nous ne travaillons que sur l'équation différentielle reliant le courant à la tension :
∂
⎛
⎞ d
⎡⎣u ( t ) ⎤⎦ = [ r ] ⋅ ⎡⎣i ( t ) ⎤⎦ + ⎜ ⎡⎣ L ( x, i ) ⎤⎦ + ⎡⎣ L ( x, i ) ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣i ( t )⎤⎦ ⎟ ⋅ ⎡⎣i ( t )⎤⎦
∂i
⎝
⎠ dt
Toutes ces méthodes sont donc à utiliser à partie mobile mécaniquement bloquée.
9
III.2.1
Analyse harmonique
III.2.1.1 Mesure de la fréquence de résonance en oscillation forcée
Cette méthode nécessite l'utilisation d'un condensateur de capacité connue, en série avec
l'enroulement à identifier, pour la réalisation d'un circuit oscillant. Une résistance de faible valeur est
également placée en série avec le circuit afin de limiter le courant à la fréquence de résonance.
Le dispositif expérimental est décrit par la figure suivante [Se-Yuen 2002] :
Figure III-1 : Mesure de la fréquence de résonance par oscillation forcée et par oscillation libre
A la résonance, nous avons la relation ω =
1
qui permet, connaissant C, d'en déduire
L ⋅C
la valeur de l'inductance.
Notons que, pour cette méthode, la précision de la connaissance de la capacité du
condensateur influence la précision du résultat.
Pour une alimentation allant jusqu'à 100 kHz et un condensateur plastique de 10 µF, la plus
petite inductance mesurable avec cette méthode est de 10 µH. Les inductances de la machine étudiée
sont de l'ordre de 10 mH. Cette méthode est donc applicable dans notre cas.
III.2.1.2 Mesure de la fréquence de résonance en oscillation libre
Lorsque l'inductance à mesurer est inférieure à 10 µH [Se-Yuen 2002], l'erreur introduite
par les inductances parasites des connexions devient trop importante. En soudant le condensateur
directement aux bornes du dipôle à identifier, cette méthode permet de s'affranchir de ce problème.
L'excitation du dipôle ainsi constitué se fait par impulsions de tension, selon le montage cidessus. Le principe de mesure de l'inductance est le même que pour la méthode précédente, appliqué
aux oscillations libres.
Cette méthode pourrait être appliquée pour l'identification des mutuelles inductances à
condition d'avoir accès au neutre de la machine.
Nous disposons également de méthodes d'identification d'inductances basées sur
l'observation de signaux dans le domaine temporel.
III.2.2
Analyse temporelle
III.2.2.1 Essai en sinusoïdal
Tout d'abord, nous pouvons simplement déduire la valeur de l'inductance à partir du calcul
de l'impédance : Z =
U eff
I eff
= rL 2 + ( L ⋅ ω )
2
10
D'autres méthodes, sans intérêt particulier pour notre objectif, sont basées sur l'analyse du
courant et des tensions d'un circuit (R, L) série [Se-Yuen 2002], en prenant R et ω tels que
R >> L.ω >> rL; elles ne seront pas développées ici.
III.2.2.2 Essai indiciel
Pour une bonne précision, cette méthode n'est applicable [Se-Yuen 2002] que pour des
valeurs d'inductances supérieures à 10 µH. Elle consiste en l'observation de l'évolution temporelle du
courant dans le bobinage à identifié, soumis à un échelon de tension. Une réalisation possible de l'essai
utilisant une résistance pour visualiser le courant de décharge de l'inductance est présentée ci-dessous :
Figure III-2 : Dispositif expérimental et réponse indicielle associée
Après avoir mesuré la résistance totale de la boucle de décharge (r + R0), la valeur de
l'inductance est déduite de l'identification de l'évolution de la tension VR0 aux bornes de la résistance
de mesure R0 avec la résolution de l'équation différentielle. Ainsi, l'auteur propose :
L = r + R0 ⋅ T1/ 2
ln ( 2 )
Plus classiquement, nous pouvons nous limiter à la constante de temps τ = L = T63% .
r + R0
Au premier abord, ces méthodes semblent fiables et simples à appliquer. Cependant, nous
n'avons traité ni le problème du blocage du primaire de l'actionneur, ni le problème à l'origine de notre
étude : la saturation du matériau ferromagnétique.
III.2.3
Limites des méthodes classiques
Nous avons vu, au début de la présentation des méthodes classiques, qu'il est nécessaire
d'immobiliser mécaniquement la partie mobile de l'actionneur pour éliminer les termes liés au
mouvement dans l'équation électrique. Cette simplification n'est véritablement possible que si le
blocage est suffisamment efficace pour limiter les mouvements résiduels de la partie mobile de
manière à ce que les termes susmentionnés soient négligeables devant les autres grandeurs mises en
jeu.
III.2.3.1 Problème du mouvement résiduel de la partie mobile
Afin de montrer l'influence de ces mouvements résiduels sur les résultats, intéressons-nous
au procédé expérimental utilisé pour l'identification de la matrice inductance d'une machine linéaire à
entraînement direct à pôles lisses [Askour 2002].
11
La méthode employée par l'auteur consiste en la réalisation d'une série d'essais en
sinusoïdal pour différentes valeurs de courant efficace et pour différentes positions. Ce dernier spécifie
qu'il vérifie constamment le caractère sinusoïdal du courant, ce qui signifie qu'il ne s'occupe pas des
éventuels problèmes de saturation : il reste dans le domaine linéaire du matériau ferromagnétique.
Dans ces conditions il n'y a aucune raison pour que les inductances de la machine varient en fonction
de la position.
L'actionneur sujet de l'étude est également couplé en étoile, sans neutre accessible, ce qui
justifie le dispositif expérimental suivant :
Avec :
ri et rj, les résistances des deux
enroulements sous test, avec l'hypothèse
ri = rj = r.
dφi dφ j
et
, les forces électromotrices
dt
dt
dφ
de la loi de Faraday u = r ⋅ i +
dt
Figure III-3 : Mesure de l’inductance cyclique sur le
moteur linéaire Krauss-Maffei entre deux phases
Pour remonter à l'expression de l'inductance cyclique d'un enroulement, l'auteur utilise les
équations suivantes :
⎧φ i = L.i − M .i + φ mi
⎨
⎩φ j = − L.i + M .i + φ mj
et si dx =0, avec un blocage efficace, nous
dt
dφm dx dφm
= ⋅
= 0 , d'où :
avons
dt
dt dx
U = 2. r . i + 2.( L − M ) . di
dt
d'où en complexe :
U = 2.[ r + j .( L − M ).ω ] . I
avec
φi : flux total dans la phase i ;
φ j : flux total dans la phase j ;
L : inductance propre par phase ;
M : mutuelle inductance entre phases ;
φ mi : flux des aimants traversant la phase i ;
φ mj : flux des aimants traversant la phase j ;
Ce qui permet d'obtenir l'inductance cyclique
d'un enroulement (L-M) :
L=
L'équation électrique du circuit s'écrit :
dφ dφ j
U = 2. r . i + i −
dt
dt
⎛⎛ U ⎞2
⎞
−r2 ⎟
⎜⎜ ⎜
⎟
⎟
2I ⎠
⎝⎝
⎠
ω
Il fait donc implicitement l'hypothèse que la matrice inductance de la machine est
symétrique : LA = LB = LC = L et M AB = M AC = M BC = M .
Nous devrions donc avoir trois inductances cycliques identiques et constantes (machine à
pôles lisses en condition de non-saturation). Or voici les résultats obtenus par l'auteur :
12
LcycBC
Inductance cyclique (mH)
LcycAC
9,8
9,6
LcycAB
9,4
9,2
τP
9
8,8
8,6
8,4
8,2
Positions x (cm)
8
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
Figure III-4 : Variations des inductances cycliques en fonction de la position du primaire
Nous pouvons noter deux problèmes majeurs :
- les inductances cycliques sont différentes.
- elles varient en fonction de la position.
Nous pouvons donner une explication plausible au second problème : l'auteur ne mentionne
nulle part les précautions à prendre pour le blocage de l'actionneur. Il est par conséquent probable qu'il
ne s'en soit pas réellement préoccupé. En effet, le calcul de l'inductance cyclique repose sur
l'hypothèse d'absence de mouvement. Si celle-ci n'est pas vérifiée, les termes dérivant du flux des
aimants sont à prendre en compte :
dφ ⎞
⎛ dφ
U = 2. r . i + 2.( L − M ) . di + dx ⋅ ⎜ mi − mj ⎟
dt dt ⎝ dx
dx ⎠
Pour cela, il est possible de les reconstituer en fonction de la position du primaire, et cela
grâce à une identification préalable [Remy 2004] : il s'agit de relever les forces électromotrices à vide
en fonction de la position, de les normer par la vitesse, d'en effectuer la décomposition en série de
Fourier et enfin de recaler le modèle ainsi obtenu sur la machine réelle. Notons que ce n'est qu'un
moyen de s'affranchir des variations de flux liées au mouvement résiduel du primaire, mais que cela ne
dispense pas de le caler pour obtenir les inductances pour différentes positions discrètes.
III.2.3.2 Problème de la saturation du circuit magnétique :
Afin de découpler ce problème du précédent, nous faisons l'hypothèse que le primaire de
l'actionneur est parfaitement bloqué : dx =0.
dt
Tout d'abord, l'apparition de saturations rend inutilisable la méthode d'analyse en
sinusoïdal, puisque par définition les courants ne sont plus sinusoïdaux.
En ce qui concerne la réponse indicielle, elle n'est plus directement exploitable non plus car
la saturation implique une distorsion complète de la réponse du courant. Celui-ci commence par croître
en conditions linéaires, ce qui donne un début d'exponentielle croissante de constante de temps τ = L .
r
Lorsque le champ d'induction magnétique B du matériau atteint le coude de saturation, la perméabilité
relative de ce dernier chute brutalement, entraînant une augmentation de la réluctance, donc une
diminution de l'inductance et par là même, une diminution de la constante de temps du circuit. Le
courant id ainsi obtenu pour l'identification de l'axe d d'une machine synchrone réluctante (à courant iq
constant), modélisée dans le repère de Park, a l'allure suivante [Stumberger 2000] :
13
Figure III-5 : Réponse indicielle d'un dipôle inductif en présence d'une saturation magnétique
L'évolution du courant id est régie par l'équation :
did ( t )
dφd ( t )
= r . id ( t ) +
ud ( t ) = r . id ( t ) + Ld .
dt
dt
Il est donc possible d'obtenir l'expression du flux ψ d par intégration :
t
φd ( t ) = ∫ ( ud (τ ) − r . id (τ ) ) dτ
0
Figure III-6 : Flux
φd
de l'axe d en fonction du temps
A partir du flux et du courant, il est
aisé de tracer le cycle d'hystérésis du matériau,
puis sa courbe moyenne :
Figure III-8 : Courbe moyenne
φd = f ( id )
permet
L'expression φd = Ld ⋅ id
d'aboutir à l'évolution de l'inductance en
fonction du courant :
Figure III-7 : Cycle d'hystérésis
φd = f ( id )
Figure III-9 : Evolution de l'inductance Ld en
fonction du courant id
14
Une autre solution consiste à effectuer une identification en temps réel de la matrice
inductance au cours d'un déplacement, en utilisant les différentes grandeurs mesurables.
III.3 Exploitation des signaux M.L.I.
Pour faire du contrôle de position sans capteur pour machines à réluctance variable, nous
pouvons utiliser les effets liés à la saillance du rotor [Huovila 1995]. Pour cela, les auteurs proposent
une méthode de mesure de l'inductance des enroulements à partir des signaux d'alimentation. En
faisant l'hypothèse d'un fonctionnement dans la partie linéaire de la caractéristique du matériau
magnétique, l'équation électrique d'un enroulement est la suivante :
d ( L (θ ) ⋅ i ( t ) )
di ( t ) dL (θ )
= r . i ( t ) + L (θ ) ⋅
+
⋅ i (t )
u (t ) = r .i (t ) +
dt
dt
dt
D'où l'expression de l'inductance en fonction du temps :
dL (θ )
u (t ) − r .i (t ) −
⋅ i (t )
dt
L (θ ) =
di ( t )
dt
En supposant que le courant croit linéairement durant les deux phases de la MLI, les
signaux disponibles pour la mesure sont les suivants :
Figure III-10 : Signaux MLI
Les auteurs utilisent ensuite l'hypothèse d'invariance du courant moyen, de la résistance et
de l'inductance sur une période MLI de manière à écrire :
U1 − r . i − dL ⋅ i − U 2 − r . i − dL ⋅ i
dt
dt
U1 − U 2
=
L (θ ) =
⎛ di ( t ) ⎞ ⎛ di ( t ) ⎞
⎛ di ( t ) ⎞ ⎛ di ( t ) ⎞
⎜ dt ⎟ − ⎜ dt ⎟
⎜ dt ⎟ − ⎜ dt ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠
(
)(
)
1
2
1
2
avec les indices 1 et 2 respectivement pour les phases 1 et 2 (Period 1 & 2) de la MLI.
Le principe est d'utiliser le mode d'alimentation de l'actionneur à étudier : en
échantillonnant les grandeurs mesurables (courants, tensions) à une fréquence 3 à 5 fois supérieure à la
fréquence de modulation de largeur d'impulsion (M.L.I.) nous devrions théoriquement pouvoir obtenir
2.fMLI informations par seconde sur la matrice inductance. Classiquement, nous prenons fMLI = 8 kHz,
ce qui implique une acquisition à une fréquence minimum fe = 24 kHz.
15
Dans notre cas, l'équation électrique est matricielle et fait intervenir un terme de force
électromotrice :
d
d
∂
d
⎛∂
⎞
⎣⎡udq ( t ) ⎦⎤ = [ r] ⋅ ⎣⎡idq ( t ) ⎦⎤ + ⎡⎣Ldq ⎦⎤ ( x, i ) ⋅ dt ⎣⎡idq ( t )⎦⎤ + ⎝⎜ ∂i ⎡⎣L( x, i ) ⎤⎦ ⋅ dt ⎡⎣i ( t ) ⎤⎦ + ∂x ⎡⎣L( x, i ) ⎤⎦ ⋅ v ⎟⎠ ⋅ ⎡⎣i ( t )⎤⎦ + v ⋅ dx ⎣⎡φm_ dq ( x)⎦⎤
Nous avons accès aux courants, aux tensions, à la position et nous pouvons reconstruire les
forces électromotrices [Remy 2004] en fonction de la position. En faisant l'hypothèse que les
inductances ne varient pas sur une période MLI, nous sommes donc capables de calculer les
inductances au cours d'un déplacement du primaire.
III.4 Injection d'un signal haute fréquence
Contrairement à la précédente, cette méthode se focalise sur un autre aspect des équations
électriques de la machine pour remonter jusqu'à la matrice inductance. Il s'agit d'utiliser une
commande dans le repère de Park de l'actionneur et d'injecter un signal sinusoïdal haute fréquence aux
références de tension vd et vq [Briz 2001]. Il suffit ensuite d'isoler les signaux haute fréquence sur les
courants mesurés et de calculer l'impédance, comme l'illustre la figure suivante :
Figure III-11 : Schéma de principe de la méthode par injection d'un signal HF
Ainsi, par exemple pour l'axe d, nous avons :
Zd =
U d _ HF _ eff
I d _ HF _ eff
= rL 2 + ( Ld ⋅ ω )
2
Toute la difficulté de la méthode réside dans le choix de la fréquence des signaux à injecter
et dans la récupération par filtrage des signaux sur les courants id et iq. En effet, les signaux haute
fréquence doivent passer l'onduleur et donc avoir une fréquence très inférieure à celle de la MLI, tout
en ayant une fréquence suffisamment élevée pour ne pas perturber le bon fonctionnement du système.
Dans notre cas, une fréquence de l'ordre du kHertz permettrait de passer l'onduleur dont la MLI
fonctionne à 8 kHz.
16
Conclusion
La modélisation de la matrice inductance constitue la dernière étape dans notre
modélisation électromagnétique fine des actionneurs linéaires à entraînement direct. Pour pouvoir
intégrer les variations de ses composantes dans la commande, nous devons disposer d'un modèle
analytique, lié à la structure géométrique de l'actionneur, et le renseigner à l'aide des différentes
méthodes d'identification à notre disposition : le calcul par éléments finis, par réseau de réluctances et
l'identification expérimentale.
Si la méthode de modélisation par réseau de réluctance peut vite devenir fastidieuse, elle
permet d'obtenir une expression analytique des inductances à partir des grandeurs géométriques de
l'actionneur. Au contraire, le calcul par éléments finis permet d'obtenir assez facilement des résultats
numériques, sans fournir aisément une expression analytique des composantes de la matrice
inductance.
Les différentes méthodes classiques permettent d'effectuer assez aisément une mesure
d'inductance, à partir du moment où nous restons dans le domaine de linéarité du matériau
ferromagnétique utilisé. L'étude de la variation d'inductance due à la saturation des tôles est possible
grâce à l'expression du flux, mais reste délicate.
Dans le cas des machines de transformation électromécanique, nous avons vu l'importance
de l'attention à porter au blocage de la partie mobile. Nous pourrons chercher à limiter l'influence du
mouvement résiduel du primaire sur les mesures en reconstituant la force électromotrice et en
l'intégrant dans l'équation différentielle électrique.
Rappelons que la machine est couplée en étoile et que le neutre n'est pas accessible. Si les
méthodes présentées précédemment permettent d'obtenir une valeur d'inductance, elles ne donnent pas
accès directement aux différentes composantes de la matrice inductance de l'actionneur. Il faudra donc
effectuer des mesures dans plusieurs configurations électriques afin d'obtenir le maximum de
renseignements sur ces composantes et en déduire les propriétés de la matrice (symétrie, diagonalité).
Notons que les deux dernières méthodes réalisées en temps réel ne permettrons pas
d'obtenir d'autres informations que les inductances cycliques du repère de Park, Ld et Lq, puisque nous
ne disposons que de deux équations indépendantes : une pour chaque axe.
Les méthodes classiques améliorées et les méthodes d'identification en temps réel sont
donc complémentaires : les premières donnent les premiers résultats avec une faible résolution en
position et permettent de mettre en évidence certaines propriétés de la matrice inductance, tandis que
les suivantes, en se basant sur des hypothèses issues des premières, devraient permettre d'obtenir une
meilleure résolution.
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Bibliographie
[Askour 2002] “Modélisation numérique d’un moteur linéaire synchrone à aimants permanents”, R.
Askour, Mémoire de DEA, USTL Lille, 2002
[Briz 2001]
“Implementation Issues Affecting the Performance of Carrier Signal Injection Based
Sensorless Controlled AC Drives”, F. Briz, M.W. Degnert, J.M. Guerrero, A. Zamarron, R.
Lorenz, IEEE Industry Application Society, Annual Meeting Chicago, 2001
[Cassat 2003 ] “DIRECT LINEAR DRIVES: Market and Performance Status”,A. Cassat, N. Corsi, N.
Wavre, R. Moser, Proceedings of the 4th International Symposium on Linear Drives for Industry
Applications, LDIA2003, Birmingham, UK, 8-10 Sept 2003.
[Huovila 1995] “A Sensorless SR Motor Position Measurement Method”, H. Huovila, O. Karasti,
Machine Automation, Finlande, 1995
[Madani 1995] “Reduction of torque pulsations by inductance harmonics identification of a
permanent-magnet synchronous machine”, A. Madani, J.P. Barbot; F. Colamartino; C.
Marchand, Control Applications, 1995, Proceedings of the 4th IEEE Conference on, 28-29 Sept.
1995, Pages:787 - 792
[Polinder 2003] “Modeling of a linear PM Machine including magnetic saturation and end effects:
maximum force-to-current ratio”, H. Polinder, J.G. Slootweg, M.J. Hoeijmakers, J.C. Compter,
Industry Applications, IEEE Transactions on, Volume: 39, Issue: 6, Pages:1681 - 1688, Nov.Dec. 2003.
[Remy 2003] “Initial Pole Position of Permanent Magnet Linear Synchronous Motor”, G. Remy,
mémoire de DEA, chap. III.4 & IV.2, Laboratoire d'Electrotechnique et d'Electronique de
Puissance de Lille, 2003
[Remy 2004] “Commande optimisée d'un actionneur linéaire synchrone pour un axe de
positionnement rapide”, G. Remy, Rapport d'avancement de Thèse, 1° année, Laboratoire
d'Electrotechnique et d'Electronique de Puissance de Lille, 2004
[Seguier 1994] “Electrotechnique Industrielle”, G. Seguier, F. Notelet, Editions Tec&Doc, Partie IV,
Chap. 3 : Procédés mathématiques d'étude des machines à courant alternatif, 1994
[Se-Yuen 2002] “Six Ways to Measure Inductance”, M. Se-Yuen, Physics Education (UK), 37(5), pp
439-445 (Refereed journal), 2002
[Stumberger 2000] “Identification of Linear Synchronous Reluctance Motor Parameters”, G.
Stumberger, B. Stumberger, D. Dolinar, IEEE Industry Applications Conference, 2000,
Conference Record of the 2000 IEEE , Pages:7 - 14 vol.1, 2000
[Zeng 2002]
“Optimisation de la Commande en Poussée d’un Moteur Linéaire Synchrone à
Aimants Permanents”, J. Zeng, Mémoire de DEA, Arts et Métiers Lille, 2002
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