Agrégation Interne 2001

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Agrégation Interne 2001 Exercices d’induction II
Agrégation Interne 2001
Exercices d’induction II
Exo n°1 :
1. L'inductance propre linéique
dz
dL
Lo
d’un câble coaxial dont les armatures sont des cylindres
coaxiaux d'axe Oz, supposés infiniment longs, & de rayons a & b > 0.
2. L'inductance propre linéique
dz
dL
Lo
d'une ligne bifilaire dont les câbles sont des cylindres d'axe Oz,
supposés infiniment longs, de même rayon a, & dont les axes sont dis-
tants de b > 2a. Calculer, par la méthode énergétique, l'inductance inté-
rieure linéique & comparer au résultat précédent.
3. L'inductance mutuelle linéique
dz
dM
Mo
d'un ensemble de deux
lignes bifilaires parcourues par les courants I1 & I2, dont les traces des
axes dans le plan Oxy constituent un carré de côté b (cf figure).
4. L'inductance mutuelle d'un fil infini dirigé suivant Oz, parcouru par le
courant I1, & d'un bobinage torique d’axe Oz, de rayon moyen D, de
section carrée de côté a, parcouru par le courant I2, & comportant N
spires. AN : a = 1 cm, D = 10 cm, µo =
7
10.4 
SI, & N = 200 spires.
Exo n°2 :
Un cadre rectangulaire, de dimensions 2ax2b, conducteur, de
résistance électrique R, de masse m, parcouru par un courant constant
i, est mobile autour de son côté AB porté par l'axe Ox. Le plan du
cadre fait avec l'axe Oy l'angle  (cf figure). On néglige le champ
magnétique propre créé par le cadre. L'ensemble est plongé dans un
champ magnétique
B
extérieur & constant, dirigé suivant l'axe Oz.
Déteminer les positions d'équilibre du cadre & discuter leur stabilité.
AN: on donne: m = 10 g, i = 10 A, B = O,l T, b = 2,5 cm, g = 10 m / s².
Exo n°3 : Pertes par courants de Foucault.
On considère une tôle d’acier, donc un parallélépipède de dimensions
eba 
respectivement suivant
les axes Ox, Oy, Oz, avec
bae ou 
de conductivité , plongée dans un champ magnétique variable
itBtB m.cos)( 
, dirigé suivant Ox, Bm étant une constante. Calculer p, puissance volumique dissipée
dans la tôle par effet Joule par les courants de Foucault. Conclusion ?
Exo n°4 : Moteur asynchrone.
1. Création d’un champ tournant :
Trois solénoïdes identiques ont leurs axes régulièrement décalés de
3
2
, & sont situés à la même distance du point O. Ils sont parcou-
rus par un système de courants triphasés équilibrés :
 3
2
sin.2 ,sin.2 21 tIitIi
 3
4
sin.2
3tIi
Calculer le champ magnétique
B
créé au point O par ce système.
Quelle est sa propriété ?
Une petite bobine plate b, court-circuitée sur elle-même, a une

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résistance électrique R, une inductance propre L, une surface S & comporte N spires. Cette bobine peut
tourner autour de l'axe Oz, de telle sorte que la normale
N
à b tourne autour de Oz dans le sens trigo-
nométrique à la vitesse angulaire ' constante. Elle est plongée dans un champ magnétique tournant
B
,
de module constant B, & tournant autour de Oz dans le sens trigonométrique à la vitesse angulaire 
constante (a priori,  & ' sont différentes).
2. Expliquer qualitativement pourquoi la bobine va tourner dès que le champ tournant sera établi.
3. Si b tourne à la vitesse angulaire ', & si la normale
N
fait avec le champ
B
l'angle
BN  ,
à
l’instant t = 0, calculer l'intensité du courant induit i(t) dans b, en régime sinusoïdal forcé.
4. Calculer la valeur instantanée  (t) & la valeur moyenne  du moment des forces électromagnétiques
s'exerçant sur b.
5. On pose :
' g
appelé glissement ( étant supposé constant), &
R
L
Q
(facteur de qualité de
la bobine à la fréquence du secteur). Donner l'allure de la courbe  = f (g). Calculer les valeurs extré-
males de  & vérifier qu'elles sont indépendantes de R. Donner les valeurs correspondantes de g, & cal-
culer la puissance maximale Pm disponible.
6. Un ventilateur, solidaire de b, présente un couple résistant r qui est la somme d'un terme constant f
& d'un terme proportionnel au carré de la vitesse :
2
'. vfr
. Par une simple discussion gra-
phique, & sans faire de calculs, répondre aux questions suivantes :
 le système peut-il démarrer seul ?
 comment peut-on envisager de faciliter ou de rendre possible le démarrage ?
 comment se trouve fixée la vitesse de régime permanent ?
 quelle est la vitesse limite qu'on est certain de ne jamais dépasser ?