1 Un hypermarché, à l`occasion de son 25e anniversaire, organise

1 Un hypermarché, à l'occasion de son 25e anniversaire, organise le jeu suivant :
Dans un premier temps, chaque client reçoit lors de son passage en caisse un bulletin. Ce bulletin comprend 9
cases, 3 rouges et 6 vertes, sous une pellicule grise à gratter.
Chaque client doit gratter seulement 3 cases.
- si le client découvre 3 cases rouges, il gagne un bon d'achat de 100 € ,
- si le client découvre 3 cases vertes, il gagne un bon d'achat de 5 € ,
- dans tous les autres cas, le bulletin est perdant.
Dans un deuxième temps, seuls les bulletins perdants portant le nom du client sont placés dans une urne pour une
loterie ultérieure.
1° Calculer les probabilités suivantes : (sous forme de fractions irréductibles)
a) « un client du magasin gagne un bon d'achat de 100 € après un passage en caisse ».
b) « un client du magasin gagne un bon d'achat de 5 € après un passage en caisse ».
3
c) En déduire que la probabilité de l'événement « un client ne gagne rien au grattage » est .
4
2° Madame D effectue trois passages en caisse durant la période du jeu. Déterminer la probabilité qu’elle gagne
exactement deux bons d'achats au grattage, et la probabilité qu’elle ait au moins un bulletin gagnant (on en donnera une
valeur approchée à 10–2 près).
2 Amélie et Béatrice projettent une sortie soit au cinéma soit en randonnée, Amélie ou Béatrice décide du choix
de l'activité. On désigne par A l'événement «Amélie décide» et par B l'événement «Béatrice décide», B est donc
l'événement contraire de A.
7
On suppose que la probabilité pour qu'Amélie décide est p(A) =
12
1° Déterminer p(B), probabilité pour que Béatrice décide.
2° Lorsque Amélie décide, 3 fois sur 10 elle choisit le cinéma.
Lorsque Béatrice décide, 4 fois sur 10 elle choisit la randonnée,
On désigne par C, l'événement «elles vont au cinéma» et par R, l'événement «elles font une randonnée»,
a) Déterminer les probabilités conditionnelles PA(C) et PB(C) où PA(C) est la probabilité de C sachant A et PB(C)
est la probabilité de C sachant B.
b) Reproduire et compléter l'arbre de probabilités suivant :
A
R
3° a) Calculer les probabilités p(A ∩ C) et p(B ∩ C).
17
b) Montrer que p(C) =
.
40
c) En déduire p(R).
4° Sachant qu'Amélie et Béatrice sont allées en randonnée, quelle est la probabilité pour que ce soit Béatrice qui ait
décidé ?
3 Un exemple : un enquêteur interroge les familles de deux enfants.
Par la porte il voit passer dans le salon une petite fille.
Quelle est la probabilité que l’autre enfant soit un garçon ?
1 Un hypermarché, à l'occasion de son 25e anniversaire, organise le jeu suivant : Dans un premier temps, chaque client reçoit
lors de son passage en caisse un bulletin. Ce bulletin comprend 9 cases, 3 rouges et 6 vertes, sous une pellicule grise à gratter.
Chaque client doit gratter seulement 3 cases.
- si le client découvre 3 cases rouges, il gagne un bon d'achat de 100 € ,
- si le client découvre 3 cases vertes, il gagne un bon d'achat de 5 € ,
- dans tous les autres cas, le bulletin est perdant.
Dans un deuxième temps, seuls les bulletins perdants portant le nom du client sont placés dans une urne pour une loterie
ultérieure. 1° Calculer les probabilités suivantes : (sous forme de fractions irréductibles)
a) « un client du magasin gagne un bon d'achat de 100 € après un passage en caisse ».
Pour gagner 100 € il doit découvrir 3 cases rouges.
3 2 1 1
× × =
9 8 7 84
b) « un client du magasin gagne un bon d'achat de 5 € après un passage en caisse ».
Pour gagner 5 € il doit découvrir 3 cases vertes.
6 5 4 5
× × =
9 8 7 21
c) En déduire que la probabilité de l'événement « un client ne gagne rien au grattage » est
1–
3
.
4
1
5 84 – 1 – 20 63 3
–
=
=
=
84 21
84
84 4
2° Madame D effectue trois passages en caisse durant la période du jeu. Déterminer la probabilité qu’elle gagne exactement
deux bons d'achats au grattage, et la probabilité qu’elle ait au moins un bulletin gagnant (on en donnera une valeur approchée
à 10–2 près).
1/4
G
1/4
3/4
P
3/4
1/4
G
3/4
P
1/4
G
3/4
P
1/4
G
G
G
1/4
P
3/4
G
1/4
P
3/4
P
3/4
P
1 1 3 1 3 1 3 1 1
1
3 9
× × + × × + × × =3×  × =
≈ 0,56
4 4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 16
2
2 Amélie et Béatrice projettent une sortie soit au cinéma soit en randonnée, Amélie ou Béatrice décide du choix de l'activité. On
désigne par A l'événement «Amélie décide» et par B l'événement «Béatrice décide», B est donc l'événement contraire de A. On
7
suppose que la probabilité pour qu'Amélie décide est p(A) =
1° Déterminer p(B), probabilité pour que Béatrice décide.
12
A et B sont contraires donc : p(B) = 1 – p(A) = 1 –
7
5
=
12 12
2° Lorsque Amélie décide, 3 fois sur 10 elle choisit le cinéma. Lorsque Béatrice décide, 4 fois sur 10 elle choisit la randonnée, On
désigne par C, l'événement «elles vont au cinéma» et par R, l'événement «elles font une randonnée», a) Déterminer les
probabilités conditionnelles PA(C) et PB(C) où PA(C) est la probabilité de C sachant A et problème(C) est la probabilité de C
sachant B.
Lorsque Amélie décide, 3 fois sur 10 elle choisit le cinéma donc PA(C) =
3
10
Lorsque Béatrice décide, 4 fois sur 10 elle choisit la randonnée donc PB(R) =
4
4
6
et PB(C) = 1 –
=
10
10 10
b) Reproduire et compléter l'arbre de probabilités suivant :
3/10
C
7/12
7/10
R
5/12
6/10
C
4/10
R
3° a) Calculer les probabilités p(A ∩ C) et p(B ∩ C).
7
3
7
=
×
12 10 40
5
6
5
=
P(B ∩ C) = ×
12 10 20
17
b) Montrer que p(C) =
.
40
P(A ∩ C) =
A
B
P(C) = P(A ∩ C) + P(B ∩ C) =
7
5 7 + 10 17
+ =
=
40 20
40
40
c) En déduire p(R).
P(R) = 1 – P(C) = 1 –
17 40 – 17 23
=
=
40
40
40
4° Sachant qu'Amélie et Béatrice sont allées en randonnée, quelle est la probabilité pour que ce soit Béatrice qui ait décidé ?
P(R ∩ B) = PB(R) × P(B) =
4
5 1
×
=
10 12 6
1
p(R ∩ B) 6 1 40 20
pR(B) =
= = × =
23 6 23 69
p(R)
40
3 Un exemple : un enquêteur interroge les familles de deux enfants. Par la porte il voit passer dans le salon une petite fille.
Quelle est la probabilité que l’autre enfant soit un garçon ?
On range les enfants dans l’ordre de leur naissance.
On a quatre possibilités : FF, GG, FG et GF.
Dans le cas étudié on sait qu'il y a une fille dans le lot. Cela élimine le deuxième cas.
Il reste trois cas équiprobables, FF, FG et GF.
2
Il y a donc une probabilité de pour que l’autre enfant soit un garçon.
3
La probabilité cherchée est la probabilité qu'il y ait un garçon sachant qu'il y a une fille c'est à dire :
2
P(il y a un garçon et une fille) 4 2 4 2
= = × =
P(il y a au moins une fille)
3 4 3 3
4