Mécanique Quantique

Mécanique Quantique
1 Distinctions entre la mécanique classique et la
mécanique quantiques
Quantification de l’énergie : En mécanique quantique, l’énergie ne peut
pas toujours prendre des valeurs arbitraires, on dit que l’énergie est quantifiée.
Exemple 1 : Énergie pour la particule dans une boîte
22
2 0,1, 2,3...
8
nh
En
ml
==
Exemple2 : Énergie pour un oscillateur harmonique
( 1/ 2) 0,1, 2,3...Ehv v
ν
=
+=
Aspect probabiliste : En mécanique classique, si on connaît l’état d’un
système (x et v pour toutes les particules), il est possible de prédire l’état à tout
moment de l’avenir. En mécanique quantique, on doit penser en termes de
probabilité, il existe toujours une incertitude. On exprime ceci à l’aide du
principe d’incertitude d’Heisenberg :
x
ph
∆
∆≥
où x représente la position
et p la quantité de mouvement de la particule
Ce principe suggère qu’on ne peut connaître à la fois la position et la vitesse
d’une particule.
2 La fonction d’onde (ψ)
En mécanique quantique, on utilise une fonction d’état pour d’écrire l’état d’un
système; la fonction d’onde (ψ).
1

(,)
x
t
ψ
: Cette fonction d’onde contient toute
l’information sur le système.
Selon Born :
2
(,)
x
td ψ x
est la probabilité de trouver la particule à un temps t dans l’intervalle entre x et x+dx.
C’est-à-dire,
2
(,)
x
t ψ
est la densité de probabilité
Pourquoi une fonction d’onde?
• Dualité onde-particule : Étant donnée que la lumière se comporte comme des
particules et parfois comme des ondes, DeBroglie a proposé que la matière
aurait aussi ces deux aspects complémentaires. La diffraction d’électrons a
montré que cette idée était correcte.
• Schrödinger a proposé une équation d’onde qui est en accord avec les résultats
des observations. Voici l’équation de Schrödinger dépendante du temps.
22
2
(,) (,) (,) (,)
2
xt xt Uxt xt
it mx
ψψ
ψ
−∂ ∂
=− +
∂∂
==
2
1
(,)
h
i
m masse de la particule
U x t énergie potentielle
π
=
=−
=
=
=
C’est une équation différentielle de premier ordre en t et de deuxième ordre en x. On
voit qu’elle contient la constante de Planck qui est à la base de la mécanique
quantique et le i (imaginaire), dans le cas général, la fonction d’onde peut être
complexe.
2

Bien que la fonction d’onde (,)
x
t
ψ
dépend du temps, pour la plupart des
problèmes en chimie, on utilise l’équation de Schrödinger indépendante du temps
(séparation de variable).
3 L’équation de Schrödinger indépendante du temps
De cette façon, l’énergie n’est pas une fonction du temps mais dépend uniquement d’une
variable spatiale, x.
U(x,t) = U(x).
[]
22
2
22
22
() () () ()
2
() 8 () () 0
dx
Ux x E x
mdx
dx m
EUx x
dx h
ψψψ
ψπ ψ
−+=
+
−=
=
() '
'
x
est la fonction d onde spatiale
E estl énergie du système
ψ
On a donc une équation qui permet de calculer l’énergie d’un système (la particule) et sa
fonction d’onde.
On peut écrire l’équation de Schröndinger sous la forme :
22
2() () ()
2
ˆ
dUx x E x
mdx
HE
ψψ
ψψ
⎡⎤
−+ =
⎢⎥
⎣⎦
=
=
où est l’opérateur Hamiltonien qui nous permet de trouver l’énergie du système. Il y
a donc une relation qui existe entre l’énergie E et un opérateur. En mécanique quantique,
les propriétés physiques sont tous associées à des opérateurs.(Postulat 2)
ˆ
H
Un opérateur, Ô, agit sur une fonction pour engendrer une autre fonction
ˆ
Of g
=
L’équation de Schrödinger indépendante du temps est une équation aux valeurs propres :
3

ˆ
Of of
=
Dans ce genre d’équation, f s’appelle la fonction propre, o la valeur propre. En appliquant
un opérateur sur une fonction propre, on obtient la valeur propre de cette fonction.
Pour l’équation de Schrödinger
ˆ
HE
ψ
ψ =
E est la valeur d de l’énergie qui est la valeur propre de l’opérateur Hamiltonien,
ψ
est la fonction d’onde et la fonction propre de
ˆ
H
4 Justifications
Bien que l’on a pas de preuve de l’équation de Schrödinger, on peut la « justifier » un
peu, la rendre moins mystérieuse en considérant l’idée de DeBroglie.
• Pour la lumière E= hν
• Pour toute particule E= mc2
Combinant ces deux équations
E= mc2 = hν = hc/λ
mc= h/λ
Mais mc est l’analogue de mv pour une particule qui se déplace à une vitesse autre
que la vitesse de la lumière. Donc, on met
mv = p = h/λ
λ = h/p
DeBroglie a donc proposé d’associer une longueur d’onde de h/p avec une particule.
La longueur d’onde d’une particule est inversement proportionnelle à sa quantité de
mouvement.
On peut aussi relier λ à l’énergie cinétique de la particule
T= énergie cinétique = ½ mv2
= (1/2m) (mv)2 = p2 /2m
p= (2 )mT
maintenant E= T + U; T= E-U
où U est l’énergie potentielle
On a donc
/(2 )
/(2 ) /
hmE
hmTh
λ =
==p
4

Considérons cette relation DeBroglie en même temps que l’équation d’onde
classique :
d2
ψ (x)
dx2=− 2
π
λ
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟ 2
ψ (x)
solution:
ψ ∝sin 2
π
λ
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Mettons
λ =h2m(E −U)
d2
ψ (x)
dx2=−2
π
(
)
2
h22m(E −U)
ψ (x)
−h2
2m
d2
dx2+U
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
ψ (x)=E ψ (x)
•Nous trouvons que l'équation de Schrödinger est une équation d'onde pour une
onde avec la longueur d'onde de DeBroglie. Ceci n'est pas une "preuve" de
l'équation de Schrödinger; plutôt une démonstration de plausibilité.
5 CONDITIONS QUE LA FONCTION D'ONDE DOIT
SATISFAIRE
La normalisation Puisque l'interprétation de Born veut que le carré de la fonction
d'onde correspond à une probabilité, la fonction d'onde elle-même doit satisfaire à un
certain nombre de conditions. On ne peut pas avoir n'importe quelle fonction comme
fonction d'onde mais seulement celles qui satisfont à ces conditions. On appelle ces
fonctions "acceptable" ("well-behaved", en anglais). Une distribution de probabilité peut
être normalisée. Dans notre cas, puisque la particule doit être quelque part dans l'espace,
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