TD n˚11 - Ondes électromagnétiques dans le vide 1 Onde

Physique
TD n˚11 - Ondes électromagnétiques dans le vide
TD n˚11 - Ondes électromagnétiques dans le
vide
1 Onde électromagnétique plane progressive - Un premier exemple
On étudie la propagation d’une onde électromagnétique dans le vide.
−
→
1. Rappeler l’équation aux dérivées partielles à laquelle satisfont les champs électrique E (M, t) et ma→
−
gnétique B (M, t).
2. On suppose que le champ électrique est de la forme :
→
−
−
E = E0 cos(ωt − kz)→
ux
a) À quelle équation doit satisfaire k pour que ce champ soit solution de l’équation rappelée à la
première question ?
b) Quels sont la direction, le sens et la vitesse de propagation de cette onde ?
c) Quel est l’état de polarisation de cette onde ?
→
− −
→
d) Quelle est la structure de cette onde (c’est à dire quelles propriétés liant les grandeurs k , E et
→
−
B)?
−
→
−
→
e) Calculer le champ magnétique B associé à E ainsi que le vecteur de Poynting de l’onde.
3. La puissance moyenne rayonnée par cette onde à travers une surface S = 4mm2 orthogonale à sa
direction de propagation est P = 10W . Calculer les amplitudes E0 et B0 des champs électrique et
magnétique.
2 Onde électromagnétique plane progressive - Un second exemple
On étudie maintenant une seconde onde électromagnétique dont le champ électrique complexe est :
[
−
→
→
→
E = Ex−
u x + Ey−
uy
i
avec
E x = E0 e
]
k
(2x+2y+z)−ωt
3
L’onde se propage dans le vide. Sa fréquence est ν = 5.1014 Hz.
1. Calculer la longueur d’onde λ correspondante. Dans quel domaine du spectre électromagnétique se
situe cette onde ?
2. Exprimer Ey en fonction de Ex .
3. Établir l’équation cartésienne d’un plan d’onde.
−
→
4. Calculer le champ magnétique complexe B de cette onde.
5. Calculer la densité moyenne d’énergie électromagnétique associée à cette onde.
6. Calculer la valeur moyenne du vecteur de Poynting de l’onde. Commenter.
3 Ondes polarisées
−
→−
Donner les expressions réelles E (→
r , t) des ondes planes progressives harmoniques suivantes :
1. Onde d’amplitude E0 se propageant suivant l’axe Ox et polarisée linéairement à π/3 de Oy.
2. Onde d’amplitude E0 polarisée linéairement suivant Oy et se propageant parallèlement au plan zOx
à π/4 de Oz.
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4 Détermination des caractéristiques d’ondes électromagnétiques
On considère les ondes électromagnétiques données ci-dessous. Préciser les caractéristiques (direction de
propagation, polarisation, transversalité, planéité) de chacune d’entre elles.
→
−
→
1. E 1 = E0 sin(2y + 3z)cos(ωt − kx)−
uz
kx + ky −
→
−
)→
uz
2. E 2 = E0 sin(2x)cos(ωt + √
2
→
−
−
3. E = E cos(ωt + kz)→
u
3
→
−
4. E 4
→
−
5. E 5
→
−
6. E 6
0
z
kx + ky −
kx + ky −
)→
u x − E0 cos(ωt − √
)→
uy
= E0 cos(ωt − √
2
2
kx + ky −
kx + ky −
)→
u x − E0 sin(ωt − √
)→
uy
= E0 cos(ωt − √
2
2
→
= E cos(kx)cos(ωt)−
u
0
z
Pour lesquelles pourra-t-on utiliser la relation de structure pour calculer le champ magnétique ?
5 Étude d’une onde électromagnétique
On considère une onde électromagnétique se propageant dans le vide. Dans une base cartésienne (⃗ux , ⃗uy , ⃗uz ),
le champ électrique prend la forme
[ (
√ )]
√
x + 3y
E0 3
E
cos ω t −
x =
2
2v )]
[ (
√
−
→ E =
E0
x + 3y
cos ω t −
Ey = −
2
2v
Ez =
0
1. Montrer que ce champ électrique vérifie l’équation de propagation de d’Alembert dans le vide à une
condition sur v que l’on précisera.
2. Quelle est la polarisation de cette onde ?
3. Quel est le vecteur d’onde de cette onde ? Dans quelle direction cette onde se propage-t-elle ?
4. Déterminer l’expression du champ magnétique associé.
5. L’onde est-elle transverse ?
6 Puissance maximale d’un laser de classe 2
On peut lire la définition suivante d’un laser de classe 2 dans wikipédia :
Classe 2 : lasers qui émettent un rayonnement visible dans la gamme de longueur de
400 à 700 nm. La protection de l’œil est normalement assurée par les réflexes de défense
comprenant le réflexe palpébral, clignement de la paupière (par exemple, des lecteurs de
code-barres).
Le seuil de dangerosité du flux lumineux pour l’œil est de 1000 W.m−2 pour une exposition continue et
prolongée.
1. A quel flux lumineux cet ordre de grandeur s’identifie-t-il ? Commenter.
2. Quelle est la puissance maximale d’un laser utilisé en TP de physique ?
3. En déduire la valeur de l’amplitude du champ électrique correspondant.
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7 Résolution de problème - Antenne réceptrice
Le cadre métallique de la figure ci-contre est un carré de 30 cm de
côté. Pour quelle(s) type(s) d’onde(s) pourra-t-il servir d’antenne et dans
quelle configuration ?
Quelques données sur les ondes électromagnétiques :
– Wifi : f ≃ 2.4 GHz
– GSM (téléphonie) : f ≃ 900 M Hz
– bande FM (radio) : f ≃ 100 M Hz
– grandes ondes (radio AM) : f ≃ 200 kHz
8 Résolution de problème - Dangerosité du WiFi
Quelle la puissance maximale que peut atteindre une antenne WiFi afin qu’elle vérifie les normes en
vigueur ?
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9 Onde électromagnétique dans le vide
On considère une onde électromagnétique caractérisée par son champ électrique :
→
−
E = E0 sin (βy) cos(ωt − αx) ⃗uz
se propageant dans le vide.
1. Caractériser l’onde électromagnétique (direction de propagation, planéité, polarisation, transversalité).
2. Préciser quelles sont les relations liant nécessairement les paramètres α, β, ω et c.
3. Décomposer l’onde précédente en deux OPPH dont on précisera les caractéristiques.
4. Calculer le champ magnétique associé à cette onde.
Donnée : 2 sin(A) cos(B) = sin(A + B) + sin(A − B)
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