TD n˚11 - Ondes électromagnétiques dans le vide 1 Onde

Physique TD n˚11 - Ondes électromagnétiques dans le vide
TD n˚11 - Ondes électromagnétiques dans le
vide
1 Onde électromagnétique plane progressive - Un premier exemple
On étudie la propagation d’une onde électromagnétique dans le vide.
1. Rappeler l’équation aux dérivées partielles à laquelle satisfont les champs électrique −→ E(M, t)et ma-
gnétique −→ B(M, t).
2. On suppose que le champ électrique est de la forme :
−→
E=E0cos(ωt −kz)−→ u x
a) À quelle équation doit satisfaire kpour que ce champ soit solution de l’équation rappelée à la
première question ?
b) Quels sont la direction, le sens et la vitesse de propagation de cette onde ?
c) Quel est l’état de polarisation de cette onde ?
d) Quelle est la structure de cette onde (c’est à dire quelles propriétés liant les grandeurs −→ k,−→ Eet
−→
B) ?
e) Calculer le champ magnétique −→ Bassocié à −→ Eainsi que le vecteur de Poynting de l’onde.
3. La puissance moyenne rayonnée par cette onde à travers une surface S= 4mm2orthogonale à sa
direction de propagation est P= 10W. Calculer les amplitudes E0et B0des champs électrique et
magnétique.
2 Onde électromagnétique plane progressive - Un second exemple
On étudie maintenant une seconde onde électromagnétique dont le champ électrique complexe est :
−→
E=Ex−→ ux+Ey−→ uyavec Ex=E0e
i[k
3(2x+2y+z)−ωt]
L’onde se propage dans le vide. Sa fréquence est ν= 5.1014 Hz.
1. Calculer la longueur d’onde λcorrespondante. Dans quel domaine du spectre électromagnétique se
situe cette onde ?
2. Exprimer Eyen fonction de Ex.
3. Établir l’équation cartésienne d’un plan d’onde.
4. Calculer le champ magnétique complexe −→ Bde cette onde.
5. Calculer la densité moyenne d’énergie électromagnétique associée à cette onde.
6. Calculer la valeur moyenne du vecteur de Poynting de l’onde. Commenter.
3 Ondes polarisées
Donner les expressions réelles −→ E(−→ r , t)des ondes planes progressives harmoniques suivantes :
1. Onde d’amplitude E0se propageant suivant l’axe Ox et polarisée linéairement à π/3de Oy.
2. Onde d’amplitude E0polarisée linéairement suivant Oy et se propageant parallèlement au plan zOx
àπ/4de Oz.
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4 Détermination des caractéristiques d’ondes électromagnétiques
On considère les ondes électromagnétiques données ci-dessous. Préciser les caractéristiques (direction de
propagation, polarisation, transversalité, planéité) de chacune d’entre elles.
1. −→ E1=E0sin(2y+ 3z)cos(ωt −kx)−→ uz
2. −→ E2=E0sin(2x)cos(ωt +kx +ky
√2)−→
uz
3. −→ E3=E0cos(ωt +kz)−→ uz
4. −→ E4=E0cos(ωt −kx +ky
√2)−→
ux−E0cos(ωt −kx +ky
√2)−→
uy
5. −→ E5=E0cos(ωt −kx +ky
√2)−→
ux−E0sin(ωt −kx +ky
√2)−→
uy
6. −→ E6=E0cos(kx)cos(ωt)−→ uz
Pour lesquelles pourra-t-on utiliser la relation de structure pour calculer le champ magnétique ?
5 Étude d’une onde électromagnétique
On considère une onde électromagnétique se propageant dans le vide. Dans une base cartésienne (⃗ux, ⃗uy, ⃗uz),
le champ électrique prend la forme
−→
E=
Ex=E0√3
2cos [ω(t−x+√3y 2v)]
Ey=−E0
2cos [ω(t−x+√3y 2v)]
Ez= 0
1. Montrer que ce champ électrique vérifie l’équation de propagation de d’Alembert dans le vide à une
condition sur vque l’on précisera.
2. Quelle est la polarisation de cette onde ?
3. Quel est le vecteur d’onde de cette onde ? Dans quelle direction cette onde se propage-t-elle ?
4. Déterminer l’expression du champ magnétique associé.
5. L’onde est-elle transverse ?
6 Puissance maximale d’un laser de classe 2
On peut lire la définition suivante d’un laser de classe 2 dans wikipédia :
Classe 2 : lasers qui émettent un rayonnement visible dans la gamme de longueur de
400 à 700 nm. La protection de l’œil est normalement assurée par les réflexes de défense
comprenant le réflexe palpébral, clignement de la paupière (par exemple, des lecteurs de
code-barres).
Le seuil de dangerosité du flux lumineux pour l’œil est de 1000 W.m−2pour une exposition continue et
prolongée.
1. A quel flux lumineux cet ordre de grandeur s’identifie-t-il ? Commenter.
2. Quelle est la puissance maximale d’un laser utilisé en TP de physique ?
3. En déduire la valeur de l’amplitude du champ électrique correspondant.
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7 Résolution de problème - Antenne réceptrice
Le cadre métallique de la figure ci-contre est un carré de 30 cm de
côté. Pour quelle(s) type(s) d’onde(s) pourra-t-il servir d’antenne et dans
quelle configuration ?
Quelques données sur les ondes électromagnétiques :
– Wifi : f≃2.4GHz
– GSM (téléphonie) : f≃900 MHz
– bande FM (radio) : f≃100 MHz
– grandes ondes (radio AM) : f≃200 kHz
8 Résolution de problème - Dangerosité du WiFi
Quelle la puissance maximale que peut atteindre une antenne WiFi afin qu’elle vérifie les normes en
vigueur ?
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9 Onde électromagnétique dans le vide
On considère une onde électromagnétique caractérisée par son champ électrique :
−→
E=E0sin (βy) cos(ωt −αx)⃗uz
se propageant dans le vide.
1. Caractériser l’onde électromagnétique (direction de propagation, planéité, polarisation, transversalité).
2. Préciser quelles sont les relations liant nécessairement les paramètres α,β,ωet c.
3. Décomposer l’onde précédente en deux OPPH dont on précisera les caractéristiques.
4. Calculer le champ magnétique associé à cette onde.
Donnée :2 sin(A) cos(B) = sin(A+B) + sin(A−B)
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