106 : PGCD dans K[X], où K est un corps commutatif, théorème de

106 : PGCD dans K[X], o`u Kest un corps commutatif, th´eor`eme de B´ezout. Applications.
Pr´erequis : Arithm´etique dans Z.
Division euclidienne dans K[X].
I- PGCD
Th : K[X] est un anneau principal.
Coro : ∀P1, . . . , Pn∈K[X]∃!Punitaire tq. :
(P1) + · · · + (Pn)=(P)
D´ef : On dira que Pest le PGCD de (P1, . . . , Pn)
et on notera : P=P1∧ · · · ∧ Pn
Prop : Soit P=P1∧ · · · ∧ Pn, si A∈K[X] tel que :
∀i∈ {1, . . . , n}A|Pialors A|P.
Prop : ∧est associative, commutative et la multi-
plication est distributive par rapport `a ∧.
Exo : Calculer (Xm−1)∧(Xn−1) pour m, n ∈N∗
Arn p. 266
Prop : Soit A=BQ +Rla div. eucl. de Apar B.
On a alors : A∧B=B∧R
Appli : Algo. d’euclide pour le calcul du PGCD.
Exo : Mq X5+X+ 1∧X4−2X3−X+ 2=
X2+X+ 1 dans R[X] Mo p.140
Exo : Calculer X5−X+ 1∧X2+ 1dans
Z/5Z[X]
II- B´ezout
D´ef : On dit que P1, . . . , Pnsont premiers entre eux
si P1∧ · · · ∧ Pn= 1
Exo : Pour quelles valeurs de p∈Pet a∈Z/pZ
(Xp+X+ 2a) et X2+ 1sont-ils premiers entre
eux dans Z/pZ[X] ?
Prop (B´ezout) : P1∧ · · · ∧ Pn= 1 ⇔ ∃U1, . . . , Un
tq
n
P
i=1
PiUi= 1 (Les Uipeuvent ˆetre trouv´es par
l’algorithme d’euclide.)
Prop (Gauss) : Si A∧B= 1 alors A|BC ⇒A|C
Exo : a, b ∈N\{0,1}P, Q ∈C[X] tq Pa−Qb= 1
Montrer que Pet Qsont constants. Mo p. 145
D´ef : P∈K[X] est irr´eductible si deg(P)>1 et
si : Q|P⇒Q=aou Q=aP avec a∈K
Prop : P irr´eductible ⇒P∧Q= 1 ou P|Q
Th : Tout polynˆome Pnon constant s’´ecrit de
mani`ere unique `a l’ordre pr`es sous la forme :
P=a
n
Q
i=1
Piavec a∈Ket Piirr´eductible ∀i.
Appli : A∧B=
n
Q
i=1
Pmin(ai,bi)
iou A=
n
Q
i=1
Pai
iet
B=
n
Q
i=1
Pbi
i(d´ecomposition primaire de Aet B)
Exo : A, B, C 2 `a 2 premiers entre eux.
Mq (AB +BC +CA)∧(ABC) = 1 Mo p. 146
Exo : Soit (b, c)∈N2, b ∧c= 1. Montrer que :
Pb−1(Pc−1) |(P−1) Pbc −1Arn p. 269
III- Applications
Th (d´ecomposition des noyaux) : Si P=
n
Q
i=1
Pio`u
les Pisont 2 `a 2 premiers entre eux.
Ee.v. et u∈ L(E) alors Ker(P(u)) =
n
L
i=1
KerPi(u)
Gd p.173
Appli 1 : R´esolution des ´equations diff´erentielles
lin´eaires `a coefficients constants du type :
n
P
i=0
aif(i)= 0 Gd p. 359
ou suites Ro p. 128-309
Appli 2 : u∈ L(E) est diagonalisable
⇔ ∃P∈K[X] scind´e `a racines simples tq
P(u) = 0.
Gd p.173
Exo : Montrer que les sym´etries et projections sont
diagonalisables.
Th (Liouville) : n∈N, n >3. Si Pn+Qn+Rn= 0
dans C[X] alors P, Q et Rsont ´egaux `a une
constante multiplicative pr`es. X-ENS p. 179
Th : A∈K[X], S1, . . . , Sn∈K[X]\{0}2 `a 2
premiers entre eux. ∃! (E, R1, . . . , Rn)∈(K[X])n+1
A
S1. . . Sn
=E+
n
P
i=1
Ri
Si
avec deg(Ri)< deg(Si)
Mo p. 166
Appli : D´ecomposition en ´el´ements simples ; calcul
de primitives Mo p.171 So p. 238
Jos´e Gregorio : http://agregorio.net
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