106 : PGCD dans K[X], où K est un corps commutatif, théorème de

106 : PGCD dans K[X], où K est un corps commutatif, théorème de Bézout. Applications.
Prérequis : Arithmétique dans Z.
Division euclidienne dans K[X].
I- PGCD
Th : K[X] est un anneau principal.
Coro : ∀P1 , . . . , Pn ∈ K[X]
(P1 ) + · · · + (Pn ) = (P )
∃! P unitaire tq. :
Déf : On dira que P est le PGCD de (P1 , . . . , Pn )
et on notera : P = P1 ∧ · · · ∧ Pn
Prop : Soit P = P1 ∧ · · · ∧ Pn , si A ∈ K[X] tel que :
∀i ∈ {1, . . . , n} A|Pi alors A|P .
Prop : ∧ est associative, commutative et la multiplication est distributive par rapport à ∧.
Exo : Calculer (X m − 1)∧(X n − 1) pour m, n ∈ N∗
Arn p. 266
II- Bézout
III- Applications
Déf : On dit que P1 , . . . , Pn sont premiers entre eux
si P1 ∧ · · · ∧ Pn = 1
Th (décomposition des noyaux) : Si P =
Exo : Pour quelles valeurs de p ∈ P et a ∈ Z/pZ
(X p + X + 2a) et X 2 + 1 sont-ils premiers entre
eux dans Z/pZ[X] ?
E e.v. et u ∈ L(E) alors Ker(P (u)) =
Prop (Bézout) : P1 ∧ · · · ∧ Pn = 1 ⇔ ∃U1 , . . . , Un
n
P
tq
Pi Ui = 1 (Les Ui peuvent être trouvés par
Appli 1 : Résolution des équations différentielles
linéaires à coefficients constants du type :
n
P
ai f (i) = 0 Gd p. 359
i=1
n
Q
Pi où
i=1
les Pi sont 2 à 2 premiers entre eux.
n
L
KerPi (u)
i=1
Gd p.173
i=0
l’algorithme d’euclide.)
ou suites Ro p. 128-309
Prop (Gauss) : Si A ∧ B = 1 alors A|BC ⇒ A|C
Exo : a, b ∈ N\{0, 1} P, Q ∈ C[X] tq P a − Qb = 1
Montrer que P et Q sont constants. Mo p. 145
Déf : P ∈ K[X] est irréductible si deg(P ) > 1 et
si : Q|P ⇒ Q = a ou Q = aP avec a ∈ K
Appli 2 : u
∈
L(E) est diagonalisable
⇔
∃P ∈ K[X] scindé à racines simples tq
P (u) = 0.
Gd p.173
Exo : Montrer que les symétries et projections sont
diagonalisables.
Prop : P irréductible ⇒ P ∧ Q = 1 ou P |Q
Prop : Soit A = BQ + R la div. eucl. de A par B.
On a alors : A ∧ B = B ∧ R
Th : Tout polynôme P non constant s’écrit de
manière unique à l’ordre près sous la forme :
n
Q
P =a
Pi avec a ∈ K et Pi irréductible ∀i.
i=1
Appli : Algo. d’euclide pour le calcul du PGCD.
Exo : Mq X 5 + X + 1 ∧ X 4 − 2X 3 − X + 2 =
X 2 + X + 1 dans R[X] Mo p.140
Appli : A ∧ B =
B=
n
Q
i=1
Exo : Calculer X 5 − X + 1 ∧ X 2 + 1 dans
Z/5Z[X]
Th (Liouville) : n ∈ N, n > 3. Si P n + Qn + Rn = 0
dans C[X] alors P, Q et R sont égaux à une
constante multiplicative près. X-ENS p. 179
n
Q
i=1
min(ai ,bi )
Pi
ou A =
n
Q
i=1
Piai
et
Pibi (décomposition primaire de A et B)
Exo : A, B, C 2 à 2 premiers entre eux.
Mq (AB + BC + CA) ∧ (ABC) = 1 Mo p. 146
Exo : Soit (b, c) ∈ N2 , b ∧ c = 1. Montrer que :
P b − 1 (P c − 1) | (P − 1) P bc − 1 Arn p. 269
Th : A ∈ K[X], S1 , . . . , Sn ∈ K[X]\{0} 2 à 2
premiers entre eux. ∃! (E, R1 , . . . , Rn ) ∈ (K[X])n+1
n R
P
A
i
=E+
avec deg(Ri ) < deg(Si )
S1 . . . Sn
S
i=1 i
Mo p. 166
Appli : Décomposition en éléments simples ; calcul
de primitives Mo p.171
So p. 238
José Gregorio : http://agregorio.net