Feuille d`exercices : Champ électrique en régime stationnaire

Feuille d'exercices : Champ électrique en régime stationnaire
P Colin
2016/2017
Formulaire d'analyse vectorielle
coordonnées cylindro-polaires :
−−→
1 ∂f
∂f
∂f
u~r +
u~θ +
u~z
gradf =
∂r
r ∂θ
∂z
~ = 1 ∂ (rAr ) + 1 ∂Aθ + ∂Az
divA
r ∂r
r ∂θ
∂z
1 ∂Az
∂Aθ
∂Ar
∂Az
1 ∂
∂Ar
−→ ~
rot(A) =
−
u~r +
−
u~θ +
(rAθ ) −
u~z
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r ∂r
∂θ
1 ∂
∂f
1 ∂2f
∂2f
∆f =
r
+ 2 2 + 2
r ∂r
∂r
r ∂θ
∂z
Coordonnées sphériques :
−−→
1 ∂f
1 ∂f
∂f
u~r +
u~θ +
u~ϕ
gradf =
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
1 ∂ 2
1 ∂
1 ∂Aϕ
(r Ar ) +
(sin θAθ ) +
r2 ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ϕ
1
∂
∂Aθ
1 ∂Ar
1 ∂
1 ∂
∂Ar
−→ ~
rot(A) =
(sin θAϕ ) −
u~r +
−
(rAϕ ) u~θ +
(rAθ ) −
u~ϕ
r sin θ ∂θ
∂ϕ
r sin θ ∂ϕ
r ∂r
r ∂r
∂θ
∂f
1
∂
∂f
1
∂2f
1 ∂
∆f = 2
r2
+ 2
sin θ
+ 2 2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ2
~=
divA
1
1 Évaluation du rayon d'un noyau atomique
On considère une surface sphérique, de rayon a, portant une charge électrique Q uniformément répartie sur cette surface.
1. Déterminer le potentiel électrostatique engendré par cette distribution en tout point
de l'espace.
On désire augmenter la charge portée par la surface sphérique de δQ. Pour cela, on
imagine qu'un opérateur extérieur déplace cette charge δQ depuis un point inniment
éloigné jusqu'à la surface de la sphère.
2. Quel est le travail δWop fourni par cet opérateur au cours de cette opération ?
3. En déduire l'énergie potentielle électrostatique de la sphère chargée portant la charge
Q sur sa surface.
4. Reprendre un raisonnement analogue pour montrer que l'énergie potentielle électrostatique d'une boule de rayon a portant une charge Q uniformément distribuée
dans son volume s'écrit :
Ep (Q) =
3 Q2
20π ε0 a
On considère deux noyaux atomique supposés sphériques de même rayon a, uniforA Y.
mément chargés en volume : AZ X et Z+1
5. Exprimer leur diérence ∆Ue d'énergie électrostatique en fonction de Z et a.
6. On mesure ∆Ue ∼ 2, 79 MeV entre 115 B et 116 C. En déduire a en fermi (1 fm =
10−15 m).
2 Modélisation surfacique
On considère une distribution de charges à symétrie sphérique de centre O, de densité
volumique de charges en M telle que :

 0
ρ0
ρ(M) =

0
pour
pour
pour
0 ≤ r < a (a > 0)
a ≤ r < a + ε (ε > 0)
a+ε≤r
1. Déterminer le champ électrostatique en tout point de l'espace.
On fait tendre ε vers 0 en maintenant constant le produit ρ0 ε.
2. En déduire la nouvelle expression du champ électrostatique.
3. Montrer que ce champ est le même que celui créé par une distribution surfacique de
charge uniforme σ0 répartie sur une sphère de rayon a. Exprimer σ0 en fonction de
ρ0 et ε.
2
4. Vérier que la relation donnant la discontinuité du champ électrique à la traversée
d'une surface chargée est bien vériée :
~ (P2 ) − E
~ (P1 ) = σ(P) ~n1→2
lim E
P 1 →P
ε0
P 2 →P
3 Point matériel dans un tunnel
La terre, considérée comme une boule homogène, est percée d'un tunnel entre deux
points de sa surface. Ce tunnel est diamètre susamment petit pour ne pas modier de
manière signicative le champ de gravitation local.
1. Déterminer le champ gravitationnel en tout point à l'intérieur de la terre.
2. Étudier le mouvement d'un point matériel glissant sans frottement dans le tunnel.
4 Détection de gisements par gravimétrie
On modélise la Terre comme une sphère de rayon R et homogène avec une masse
volumique ρ.
1. Calculer le champ de gravitation ~go à la surface de la Terre.
On considère un gisement correspondant à un défaut d'homogénéité de la Terre :
dans une sphère de centre O' et de rayon R0 < R, entièrement enfouie dans la Terre
à une profondeur h > R0 , la masse volumique est ρ0 < ρ.
2. Quelle est alors la variation δggoo de la norme du champ de pesanteur au point A situé
à la surface de la Terre, à la verticale de O' ?
5 Fils innis chargés
λ0 .
On considère un l rectiligne inni chargé avec une densité linéique de charge uniforme
~ M) en tout point M de l'espace, puis le potentiel
1. Calculer le champ électrique E(
V (M).
3
~ sur une même
2. Tracer l'allure des surfaces équipotentielles et des lignes de champ de E
gure.
3.
4.
5.
6.
7.
On considère maintenant le système formé par deux ls innis, parallèles à l'axe Oz
et distants de 2a. L'un, chargé uniformément avec la densité linéique −λ0 , passe
par le point A (−a, 0, 0) du plan xOy , l'autre, chargé uniformément avec la densité
linéique +λ0 , passe par le point B (+a, 0, 0).
Déterminer le potentiel électrostatique V (r, θ) en un point M du plan xOy repéré par
ses coordonnées polaires (r, θ), tel que r a. On conservera cette approximation
pour la suite.
Montrer que les courbes équipotentielles, intersection des surfaces équipotentielles
avec le plan xOy , sont des cercles dont le centre est sur l'axe Ox. Déterminer l'abscisse
x0 de ce centre pour l'équipotentielle V = V0 .
Tracer l'allure des lignes équipotentielles dans le plan xOy . En déduire celle des lignes
de champ électrique.
Déterminer les expressions des coordonnées polaires Er (r, θ) et Eθ (r, θ) du champ
électrique.
L'équation polaire des lignes de champ est du type :
r
= Cte
sin θ
Vérier la cohérence de ce résultat. Montrer que les lignes de champ sont des cercles
dont le centre est sur l'axe Oy .
8. Vérier sur le graphe déjà esquissé.
6 Potentiel de Yukawa
On considère un potentiel V (M ) = 4πεq 0 r exp − ar dans un espace où r représente la
distance d'un point xe O au point courant M.
~
1. (a) Déterminer le champ électrostatique E(M
).
~
(b) Calculer le ux Φ(r) de E(M
) à travers une sphère (S) de centre O et de rayon
r.
~
(c) si r → 0, que deviennent E(M
) et Φ(r) ? Interpréter les résultats obtenus.
2. (a) En appliquant le théorème de Gauss sur la surface limitant l'espace compris
entre le rayon r et le rayon r + dr, déterminer la densité volumique de charge
en tout point M.
(b) Calculer q 0 la charge intérieure à la sphère (S).
(c) Décrire la distribution de charges. Que pourrait-elle modéliser ?
4
7 Évolution d'un système de quatre charges identiques
On considère quatre particules ponctuelles identiques de masse m et de charge q maintenues aux sommets d'un tétraèdre régulier de côté d. À t = 0, on abandonne simultanément
les quatre particules sans vitesse initiale. Déterminer pour chacune d'elle, sa trajectoire et
sa vitesse limite.
5