3ème 2008-2009 Nombres entiers et décimaux. Comparaison I. Les nombres entiers Rappel Un nombre entier est un nombre qui peut s'écrire sans virgule. 1/ Nombres et chiffres De même que les vingt-six lettres de l'alphabet permettent d'écrire tous les mots de la langue française, les dix chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 de notre numération sont suffisants pour écrire tous les nombres rencontrés en classe de 6ème. C'est rendu possible grâce à l'écriture de position : la place du chiffre indique aussi sa valeur. A retenir « Tous les nombres s'écrivent grâce aux dix chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 » S'exprimer « 4875 est un nombre composé de quatre chiffres : 4, 8, 7 et 5 » Exemples • 1 024 possède quatre chiffres. Le chiffre 2 représente vingt unités car c'est le chiffre des dizaines (le • deuxième chiffre en partant de la droite). 548 429 possède six chiffres (en réalité cinq différents). Le chiffre 4 apparaît deux fois mais représente une valeur différente suivant sa position. Lorsqu'il est à la troisième place en partant de la droite, il représente quatre cents. Lorsqu'il est à la cinquième place en partant de la droite, il représente quatre mille. La numération romaine Les chiffres les plus connus du système romain sont : I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) et M (1000). Cette numération n'attribue de la même façon une valeur aux chiffres suivant leur position (position absolue). Par exemple, le nombre III est composé de trois fois le chiffre I qui a la même valeur : 3 fois une unité. Alors que dan s notre numération 111 est un autre nombre. Cependant, la position des chiffres entre eux (position relative) est importante : IV vaut 4 et VI vaut 6. Par exemple, 1789 se note MDCCLXXXIX d'après la correspondance suivante : • M→1000 • D → 500 • C → 100 • L → 50 On observe bien dans cet exemple en quoi notre numération de position est plus économique. http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDP=137&IDD=0 D'où l'importance de connaître parfaitement le tableau suivant... 3ème 2008-2009 2/ Tableau d'écriture des nombres entiers un ité s diz ain es ce nta ine s i l le m diz ain es de m ce nta ine sd em m illi on s illi ille on s on s illi diz ain es de m Classe des unités ille Classe des mille Classe des millions ce nta ine sd em ar ds illi m illi diz ain es de m ce nta ine sd em illi ar ds ar ds Classe des milliards Méthode de lecture des nombres Pour lire correctement un nombre, il est intéressant de regrouper les chiffres par trois (c'est à dire par tranche) en partant de la droite : 10 4 965 87 23 = 1 049 658 723 se lit " un milliard quarante-neuf millions six cent cinquante-huit mille sept cent vingt-trois ". A retenir • Le nom de chaque chiffres dans un nombre entier : « chiffre des unités, chiffre des dizaines ... ». • Le nom des classes : « classe des milliards, classe des millions... » II. Les nombres décimaux Introduction Pour écrire des nombres compris entre deux nombres entiers, on utilise la virgule (séparateur décimal). Par exemple « une et demi » s'écrit 1,2, ou encore 1€ et trente centimes s'écrit 1,3. Les chiffres situés à droite de la virgule désignent des parties de l'unité et ceux situés à gauche des multiples de l'unité. Définition La partie entière d'un nombre décimal est le nombre situé à gauche de la virgule. La partie décimale d'un nombre décimal est le nombre situé à droite de la virgule. Décomposition en partie entière, partie décimale 1548,0154=15480,0154 3ème 2008-2009 Tableau d'écriture des nombres décimaux 7 1 5 8 0 6 8 0 Ce nt milliè me M il lion ièm e - mil lièm e D ix Ce nt iè me ièm e D ix 74 , 3 307 , 0 1005 , 1 , , M il lièm e Partie décimale Partie entière 2 Exemple 74,378 représente 7 dizaine, 4 unités, 3 dixièmes, 7 centièmes et 8 millièmes. A savoir parfaitement Le nom de chaque chiffre dans le partie décimale : « chiffre des dixièmes, chiffre des centièmes... » Faire le jeu : _ _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ _ (montrer l'emplacement et interroger sur le nom du chiffre) Lecture des orale des nombres décimaux 12,48 se dit « 12 et 48 centièmes » 7458,089 se dit « 7 et 89 millièmes » III. Décompositions d'un nombre décimal 1/ Décomposition décimale 12,47=1×102×14×0,17×0,01 A connaître par coeur 0,1 est un dixième 0,01 est un centième ....... 3ème 2008-2009 2/ Décomposition fractionnaire Il est important de connaître par cœur le tableau suivant : Écriture en toutes lettres Écriture décimale Écriture fractionnaire un dixième 0,1 1 10 un centième 0,01 1 100 un millième 0,001 1 1000 un dix-millième 0,0001 1 10000 un cent-millième 0,00001 1 100000 un millionième 0,000001 1 1000000 Décomposition fractionnaire 4 100 4 2 7 3538,427=3538 10 100 1000 36, 4 représente 36 unités et 4 dixièmes d'unités. On a donc : 36,04=36 De même : 74,378=74 3 7 8 ou encore 10 100 1000 Décomposition en partie entière, partie décimale (2ème version) On a aussi 3538,427=3538 427 1000 Remarque (voir chapitre écritures fractionnaires) 3 2 7 ; et sont appelés des écritures fractionnaires car le dénominateur est égal à 10, 100, 1000 ... 10 100 1000 Une fraction décimale est une fraction ayant comme dénominateur un multiple de dix. Les décompositions à connaître 432 → décomposition en partie entière, partie décimale 1000 79,432=7090,40,030,002 → décomposition décimale chiffre par chiffre 79,432=7×109×1 4×0,13×0,01 2×0,001 → décomposition décimale détaillée 1 1 1 79,432=7×109×1 4× 3× 2× → décomposition fractionnaire détaillée 10 100 1000 79,432=790,432=79 Remarque On pourra parler des « zéros inutiles ». 3ème 2008-2009 IV. Comparaison 1/ Avec deux nombres Définition Comparer deux nombres décimaux, c'est dire si l'un est plus grand, plus petit ou égal à l'autre. Exemples 5,02 est plus petit que 5,2 . 7,2 est plus grand que 2,7 . 02,20 est égal à 2,2 . Vocabulaire 51,2 est inférieur à 512 51,2 est supérieur à 5,12 . 5,21 est différent de 5,12 . Notation Le symbole « supérieur à » se note ≠ est le symbole « différent ». et le symbole « inférieur à » se note . Méthode 1 37,999 42,01 car 37 42 49,09949,1 car 099100 ( 49,1 =49,100 ) • On compare les parties entières ; • si les parties entières sont égales, on ajoute (éventuellement) des zéros dans la partie décimale pour obtenir le même nombre de chiffre ; • on compare les parties décimales ainsi écrites. Méthode 2 49,099 49,1 car en comparant les chiffres des dixièmes, on a 01 . • • • • • On compare les parties entières ; si les parties entières sont égales, on compare chiffre par chiffres ; si le chiffres des dixièmes sont égaux, on regarde le chiffre des centièmes ; si le chiffres des centièmes sont égaux, on regarde le chiffre des millièmes ; etc. 2/ Avec plusieurs nombres Définition Ranger des nombres par ordre croissant, c'est les classer du plus petit au plus grand. Ranger des nombres par ordre décroissant, c'est les classer du plus grand au plus petit. Exemple 125,4125,3215100,7845699,7845699,90,9999999 sont rangés dans l'ordre décroissant. Définition Encadrer nombre, c'est trouver deux autres nombres : l'un plus petit et l'autre plus grand. 3ème Exemple 5151,012552 Dans cet exemple, 51,0125 est encadré par 51 et 52 On dit aussi que 51,0125 s'intercale entre 51 et 52 . Vocabulaire : « suivre, précéder » On dit que 999 est le premier nombre entier qui suit 998,9584 . On dit 998 est le premier nombre entier qui précède 998,9584 2008-2009