aperçu sur la notion de quasi-composante d`un espace topologique

APERÇU SUR LA NOTION DE QUASI-
COMPOSANTE D'UN ESPACE TOPOLOGIQUE
Autor(en): KURATOWSKI, K.
Objekttyp: Article
Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 15 (1969)
Heft 1: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-43219
PDF erstellt am: 24.05.2017
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APERÇU SUR LA NOTION DE QUASI-COMPOSANTE
D'UN ESPACE TOPOLOGIQUE 1)
K. KURATOWSKI
Ala mémoire de J. Karamata
§1. Topologie-quotient. Rappelons quelques notions et théorèmes
dont nous allons nous servir dans la suite (comp. [I], p. 42, et [s], vol. T,
§19).
Soit x~y une relation d'équivalence définie pour les éléments d'un
espace X. Cette relation induit une décomposition de Xen ensembles dis
jointsqui s'obtient en rangeant dans un même ensemble deux éléments x
et ylorsque x~yet dans ce cas seulement. La famille de tous ces ensembles
(nommés classes d'équivalence) est dite espace-quotient et est désignée X/~.
Soit P(x) le membre de X/~qui contient x; c'est-à-dire xeP(x) e(X/~).
L'application P: X->(X/~) est nommée projection de Xsur X/~.
L'espace Xétant supposé topologique, on munit X/~ d'une structure
topologique, nommée topologie-quotient, en convenant qu'un sous
ensembleE de XI~est ouvert dans ce cas et dans ce cas seulement lorsque
l'union des ensembles-éléments de Eest un sous-ensemble ouvert de X;
ou bien, ce qui revient au même: Eest fermé dans X/~ lorsque l'union
de ses éléments est fermée dans X.
Evidemment, l'application Pest continue. Plus encore, si GaXest union
de membres de X/~, Gest ouvert (fermé) lorsque P(G) est ouvert (fermé)
et dans ce cas seulement.
La relation x~y est dite fermée lorsque l'ensemble de couples (.v, j)
tels que x~y est fermé dans le produit XxX. On démontre le théorème
suivant (cf. [s], vol. I, p. 140).
Théorème 1. Si Vespace-quotient X/~ est un espace de Hausdorff
(autrement dit, est un espace séparé), la relation x~y est fermée.
1) Cette note contient les principaux résultats présentés dans ma conférence tenue le 11 mai 1967 à
l'Université de Genève.
J'y ai réuni quelques théorèmes et exemples nouveaux en les complétant des résultats connus qui m'ont
paru intéressants au point de vue de leur généralité ou de leurs applications.

Théorème 2. Etant donné deux relations d'équivalence ~et «dont la
première implique la deuxième (en symbole ~c«, c'est-à-dire que
x~y=>x?y), Vespace-quotient X/« &rt i#ze /mage continue de X/~.
P/ws précisément, en faisant correspondre àAe(X/~) l'ensemble
B(A) e(X/«) #wz contient A, l'application B: (X/~)-&# continue.
Soit, en effet, Ecl/^. On constate aussitôt que l'union des ensembles
élémentsde i?"1(E) est identique àcelle des ensembles-éléments de E, et la
dernière est ouverte dans Jf dès que Eest ouvert dans X/&. Il en résulte
que J5" 1(E) est ouvert dans Xj~.
§2. Connexité. Composantes. Rappelons qu'un espace topologique
est dit connexe lorsqu'il n'admet pas de décomposition en deux ensembles
fermés, non vides et disjoints.
Par conséquent, un sous-ensemble d'un espace topologique est connexe
lorsqu'il n'admet pas de décomposition en deux ensembles non vides Aet B
tels que
{A désignant la fermeture de A).
Convenons que dorénavant x~y veut dire que xet yse laissent unir
par un sous-ensemble connexe de l'espace X. Bien entendu, la relation x~y,
ainsi définie, est une relation d'équivalence et les membres de l'espace
quotientX/~, nommés composantes de X, sont les sous-ensembles maxi
mauxconnexes de X. Autrement dit, la composante de x, désignée comme
auparavant P(x), est l'union de tous les sous-ensembles connexes de Xqui
contiennent x.
Le problème s'impose de reconnaître quelles sont les propriétés de
l'espace Xqui se conservent par le passage àl'espace-quotient X/ ~?
La propriété d'être un espace 7\ se conserve évidemment puisque les
composantes sont des ensembles fermés. Cependant, il n'en est rien de la
propriété d'être un espace de Hausdorff. Pour s'en convaincre, il suffit
(comme nous l'avons mentionné dans le §1) de définir un espace de Haus
dorffpour lequel la relation x~y n'est pas fermée. Tel est l'espace Esuivant
(qui est d'ailleurs métrique).
Exemple 1. Soit Eun ensemble qui est situé sur le plan Xx Yetse
compose des points p=(0, 0), q=(1, 0) et des segments (o<x<l,jf=l/«)
où n=1, 2, ... En posant pn=(0, 1/ri) et qn=(1, 1/w), il vient
tandis que pnon ~q. Cela prouve que la relation ~n'est pas fermée.

§3. Connexité entre deux points. Quasi-composantes. L'espace Xest
dit connexe entre xet y, en symbole x&y, lorsque Xne se laisse pas décom
poseren deux ensembles ouverts disjoints Get Htels que xeG et yeH; ou
bien ?ce qUirevient au même ?lorsqu'il n'existe aucun ensemble fermé
ouvertF tel que xeFet yeX?F.
La relation x»j est une relation d'équivalence. Les classes d'équiva
lences,c'est-à-dire les membres de l'espace-quotient X/& (que nous dési
gneronsaussi £(X)), sont nommées quasi-composantes de l'espace X. En
désignant par Qla projection de Xsur X/&, Q(x) est donc la quasi
composantedu point xdans X. On constate facilement que Q(x) est l'inter
sectionde tous les ensembles fermés-ouverts qui contiennent x. En outre,
si Fest fermé-ouvert et FnQ(x) 7^ 0, 0/7 aQ(x) c: F.
En ce qui concerne le rapport des relations ~et », on constate aussitôt
que si les points xet yse laissent unir par un sous-ensemble connexe de X,
l'espace Xest connexe entre ces points. En symbole, ~<= »;ou encore:
la composante du point xest contenue dans sa quasi-composante. Cependant
elle ne lui est pas nécessairement identique; telle est, dans l'exemple 1, la
composante du point p, qui se réduit àce point, tandis que la quasi-compo
santede pse compose de deux points, pet q.
L'inclusion ~c»implique en vertu du théorème 2le suivant:
Théorème 3. X/» est image continue de X/~
§4. Espaces totalement discontinus. Un espace topologique est dit
totalement discontinu lorsque toutes ses quasi-composantes se réduisent à
des points individuels. Autrement dit: lorsque cet espace n'est connexe
entre aucun couple de ses points 2).
Evidemment, tout espace totalement discontinu est un espace de Haus
dorff.
Théorème 4. L'espace £(X) est totalement discontinu ;// est donc un
espace de Hausdorff.
Soient, en effet, Pet Rdeux éléments différents de £(X). Il existe donc
un ensemble Hfermé-ouvert cX tel que Pc: Het HnR =0. L'ensemble
Q(H)a2 (X) est donc aussi fermé-ouvert, Pe Q(H) et Re Q(X~H). Par
conséquent, £(X) n'est pas connexe entre Pet R.
Remarque 1. Il en résulte (cf. §1) que la relation x»y estfermée. Cette
propriété de la relation x?y présente un avantage essentiel envers la rela
tionx~y.
!) Ce terme est employé parfois dans un sens différent.

Remarque 2. L'espace £(X) n'est pas nécessairement régulier (même
dans le cas où Xest métrique). Tel est l'exemple suivant, dû àM. Lelek.
Rappelons d'abord qu'un espace topologique Eest dit régulier lorsque,
pour tout ensemble fermé Fet tout point pgE? F, il existe deux ensembles
ouverts et disjoints Get Htels que peGet FaH.
Or, soit Xl'espace situé sur le plan euclidien et composé des parties
suivantes (qui en sont, en même temps, les quasi-composantes):
1° les segments verticaux (xnk,o<>><l), où
2° de l'ensemble Fdes points (1/2", 1) où n=o,l, ...
3° du point p=(0, 0).
On constate facilement qu'il n'existe aucun couple d'ensembles ouverts,
disjoints Get Htels que peG, Fa. Het qui soient unions des quasi-compo
santesde X.
Il en résulte que l'espace £(X) n'est pas régulier.
Théorème 5. Si Xest totalement discontinu, l'espace fi (X) lui est
homéomorphe.
En effet, en attachant àtout xeXl'ensemble {x} composé du point x,
on définit l'homéomorphisme demandé.
Remarques. Il en résulte que l'espace fi (X) n'est pas nécessairement
de dimension 0, car il existe des espaces totalement discontinus (complets
séparables) de dimension arbitraire (voir [B], p. 311).
Ajoutons que l'on peut introduire dans l'espace £(X) une topologie
(différente de la topologie-quotient) dans laquelle dim £(X) ?-0, quel que
soit X(cf. [2] et [7]). Bien entendu, pour cette topologie, le théorème 5est
en défaut.
§5. Rapports au discontinu de Cantor généralisé. Désignons par D
l'ensemble composé de deux points 0et 1. Le produit cartésien dénom
brableD^° est bien le discontinu de Cantor, désigné par C. Si mest un
nombre cardinal arbitraire, Dmest nommé discontinu de Cantor généralisé.
Lemme. Si Xest totalement discontinu, il existe une fonction continue
biunivoque (une injection) f: X->Dm,où mest un nombre cardinal convena
blementchoisi.
Plus précisément, si {Ft}où teT, est une famille d'ensembles fermés
ouvertstelle qu 'à tout couple x0=# x1correspond un teT tel que x0gFt et
xieX ?Ft,?on peut admettre que mest la puissance de T.