Une structure uniforme sur un espace F (E, F)

C AHIERS DE
TOPOLOGIE ET GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
CATÉGORIQUES
N. B OULEAU
Une structure uniforme sur un espace F (E, F)
Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques, tome
11, no 2 (1969), p. 207-214
<http://www.numdam.org/item?id=CTGDC_1969__11_2_207_0>
© Andrée C. Ehresmann et les auteurs, 1969, tous droits réservés.
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Vol. XI,2
CAHIERS DE TOPOLOGIE
ET GEOMETRIE DIFFERENTIELLE
ESPACE F(E,
UNE STRUCTURE UNIFORME SUR UN
F)
par N. BOULEAU
Soient E
de
cette
des
étude
un
est
applications
espace
topologique,
alors d’introduire
une
et
et
que, si
un
espace uniforme.
topologie sur F(E, FJ,
de E dans F, telle que
tions continues soit continue
F
suite de fonctions continues
chaque point vers une fonction continue, elle
cette fonction pour cette topologie.
Plus précisément, nous définirons sur F(E , F)
uniforme possédant les propriétés suivantes :
converge
en
1°) C(E’ , F)
est
fermé
ensembles
limite d’une suite de fonc-
toute
une
L’objet
dans F(E , F)
converge
muni de
vers
une
structure
cette
structure
uniforme.
2°) La restriction de
valente à la
structure
cette structure
uniforme
à C(E,
F)
est
équi-
uniforme de la convergence
Nous étudions ensuite
simple.
plusieurs applications de
cette
topologie.
1 . Structure uniforme de la V -convergence.
Soit E
W
un
un
espace
entourage de F, A
topologique et soit
une partie finie de
F
E
un
et
espace uniforme. Soit
soit
UW,A
couples ( f , g ) £ F (E , F ) x F (E , F ) tels qu’il existe
V
des points
,..., Va n
de A tels que l’on ait :
des
des
l’ensemble
voisinages
1 .’ Lorsque W décrit un système fondamental d’entourage
de F et lorsque A décrit l’ensemble des parties finies de E, les
’lJw. A
décrivent un système fondamental d’entourages d’une structure uniforme sur
9:(E, F ), appelée structure uniforme de la V -convergence.
PROPOSITION
D E M O N S T R A T I O N .
Il suff it de vérifier que les axiome s
207
des systèmes
fondamentaux
d’entourages
chaque
et,
comme
est
démontrée.
F(E,
UW,A
contient la
F ) muni de
P R O P O SIT IO N 2 .
vérifiés. Or :
sont
diagonale
de
F(E,
F ) , la proposition
noté FV(E, F ) .
cette structure sera
uniforme de la V -convergence est plus fine
simple et moins fine que celle de la conver-
La structure
que celle de la convergence
uni forme locale.
Ces propriétés se voient immédiatement en
d’entourages de ces différentes structures uniformes.
gence
PROPOSITION
L’ensemble
3.
uniformes induites
convergence simple et de
structures
de la
comparant les filtres
C(E,F) est fermé dans FV(E, F). Les
sur C(E,F) par les structures uniformes
la V-convergence sont équivalentes.
DEMONSTRATION.
a) Soit g
£ C(E , F)V,
adhérence de
C(E , F)
dans
FV ( E , F ) ,
continue en xo : Soient W et W’ des
entourages de F tels que W’ C W . Il existe f £ C(E, F) telle que (f , g) E
soit xo
E
UW’,x,
c’est-à-dire
E
et montrons
qu’il
que g
existe
est
un
voisinage
V x 1 de xo
tel que :
o
n
n
D’autre part
f
étant
continue, il existe
un
Vx2 de xo
voisinage
tel que :
0
donc
donc g
est
continue
en
b) Il suffit de
la V -convergence
pour
tout
UW,A
est
x 00 .
montrer
que
sur C( E , F )
la
structure
moins fine que celle de la convergence
entourage
de CV(E, F)-,
208
il existe
un
uniforme de
simple : i.e.
entourage é de
3
et
soit W’
un
Cs (E , F)
entourage de F tel que W’ C W ; considérons
l’entourage
de
défini par :
Le fait que
f
et g
sont
continues
implique
que
REMARQUES.
1°) Si la
di ,
structure
uniforme de F
est
définie par les semi-distances
i 6/, la structure uniforme de la V -convergence peut
définir par les
se
semi-distances :
où
Va k
désigne
l’ensemble des
voisinages
de
ak dans
E
et
A l’ensemble
fini {a1 ,..., an}.
2°) Si
pour
tout x
(ensemble
un
filtre F
dans E
des
converge
et tout
voisinages
dans FV( E , F ) : f = lim f i ,
un
V
E
°
tels que
f.
et
entourage W de F, il existe
de x )
fonction
et une
f
6V
alors
fi
soient voisins d’ordre W dans V.
PROPOSITION
forme séparé,
4.
Soient E
soit H
Ce(E,
pour la V -convergence, il
1°)Vx, H(x)
2° )
logie
faut
topologique
F
espace uniF ) ; pour que H soit relativement compact
et il suffit que :
un
espace
et
un
soit relativement compact dans F , et
Hs CC(E, F) , HS désignant
de la convergence
la
f ermeture
de H pour la topo-
simple.
D’après la proposition 3 , ces conditions sont suffisantes. Montrons qu’elles sont nécessaires :
Supposons donc H relativement compact pour la V-convergence.
Vx E E l’application /- f(x ) de FV ( E , F ) dans F est continue, puisque la V -convergence est plus fine que la convergence simple, donc H (x)
DEMONSTRATION.
est
relativement compact dans F .
209
H-V C: 7Î’
Pour la même raison
de FV (E , F ) dans 5s(E,F)
donc fermé. Comme
donc
Hv
=
HS.
HV
continue,
puisque l’injection canonique
Hv
est
compact dans
HV
contient H , nécessairement
la
D’après
est
et,
proposition 3,
on a
Fs (E , F ),
contient
HS,
donc :
2 . Critère de V - convergence.
Même
complet;
Cauchy,
si
F
complet, FV (E , F)
est
toutefois il existe
ne
n’est pas nécessairement
critère de convergence
un
qui,
comme
celui de
fait pas intervenir la limite du filtre étudié :
P R O P O SIT IO N
Soit E
5.
un
espace
topologique
et
soit F
espace uni-
un
forme complet défini par les semi-distances di, i E l. Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un filtre 3 sur 5v( E , F) soit convergent
est que :
Condition nécessaire :
Si F
Soit
x
V -converge
fixé, le
l,
vers
filtre F(x)
on a :
converge
l(x) dans F, donc
vers
d’ où le résultat.
Condition
su f fisante :
On remarque d’abord
filtre de
Cauchy
que que le
dans F; soit 1 x )
filtre Z5 V -converge
R E M A R QU E . Si F
-
qu’elle implique
est
vers
sa
que le
limite; alors
filtre Z5
on
voit
(x)
est un
qu’elle impli-
l.
seulement
analogue pour les suites. Par
séquentiellement complet, une
séquentiellement complet, on a un critère
exemple, si Y est un espace vectoriel normé
suite
{fn}
210
converge
dans FV(X, Y)
si,
et
seulement si :
On déduit .de
Il n}
que la série
E (x)
V -converge.
PROPOSITION 7.Soit
n -
et
1
1 /,,l
d’applications
suite
une
e,,(x)1,
une
fonction
S(x) continue.
le fait que
critère ci-dessus, que
de X dans
un
espace
A ( x ) étant localement
vérifiani
continues de X dans R , tendant
e
telles que la série’
vers
fonction
fonction conti-
converge vers
converge
vers une
zéro pour
une
de X dans Y .
Cette
la
vers
vers
eàtraîne, d’après le
continue. Alors la série
nue
x
,
la série
00
espace de Banach .
Comme
converge
bornée. Soit
un
chaque point
en
converge
la série
Y
Y
continues de X dans Y. On suppose
continue. Alors la séri
Banach
suivantes :
topologique,
espace
un
converge
DEMONSTRATION.
de
applications
d’applications
suite
une
critère les
Soient X
P R O P O SI T IO N 6.
Soit
ce
r ègle
proposition
se
démontre
d’Abel pour les séries
critère de
en
comme
on
démontre habituellement
utilisant le critère ci-dessus
au
lieu du
Cauchy.
3 . Sous-ensembles fermés pour la V -convergence
semi-locules.
et
propriétés uniformes
toujours E un espace topologique et F un espace uniforme;
qu’une propri été P ( P C 9:(E, F)) est uniforme semi-locale si, et
Soient
on
dira
seulement si, pour
tout
V x £ E, V W
f E F (E , F)
entourage de F,
voisins d’ordre W
implique f
E
sur
3 g £ P et 3 V £ Vx
avec
f
et g
V
P.
PROPOSITIONS. Pour que
locale, il
la condition :
faut
et
il
suffit
PC j=( E, F)
que P soit
La condition ci-dessus
est en
soit
fermé
effet
211
une
propriété uniforme
pour la V -convergence.
équivalente
à la suivante :
semi-
A C E, A
f
avec
et
fini, VW entourage de F,
g d’ordre W
sur
3g£P
3 Vn £ Va
et
U Vn.
n
qui
peut elle-même s’énoncer :
v
WW,A
entourage de
FV(E, F), 3g£ P tel que
et g soient d’ordre
f
WW,A,_
c’est-à-dire
f
e
P; d’où la proposition.
Dans la suite
semi-locales.
ou
nous
allons rechercher
Exemples : continuité ,
supérieure.
De même
on montre
si F
uniformes
quelques propriétés
=
R semi-continuité inférieure
facilement le résultat suivant :
espace topologique et Y un espace uniforme métrisable; soit a. £ X avec lim
an = a. Soit
1 l’ensemble
n
des fonctions de X dans Y telles que lim f(a n) existe. Alors :
PROPOSITION
Soient X
9.
un
H {an
n
a) H{an}
b) si
En
une
est fermé dans FV(X, Y);
suite de fonctions
fp 6/Yt anl V -converge
particulier
l’ensemble des fonctions
vers g
on a
de R dans R
réglées
est
fermé pour la V -convergence.
PROPOSITION
Soit X
10 .
un
espace
vectoriel Flb (X, Y) de
bornées est f ermé dans 9:v(x, Y ) .
sous-espace
topologique
F(X,
La structure de la V -convergence est
d’espace vectoriel
de
ce
sous-espace
et est
et
soit Y
un
e.v. t.
Le
Y) des fonctions localement
compatible
localement
avec
la
convexe
structure
si Y l’est.
DEMONSTRATION.
a) Etre localement borné
donc Flb(X, Y )
b ) Soit
W
forment, lorsque
Y,
un
est
un
est une
propriété
uniforme
semi-locale,
fermé.
voisinage
de 0 dans Y; les ensembles
W décrit l’ensemble des
système invariant par homothétie
voisinages équilibrés de 0 dans
et formé de voisinages équilibrés.
212
Comme
voit facilement que la
on
sont
localement bornées
ture
de la V -convergence
riel
de 5,b(X, Y ) .
et
de
est
Flb(X, Y )
donc
les WW,A n Flb (X, Y)
de groupe additif
structure
V -convergence
et
compatible
est
comme
la
avec
l’est
PROPOSITION
10 .
avec
la
f E F lb (X , Y )
les
absorbants, la
struc-
d’espace
vecto-
structure
La dernière assertion résulte de
convexe, WW,A
compatible
que, si W est
ce
également.
Soit X localement compact et soit 03BC
une mesure
de
fonctions 03BC-mesurables et l’enfonctions localement 03BC-intégrables sont fermé.s pour la V-
Radon positive
semble des
sur
X . L:’ensemble des
convergence.
Cela revient à
DEMONSTRATION.
mesurable
mes
montrer
propriétés d’être 03BCdes propriétés unifor-
que les
d’être localement
et
semi-locales. Soit donc
03BC-intégrable sont
f £ F(X, R ) telle que :
telle que
dans V ,
Soit
v1
est
Vn ,
...,
n
localement U -intégrables) .
V étant 03BC-mesurable (resp.
compact de X; il existe un nombre fini de V, soient
f 8,
K
recouvrant
K . La fonction g 8 définie par
1
et
l’on
|g£-f|
a
/-£-intégrable) si on choisit les V k
dans K. Donc f est /i-mesurable (resp.
localement
u-mesurable (resp.
ouverts;
k -1
£
localement u -intégrable) Si
Y
métrisable,
est
sable ; toutefois
on a :
PROPOSITION
11 .
l’infini
fo
et
soit Y
e A, il existe
un
DEMONSTRATION.
Y. Soit K
Km
un
que, pour
X
un
A C Y v ( X,
sous-ensemble dénombrable
Soit d
une
compact de X;
tout
de A telle que, pour
n’est pas nécessairement métri-
espace localement compact dénombrable à
Y); si
espace uni forme métrisable. Soit
Soit
un
5v(X, Y)
distance
on
voit
couple d’ entiers
tout
en
sur
213
tel que
fo e A
Y définissant la structure de
utilisant la
m , n ,
ensemble de m
A I de A
il existe
points tk
compacité de l’espace
une partie
finie Am,n
de K , il existe
f £ Am,n
m
et
des
déduit
voisinages V k E àkk
la propriété, puisque
PR O P O SITION
d ( fo, f) 1
tels que
X
est
o
sur
n
D’où
U
k=l V k.
on
réunion dénombrable de compacts.
Soient X , Y deux espaces métrisables, X étant loca-
12.
l’infini. Alors :
fonctions boréliennes
lement compact dénombrable à
a) L’ensemble des
b)
Pour
tout
boréliennes de classe
ordinal dénombrable
a
est
Cette
DEMONSTRATION.
fermé
lienne de classe a) dès que les
de classe OL)
K,
on
en
se
démontre
10: Avec les mêmes notations g £
proposition
les
l’ensemble des
a,
fonctions
5V(X, Y ) .
dans
proposition
FV(X, Y).
fermé dans
est
est
exactement comme
borélienne
(resp.
la
boré-
f£, Vk sont boréliennes (resp. boréliennes
Vk fermés. Comme g £ approche f uniformément sur
déduit que la restriction de f à K est borélienne (resp. boréet
lienne de classe a). Il
en
résulte, puisque
de compacts donc de fermés, que g
est
X
réunion dénombrable
est
borélienne
(resp.
borélienne de
classe a).
propositions suivantes sont les expressions
V -convergence de propriétés de fonctions continues.
Les deux
de
PRO P OSITION
Soit
13.
formé d’applications
une
Y), X compact, Y métrisable,H étant
continues et tel que toute suite de
valeur d’adhérence pour la V -convergence. Alors
DEMONSTRATION.
Cf.
DE
H C e ( X J R)
tel que :
Alors
fiV
=
désignant
Bourbaki,
e.v.t,
Chap. IV, §2,
STONE-WEIERSTRA SS.
TH EOREME
Hu
H C F(X,
fermeture
de
Bagno
A.
un
H
de H pour la convergence
N. BOULEAU
rue
Soit X
Hu, HV désignant la f ermeture de
la
en termes
Ripoli
92 - Plessis-Robinson
214
points
HV
ex.
de H admette
est
compact.
15.
espare compact
et
dans 5V(X, R)
et
uniforme.