Page 1 1. Soit n et p deux nombres entiers naturels. a) La somme n

1. Soit n et p deux nombres entiers naturels.
a) La somme n + p est encore un entier naturel.
En effet,
n=11
n termes égaux à 1
,
p=11
p termes égaux à 1
et
np=n×1p×1=np×1
soit la somme de
np
termes égaux à 1.
b)
2∈ℕ et 3∈ℕ, mais 2–3∉ℕ
. La soustraction n'est pas toujours possible dans
ℕ
.
c) Pour
n=0,0×p=0
et pour
n=1,1×p=p
. 0 et p sont deux entiers naturels.
Pour
n2
,
n×p=p p
n termes égaux à l'entier p
. Il s'agit donc en fait d'une addition répétée.
Puisque la somme de deux entiers est un entier, la somme de n entiers l'est aussi.
Donc le produit
n×p
de deux entiers naturels est encore un entier naturel.
En revanche,
2∈ℕ et 3∈ℕ, mais 2÷3∉ℕ
. La division n'est pas toujours possible dans
ℕ
.
2. Soit n et p deux nombres entiers naturels.
Notons
1n
et
2p
les entiers relatifs égaux à
±n
et
±p
.
a) La somme
1n2p
est encore un entier relatif.
En effet : • si
1
et
2
sont égaux, (tous les deux à 1 ou tous les deux à -1), alors on trouve
1n2p=±np
• sinon,
1
et
2
ne sont pas égaux, l'un vaut 1 et l'autre (-1).
Supposons par exemple
1=1
et
2=−1
. Alors
1n2p=n−p
• Si
np , n – p∈ℕ
;
• Sinon,
np , n – p=–p – n
et
p – n∈ℕ
donc
–n – p∈ℤ
.
b) La différence de deux entiers relatifs est encore un entier relatif
puisque
1n−2p=1n−2p
et que
–2=±1
.
On est donc ramené à l'addition ;
c) Le produit
1n×2p=±n×p
de deux entiers relatifs est encore un entier relatif.
En revanche,
2∈ℤ et 3∈ℤ , mais 2÷3∉ℤ
. La division n'est pas toujours possible dans
ℤ
.
3. Soit n et p deux entiers relatifs, r et s deux entiers naturels et a et b deux nombres décimaux définis par
a=n
10r
et
b=p
10s
. On peut toujours supposer que
rs
et que
r=sm
, avec
m∈ℕ
.
ab=n
10rp 10s=n 10rp×10m 10s×10m=np×10m 10r
On retrouve bien un décimal comme quotient d'un entier par un puissance de 10.
Il en va de même pour la soustraction.
La multiplication de deux décimaux est un décimal, en effet,
a×b=n
10r×p 10s=n×p 10r×10s=n×p 10rs
.
La division de deux décimaux n'est pas toujours un décimal, voir l'exemple sur les entiers.
4. Pour les rationnels.
La somme, la différence, le produit et le quotient de deux rationnels est un rationnel.
En effet, soit m, n, p et q quatre entiers relatifs, avec
n≠0
et
q≠0
.
Alors,
m
np q=mqpn nq
,
m
n–p q=mq – pn nq
,
m
n×p q=mp nq
et pour
p≠0
,
m
n÷p q=m n×q p=mq np
.
5. Enfin, si a et b sont deux nombres réels alors leur somme, différence, produit ou quotient est encore un
nombre réel soit parce qu'ils sont tous deux rationnels, soit parce qu'ils sont tous deux irrationnels, soit parce
que l'un est rationnel et l'autre irrationnel.
soustraire, c'est ajouter l'opposé !
Correction du devoir 1 : n° 12 p. 23