Enoncé et corrigé pdf

Liban 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 (5 points) (commun à tous les candidats)
L’entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu’elle conditionne en petits pots de 50 grammes. Elle souhaite leur
attribuer la dénomination « compote allégée ».
La législation impose alors que la teneur en sucre, c’est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise
entre 0, 16 et 0, 18.Onditdanscecasquelepetitpotdecompoteestconforme.
L’entreprise possède deux chaînes de fabrication F1et F2.
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Partie A
La chaîne de production F2semble plus fiable que la chaîne de production F1.Elleestcependantmoinsrapide.
Ainsi, dans la production totale, 70%despetitspotsproviennentdelachaîneF1et 30%delachaîneF2.
La chaîne F1produit 5%decompotesnonconformesetlachaîneF2en produit 1%.
On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. Onconsidèrelesévénements:
E:«LepetitpotprovientdelachaîneF2.»
C:«Lepetitpotestconforme.»
1) Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.
2) Calculer la probabilité de l’événement : « Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F1.»
3) Déterminer la probabilité de l’événement C.
4) Déterminer, à 10−3près, la probabilité de l’événement Esachant que l’événement Cest réalisé.
Partie B
1) On note Xla variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans laproductiondelachaîneF1,associesa
teneur en sucre.
On suppose que Xsuit la loi normale d’espérance m1=0, 17 et d’écart-type σ1=0, 006.
Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.
α β P(α!X!β)
0, 13 0, 15 0, 0004
0, 14 0, 16 0, 0478
0, 15 0, 17 0, 4996
0, 16 0, 18 0, 9044
0, 17 0, 19 0, 4996
0, 18 0, 20 0, 0478
0, 19 0, 21 0, 0004
Donner une valeur approchée à 10−4près de la probabilité qu’un petit pot prélevé au hasard dans la production
de la chaîne F1soit conforme.
2) On note Yla variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans laproductiondelachaîneF2,associe
sa teneur en sucre.
On suppose que Ysuit la loi normale d’espérance m2=0, 17 et d’écart-type σ2.
On suppose de plus que la probabilité qu’un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F2soit
conforme est égale à 0, 99.
Soit Zla variable aléatoire définie par Z=Y−m2
σ2
.
a) Quelle loi la variable aléatoire Zsuit-elle ?
b) Déterminer, en fonction de σ2l’intervalle auquel appartient Zlorsque Yappartient à l’intervalle [0, 16;0, 18].
c) En déduire une valeur approchée à 10−3près de σ2.
On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire Zsuit la loi normale d’espérance
0et d’écart-type 1.
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βP(−β!Z!β)
2, 4324 0, 985
2, 4573 0, 986
2, 4838 0, 987
2, 5121 0, 988
2, 5427 0, 989
2, 5758 0, 990
2, 6121 0, 991
2, 6521 0, 992
2, 6968 0, 993
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Liban 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 : corrigé
Partie A
1) Représentons la situation par un arbre.
E
E
0, 3
0, 7
C
C
C
C
0, 01
0, 99
0, 05
0, 95
2) La probabilité demandée est p!E∩C".
p!E∩C"=p!E"×pE(C)=p!E"×!1−pE!C""=0, 7 ×(1−0, 05)=0, 7 ×0, 95 =0, 665.
p!E∩C"=0, 665.
3) D’après la formule des probabilités totales,
p(C)=p(E∩C)+p!E∩C"=p(E)×pE(C)+p!E"×pE(C).
On connaît déjà p!E∩C"=0, 665.D’autrepart,
p(E∩C)=p(E)×pE(C)=p(E)×!1−pE!C""=0, 3 ×(1−0, 01)=0, 3 ×0, 99 =0, 297.
Finalement,
p(C)=0, 665 +0, 297 =0, 962.
p(C)=0, 962.
4) La probabilité demandée est pC(E).
pC(E)=p(C∩E)
p(C)=p(E)×pE(C) p(C)=0, 3 ×0, 99 0, 962 =0, 297 0, 962 =0, 308 à10−3près.
pC(E)=0, 308 à10−3près.
Partie B
1) On rappelle qu’un pot est conforme si et seulement si la proportion de sucre dans la compote est comprise entre
0, 16 et 0, 18.LaprobabilitédemandéeestdoncP(0, 16 !X!0, 18).Onlitdansletableau
la probabilité qu’un petit pot issu de la chaîne F1soit conforme est 0, 9044 à10−4près.
2) a) Zsuit la loi normale centrée réduite.
b)
0, 16 !Y!0, 18 ⇔0, 16 −m2!Y−m2!0, 18 −m2⇔0, 16 −m2
σ2
!Y−m2
σ2
!0, 18 −m2
σ2
⇔0, 16 −0, 17
σ2
!Z!0, 18 −0, 17
σ2
⇔−0, 01
σ2
!Z!0, 01
σ2
Yappartient à l’intervalle [0, 16;0, 18]si et seulement si Zappartient à l’intervalle #−0, 01
σ2
,0, 01
σ2$.
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c) L’énoncé donne P%−0, 01
σ2
!Z!0, 01
σ2&=0, 99 =P(−2, 5758 !Z!2, 5758).
D’après le cours, on sait que
P%−0, 01
σ2
!Z!0, 01
σ2&=P(−2, 5758 !Z!2, 5758)⇔0, 01 σ2
=2, 5758 ⇔σ2=0, 01
2, 5758 .
La calculatrice fournit alors
σ2=0, 004 à10−3près par excès.
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