Module « Logiques et raisonnement » (IODAA) Memento

Module « Logiques et raisonnement » (IODAA)
Memento
1 À savoir :
•Une logique est constituée
1. d’un langage (défini par une syntaxe),
2. d’une sémantique qui associe les éléments du langage à des éléments du monde que l’on cherche à décrire,
3. et de règles d’inférence (‘inference rules’) pour manipuler les phrases du langages et en produire de
nouvelles.
•Une formule bien formée (‘well-formed formula’) est une expression du langage respectant un ensemble de
contraintes définissant les expressions licites du langage.
1.1 Logique des propositions
•Une proposition est une formule bien formée du langage.
•Un atome est un symbole utilisé pour représenter une proposition considérée comme indivisible. Par exemple
‘la lumière est allumée’, mais probablement pas ‘la lumière est allumée et la porte est fermée’.
•Un atome précédé ou non du signe de négation ¬est appelé un littéral (négatif ou non).
•Une interprétation est une association à chaque atome du langage d’une valeur de vérité.
•Une formule est satisfiable si il existe au moins une interprétation qui le rend vraie.
•Une interprétation qui rend vraie une formule est appelée modèle de cette formule.
•Une formule est valide ou est une tautologie si il n’existe pas de modèle de sa négation. Elle est vraie dans
toute interprétation.
•Une formule est inconsistante (‘inconsistent’) si elle n’a pas de modèle. Elle est aussi dite insatisfiable.
1.2 Le raisonnement
•Une formule Best une conséquence logique d’une autre formule A(ou d’un ensemble de formules) si elle est
satisfaite pour tous les modèles de A(ou de l’ensemble de formules).
On note A|=B(implication logique), (en anglais ‘entailment’ ou ‘logical implication’).
•Déterminer si une formule bien formée est une conséquence logique d’un ensemble de formules bien-formées est
un problème NP-difficile, ce qui signifie que l’on ne sait pas prouver que sa complexité est moins qu’exponentielle
en le nombre d’atomes dans le pire cas.
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•La forme normale en Conjunctive Normal Form (CNF) consiste en une conjonction de clauses (disjonction de
littéraux). E.g. (p∨q)∧(¬q∨r∨ ¬s)est une 3-CNF (la clause la plus longue possède trois littéraux).
•Le problème consistant à chercher si il existe un modèle d’une formule bien-formée s’appelle le problème de
satisfiabilité (PSAT). Un problème k-SAT est le problème de satisfiabilité pour des CNF dont les clauses ont
au plus klittéraux.
•Le problème k-SAT est NP-complet pour k≥3. Cela signifie que sa complexité est exponentielle dans le pire
cas. Cependant beaucoup de problèmes k-SAT sont de complexité polynomiale.
•La règle d’inférence par résolution est : à partir de {λ} ∪ Σ1et de {¬λ} ∪ Σ2(où Σ1et Σ2sont des ensembles
de littéraux et λest un atome), on peut inférer Σ1∪Σ2qui est appelé résolvante des deux clauses.
•Le principe de résolution est correct, mais incomplet. Par exemple, on a p∧q|=p∨q, mais on ne peut inférer
par résolution p∨qà partir de l’ensemble de clauses {p,q}(car il n’y a pas de possibilité de résolution).
•Le principe de résolution avec réfutation est complet (et correct). Par exemple, on peut prouver que la négation
de p∨qest inconsistante avec l’ensemble de clauses {p,q}.
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