Le Nombre d`Or.

Exposé fait par: KADDOUR Nagui, FAUX Damien et GUDUK Murat !
Le Nombre d’Or.
Pour mieux le connaître :
L'apparition du nombre d'or remonte à la préhistoire. Ayant appris à diviser un cercle en 5 ou
en 10, les hommes en vinrent au pentagone et au décagone, et dès lors ils avaient sous les
yeux le nombre d'or. Ce sont aux Grecs que l'on doit une science de la géométrie, mais c'est à
Euclide que l'on est redevable d'un véritable traité écrit. Il ne prend pas la peine de désigner le
nombre par un nom particulier comme on le fera ultérieurement par Le nombre d'or.
On le désigne par la lettre grecque (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias (né vers 490
et mort vers 430 avant J.C) qui décora le Parthénon à Athènes. Phi est également appelé
"nombre divin". C’est un nombre étonnant, mystérieux et magique pour avoir fait parler de lui
depuis la plus haute antiquité dans de nombreux domaines tels que la géométrie,
l’architecture, la peinture, la nature, … Les Civilisations anciennes ont utilisé le Nombre d'Or
pour concevoir des monuments aux proportions harmonieuses. La Pyramide de Khéops chez
les Egyptiens (vers 2600 avant J-C), le Parthénon chez les Grecs (entre 447 et 432 avant J-C),
en sont l'illustration.
Algèbre :
Le nombre d’or est la solution positive de l’équation: x²-x-1=0, c'est-à-dire, le nombre
irrationnel :
Avec l’équation x²-x-1=0, on peut obtenir son carré et son inverse: x²=x+1 et x=1+1/x
d’où
et
Le nombre d’or comprend tellement de décimales que s’est produit un record de calcul des
décimales, en 1998 par Simon Plouffe qui est de: 10 000 000 décimales (29 minutes de calcul)
mais il reste encore beaucoup de décimales à trouver.
Le rectangle d’or :
On appelle rectangle d'or, un rectangle dont le rapport entre la longueur et la largeur vaut le
nombre d'or. Le tracé d'un rectangle d'or se fait très simplement à l'aide d'un compas, il suffit
de pointer le milieu d'un côté d'un carré, pointer l'un des deux angles opposés, puis de rabattre
l'arc de cercle sur la droite passant par le côté du carré pointé.
Exemple :
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•
ABCD est un carré de côté 1.
K est le milieu du segment [AD].
On trace un arc de cercle de centre K et de rayon [KC]; il coupe la droite (AD) en E.
On construit alors F tel que ABFE soit un rectangle.
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ABFE est un rectangle d'or.
La spirale d’or :
Prenez un rectangle d'or (L/l = phi). Enlevez-lui un carré formé à partir du plus petit côté. Le
rectangle restant est un rectangle d'or! On peut ainsi continuer l'opération à l'infini. Et si
maintenant on souhaite relier les côtés opposés des carrés, on obtient une spirale
équiangulaire (on la trouve beaucoup dans la nature : tournesols, pommes de pins,
coquillages, disposition des feuilles ou des pétales sur certaines plantes…), dite spirale d'or.
Triangles d’or :
Les triangles d'or sont des triangles isocèles dont le rapport des côtés est égal au nombre d'or.
Il en existe de deux types. Ceux pour lesquels le rapport côté / base vaut φ, qui donnent des
triangles aigus appelés parfois triangles d'argent, et ceux pour lesquels le rapport base / côté
vaut φ. Leurs angles doivent en conséquence mesurer 36° et 72°.
AB/BC= φ, le triangle ABC est appelé triangle d’or.
Le triangle d'or a aussi la particularité (comme toutes les proportions divines) de pouvoir se
répliquer à l'infini :
Sources : http://perso.wanadoo.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/rectangle_dor.htm
http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d'or