Probabilité conditionnelle

Probabilité conditionnelle
Dans une expérience aléatoire, une variable aléatoire
permet d’associer un prix ou un gain à chaque évènement élémentaire ;
A. Espace probabilisé :
Définition :
On peut dire qu’une expérience est aléatoire lorsqu’on
ne peut prédire la valeur de sortie.
Deux types de variables aléatoire seront étudiés :
Les variables aléatoires à image
}
( ) fini
{ : dans le diagramme ci-contre, on a : X Ω = x1 ; x2 ; x3 ; x4
Chaque possibilité de sortie de l’expérience s’appelle
un événement élémentaire.
Les variables continues, étudiés en fin d’année,
peuvent retourner des infinités de valeurs : mesure
de température, de la taille de la population. . .
L’ensemble des évènements de l’expérience aléatoire
s’appelle l’univers des issues ; on le note Ω.
Toute partie de l’univers Ω s’appelle un événement.
Définition :
Soit Ω un univers possédant un nombre fini d’issues.
On appelle loi de probabilité
[ sur
] Ω toute fonction P telle
que : P : parties de Ω 7−→ 0 ; 1
vérifiant les propriétés suivantes :
( )
( )
P ∅ =0
P Ω =1
∑
(
)
P {!} = 1
w∈Ω
Soit A un événement :
∑ (
)
P(A) =
P {!} = 1
Définition :
On appelle loi de probabilité d’une variable
la
( aléatoire,
)
connaissance de l’ensemble des probabilités P X =xi où xi
décrit les valeurs prises par la variable aléatoire X .
Loi de
probabilité
de X
Variable
aléatoire X
p1
x1
p1
!1 !
0
p0
w∈A
Définition :
Loi de
probabilité
sur Ω
p0
p5
p3
x0
p2 +p3
!2
!5
!3
p2
x2
(
)
On dit qu’un espace probabilisé Ω ; P représente une situation d’équiprobabilité si tous les événements élémentaires ont les mêmes probabilités.
Propriété :
On a pour conséquences :
( )
( )
( )
1
P w1 = P w2 = · · · = P wn =
n
A un événement de k évènements élémentaires :
( ) k
P A =
n
Propriété :
(
)
Soit Ω ; P un espace probabilisé. Soit A et B deux événements de Ω, on a :
(
)
( )
( )
Si A∩B = ∅, alors P A∪B = P A +P B
Cette propriété se traduit par :
Si A et B sont deux événement incompatible, la propbabilité de l’événement (A ou B) est la somme des probabilités de A et de B.
Pour( tout
) événement
( ) A, on a( : )
( )
P A =1−P A ; P A =1−P A
Quels
A( et B, )on a :
( que soient
)
(les)événements
( )
P A∪B = P A + P B − P A∩B
B. Variables aléatoires :
Définition :
Une variable aléatoire est un fonction de Ω dans R.
p4 +p5 +p6
P(X =xk )∈ 0 ; 1
3
X
x3
!6
!4
Evènements
Elémentaires
de Ω
xk ∈ R
P(X =xk ) = 1
p4
p6
pi ∈ 0 ; 1
6
X
pi = 1
i=0
k=0
Définition :
L’espérance : E(X ) =
n
∑
(
)
xk ×P X =xk
k=0
La variance :
n
∑
[
]2
(
)
V (X ) =
xk − E(X ) · P X =xk
k=0
√
L’écart-type :
ff(X ) =
V (X )
Remarque :
L’espérance définit la valeur moyenne de l’expérience
aléatoire vue à travers la variable aléatoire X .
Lorque la variable aléatoire X représente le gain d’un jeu
aléatoire, (associé
à une expérience aléatoire et si l’espérance
)
vaut 0 (E X =0), on dira que l’expérience est équitable. Sinon, elle sera favorable à une des parties.
Proposition :
Soit X une variable aléatoire prenant un nombre fini de
valeurs.
Soit a (et b deux
) nombres réels, alors on a :
E a·X +b = a·E(X )+b ; V (a·X ) = a2 ·V (X )
Preuve :
Voir http://chingatome.net/fichRessource/208/cours.pdf
Remarque :
http://chingatome.net
C. Epreuve de Bernoulli et loi
binomiale :
Définition :
Une épreuve de Bernoulli de paramètre p est une expérience aléatoire possédant deux issues dont l’une a pour
probabilité p appelée le succés et l’autre se nomme l’échec.
Proposition :(admise)
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de
paramètre n et p :
√
E(X ) = n·p
V (X ) = n·p·(1−p)
ff(X ) = n·p·(1−p)
Remarque :
Pour aller un peu plus loin :
http://chingatome.net/fichRessource/4/esperance.pdf
Un schéma de bernoulli de paramètre n et p est la
répétition n fois d’une même épreuve de Bernoulli de paramètre p de manière indépendante entre elles.
0, 2
S
E
0, 8
0,
2
S
S
0, 2
0, 8
E
0, 2
0, 8
S
E
0,
8
0, 2
E
S
0, 2
0, 8
S
E
0, 8
E
0, 2
0, 8
S
E
R
Su
ép
ét
i
D. Probabilité conditionnelle :
cc
é
ti s
on
s
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
Deux évènements A et B distincts permettent de considérer
l’univers en 4 parties :
A
1
3
6
10
15
A∩B
1
4 1
10 5 1
20 15 6 1
A droite, est représenté un schéma de Bernoulli de paramètre
3 et
élémentaires
( 0;2. Voici )trois de
( ses évènements
)
(
):
S1 ; S2 ; E3
; E1 ; S2 ; S3
; E1 ; E2 ; S2
Définition :
( )
n
Le coefficient binomial
, avec k ⩽ n se lit “k parmi
k
n”, représentent le nombre de chemins présentant k succés
dans une répétition n fois d’une épreuve de Bernoulli.
A∩B
A
B
A∩B
A∩B
B
B
B
Ainsi, en choisissant un élément de A, on peut s’intéresser s’il
appartient à B ou à B.
Définition :
( )
Soit A et B deux évènements tel que P A ̸= 0. On a appelle
probabilité de B sachant A le nombre, noté PA (B), définie par :
(
)
P A∩B
( )
PA (B) =
P A
Proposition :
Pour
tout entier naturel
k ⩽ n,
( )
( ) n et k tels que
( )
( on a):
n
n
n
n
=1
=1
=
0
n
k
n−k
( ) (
) (
)
n
n
n+1
Pour k < n :
+
=
k
k+1
k+1
Remarque :
Les propriétés précédentes permettent de construire le triangle de Pascal donné ci-dessus et dans lequel, on lit la
valeur des différents coefficients binomiaux.
Définition :
Dans un schéma de Bernoulli de paramètre n et p, la variable aléatoire X comptant le nombre de succés est une
variable aléatoire X suivant t une loi binomiale de paramètre n et p.
(
)
On note : X ∼ B n ; p
Proposition :
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de
paramètre n et p.( Pour
) k ∈ N tel que k ⩽ n :
(
)
(
)n−k
n
P X =k =
×pk × 1 − p
k
Exemple :
Dans l’exemple issue
( ) de l’arbre de probabilité ci-dessus :
(
)
3
P X =2 =
×0;22 ×0;81 = 0;096
2
Remarque :
( )
Si( A) et B sont deux évènements tels que P A ̸= 0 et
P B ̸=
( 0 alors
) on a( : )
( )
( )
( )
P A ∩ B = P A ×PA B = P B ×PB A
Définition :
{
}
Soit A un évènement. On dit que B1 ; B2 ; ··· ; Bn , ensemble d’évènements, forme une partition de A si :
aucune de ces évènements est vide : ∀i ∈ [[1 ; n]];Bi ̸= ∅
ils (sont disjoints
) ( deux à deux
)(:
)
∀i ∈ [[1 ; n]] ∀j ∈ [[1 ; n]] i ̸= j =⇒ Bi ∩Bj = ∅
leur union est égale à A :
n
∪
Bi
i=1
Proposition :(Formule des probabilités totales)
Soit A un évènement et B1 ,. . . ,Bn une partition de l’univers Ω.
n
( )
(
)
(
) ∑
(
)
P A = P A ∩ B1 + · · · + P A ∩ Bn =
P A∩Bk
k=1
Application :
http://chingatome.net
0;8
B
0;2
B
0;5
B
0;5
B
0;3
A
0;7
Soit A et B deux évènements réalisant
l’arbre de probabilité ci-contre.
Les évènements A et A forment une
patition de l’univers. D’après la formule
des probabilités
)
( )
( totales) : (
P B = P B∩A + P B∩A
( )
( )
( )
( )
= P A ·PA B + P A ·PA B
A
Soient A et B deux évènements indépendants.
Les évènements A et A forment une partition de Ω.
D’après la (formule
) :
)
(des probabilités
)
( totales
P B = P B ∩A + P B ∩A
On en déduit :
(
)
( )
(
)
P B∩A = P B − P B∩A
Les évènements A et B étant indépendants :
(
)
( )
( )
( )
P B ∩ A = P B − P B ×P A
)
( )[
( )]
(
P B∩A = P B · 1 − P A
(
)
( )
( )
P B ∩ A = P B ×P A
= 0;3×0;8 + 0;7×0;5 = 0;24 + 0;35
= 0;79
E. Evènements indépendants :
Définition :
Soient A et B deux évènements. Les deux évenements A et
B sont
( dits)indépendants
( )
( )si :
P A ∩ B = P A ×P B
Proposition :
Soient A et B deux évènements de probabilités non nulles.
A et B sont indépendants
( )
( )
( )
( )
⇐⇒ P B = PA B
⇐⇒ P A = PB A
Preuve :
A est un évènement
( de )probabilité non-nulle. Alors :
( ) P A∩B
( )
PA B =
P A
F. Quelques exemples :
1. Avec l’algèbre :
On étudie une expérience aléatoire suivant les deux évènements A et F .
On donne
:
( ) les informations( suivantes
)
( )
P A = 0;29 ; PF A = 0;15 ; PF A = 0;15
( )
On note x la probabilité P F = x. On obtient l’arbre de probabilité :
A
F
x
On a les équivalences :
(
)
( )
( )
( ) P A∩B
( )
P B = PA B ⇐⇒ P B =
P A
( )
( )
(
)
⇐⇒ P B ×P A = P A ∩ B
0;15
A
F
( )
Déterminer la probabilité P F .
Remarque :
A
B
A
http://http://chingatome.net/correction/6741
2. Avec les suites :
(
)
Dans un espace
Ω ; P . On considère une suite
( probabilisé
)
d’évènements An vérifiant (les relations
suivantes :
)
{
PAn An+1 = 0;6
(
P A0 ) = 0;4 ;
pour tout n ∈ N
(
)
PAn An+1 = 0;4
( )
On note : pn = P An .
1. Compléter l’arbre de probabilité ci-contre.
2.
Proposition :
Soient A et B deux évènements.
Si A et B sont deux évènements indépendants, alors A et
B sont indépendants.
Preuve :
A
1−x
=⇒ A et B sont indépendants
On a les probabilités :
1
1
1
P(A∩B) =
; P(A) =
; P(B) =
12
3
4
(
)
( )
( )
De l’égalité : P A ∩ B = P A ×P B
On en déduit que les deux évènements A
et B sont indépendants.
( )
( )
On vérifie que : PB A = P A
( )
( ) 2
8
; P A =
car : PB A =
6
24
Ainsi, la probabilité de l’évènement A est
égale à la probabilité de l’évènement A
sachant que l’évènement B est réalisé.
0;15
a. Etablir que :
pn+1 = 0;2·pn + 0;4
An+1
b. On définit la suite qn
par :
qn = pn − 0;5 ∀n (∈ N)
Etablir que la suite qn
est une suite géométrique
de raison 0;2.
An
An+1
An+1
An
An+1
c. En déduire( l’expression
)
de la suite pn en fonction de n.
3. Déterminer la limite :
( )
lim P An .
n7→+∞
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