Probabilité conditionnelle

Probabilité conditionnelle
A. Espace probabilisé :
Définition :
On peut dire qu’une expérience est aléatoire lorsqu’on
ne peut prédire la valeur de sortie.
Chaque possibilité de sortie de l’expérience s’appelle
un événement élémentaire.
L’ensemble des évènements de l’expérience aléatoire
s’appelle l’univers des issues ; on le note Ω.
Toute partie de l’univers Ωs’appelle un événement.
Définition :
Soit Ωun univers possédant un nombre fini d’issues.
On appelle loi de probabilité sur Ωtoute fonction Ptelle
que : P:parties de Ω7−→ 0 ; 1
vérifiant les propriétés suivantes :
P∅=0 PΩ=1 
w∈Ω
P{!}= 1
Soit Aun événement : P(A)= 
w∈A
P{!}=1
Définition :
On dit qu’un espace probabilisé Ω ; Preprésente une si-
tuation d’équiprobabilité si tous les événements élémen-
taires ont les mêmes probabilités.
Propriété :
On a pour conséquences :
Pw1=Pw2=· · · =Pwn=1
n
Aun événement de kévènements élémentaires :
PA=k
n
Propriété :
Soit Ω ; Pun espace probabilisé. Soit Aet Bdeux événe-
ments de Ω, on a :
Si A∩B=∅, alors PA∪B=PA+PB
Cette propriété se traduit par :
Si Aet Bsont deux événement incompatible, la prop-
babilité de l’événement (Aou B)est la somme des pro-
babilités de Aet de B.
Pour tout événement A,ona:
PA= 1 − PA;PA= 1 − PA
Quels que soient les événements Aet B, on a :
PA∪B=PA+PB− PA∩B
B. Variables aléatoires :
Définition :
Une variable aléatoire est un fonction de Ωdans R.
Remarque :
Dans une expérience aléatoire, une variable aléatoire
permet d’associer un prix ou un gain à chaque évène-
ment élémentaire ;
Deux types de variables aléatoire seront étudiés :
Les variables aléatoires à image fini : dans le dia-
gramme ci-contre, on a : XΩ=x1;x2;x3;x4
Les variables continues, étudiés en fin d’année,
peuvent retourner des infinités de valeurs : mesure
de température, de la taille de la population. . .
Définition :
On appelle loi de probabilité d’une variable aléatoire, la
connaissance de l’ensemble des probabilités PX=xioù xi
décrit les valeurs prises par la variable aléatoire X.
Evènements
Elémentaires
de Ω
!0
!1
!2!3
!4
!5
!6
Loi de
probabilité
sur Ω
p0
p1
p2
p3
p4
p5
p6
pi∈0 ; 1
6
X
i=0
pi= 1
Variable
aléatoire X
x0
x1
x2
x3
xk∈R
Loi de
probabilité
de X
p0
p1
p2+p3
p4+p5+p6
P(X=xk)∈0 ; 1
3
X
k=0
P(X=xk) = 1
Définition :
L’espérance :E(X) =
n
k=0
xk×PX=xk
La variance :V(X) =
n
k=0 xk−E(X)2· PX=xk
L’écart-type :ff(X) = V(X)
Remarque :
L’espérance définit la valeur moyenne de l’expérience
aléatoire vue à travers la variable aléatoire X.
Lorque la variable aléatoire Xreprésente le gain d’un jeu
aléatoire, associé à une expérience aléatoire et si l’espérance
vaut 0(EX=0), on dira que l’expérience est équitable. Si-
non, elle sera favorable à une des parties.
Proposition :
Soit Xune variable aléatoire prenant un nombre fini de
valeurs.
Soit aet bdeux nombres réels, alors on a :
Ea·X +b=a·E(X)+b;V(a·X )= a2·V(X)
Preuve :
Voir http://chingatome.net/fichRessource/208/cours.pdf
http://chingatome.net

C. Epreuve de Bernoulli et loi
binomiale :
Définition :
Une épreuve de Bernoulli de paramètre pest une ex-
périence aléatoire possédant deux issues dont l’une a pour
probabilité pappelée le succés et l’autre se nomme l’échec.
Un schéma de bernoulli de paramètre net pest la
répétition nfois d’une même épreuve de Bernoulli de para-
mètre pde manière indépendante entre elles.
E
0,8
S
0,2
E
0,8
S
0,2
E
0,8
S
0,2
E
0,8
S
0,2
E
0,8
S
0,2
E
0,8
S
0,2
E
0,8
S
0,2
Succ´es
R´ep´etitions
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
A droite, est représenté un schéma de Bernoulli de paramètre
3et 0;2. Voici trois de ses évènements élémentaires :
S1;S2;E3;E1;S2;S3;E1;E2;S2
Définition :
Le coefficient binomial n
k, avec k⩽nse lit “kparmi
n”, représentent le nombre de chemins présentant ksuccés
dans une répétition nfois d’une épreuve de Bernoulli.
Proposition :
Pour tout entier naturel net ktels que k⩽n, on a :
n
0=1 n n=1 n k=n n−k
Pour k <n :n
k+n k+1=n+1 k+1
Remarque :
Les propriétés précédentes permettent de construire le tri-
angle de Pascal donné ci-dessus et dans lequel, on lit la
valeur des différents coefficients binomiaux.
Définition :
Dans un schéma de Bernoulli de paramètre net p, la va-
riable aléatoire Xcomptant le nombre de succés est une
variable aléatoire Xsuivant t une loi binomiale de para-
mètre net p.
On note : X ∼ Bn;p
Proposition :
Soit Xune variable aléatoire suivant une loi binomiale de
paramètre net p. Pour k∈Ntel que k⩽n:
PX=k=n
k×pk×1−pn−k
Exemple :
Dans l’exemple issue de l’arbre de probabilité ci-dessus :
PX=2=3
2×0;22×0;81= 0;096
Proposition :(admise)
Soit Xune variable aléatoire suivant une loi binomiale de
paramètre net p:
E(X)=n·p V (X)=n·p·(1−p)ff(X)=n·p·(1−p)
Remarque :
Pour aller un peu plus loin :
http://chingatome.net/fichRessource/4/esperance.pdf
D. Probabilité conditionnelle :
Deux évènements Aet Bdistincts permettent de considérer
l’univers en 4parties :
A∩BA∩B
A∩B
A∩B
AA
B
B
BB
Ainsi, en choisissant un élément de A, on peut s’intéresser s’il
appartient à Bou à B.
Définition :
Soit Aet Bdeux évènements tel que PA̸=0. On a appelle
probabilité de Bsachant Ale nombre, noté PA(B), dé-
finie par :
PA(B) = PA∩B
PA
Remarque :
Si Aet Bsont deux évènements tels que PA̸= 0 et
PB̸=0 alors on a :
PA∩B=PA×PAB=PB×PBA
Définition :
Soit Aun évènement. On dit que B1;B2;··· ;Bn, en-
semble d’évènements, forme une partition de Asi :
aucune de ces évènements est vide : ∀i∈[[1 ; n]];Bi̸=∅
ils sont disjoints deux à deux :
∀i∈[[1 ; n]]∀j∈[[1 ; n]]i̸=j=⇒Bi∩Bj=∅
leur union est égale à A:
n
i=1
Bi
Proposition :(Formule des probabilités totales)
Soit Aun évènement et B1,. . . ,Bnune partition de l’uni-
vers Ω.
PA=PA∩B1+· · · +PA∩Bn=
n
k=1
PA∩Bk
Application :
http://chingatome.net

Soit Aet Bdeux évènements réalisant
l’arbre de probabilité ci-contre.
Les évènements Aet Aforment une
patition de l’univers. D’après la formule
des probabilités totales :
PB=PB∩A+PB∩A
=PA·PAB+PA·PAB
= 0;3×0;8 + 0;7×0;5 = 0;24 + 0;35
= 0;79
0;8
B
0;2
B
0;3
A
0;5
B
0;5
B
0;7
A
E. Evènements indépendants :
Définition :
Soient Aet Bdeux évènements. Les deux évenements Aet
Bsont dits indépendants si :
PA∩B=PA×PB
Proposition :
Soient Aet Bdeux évènements de probabilités non nulles.
Aet Bsont indépendants
⇐⇒ PB=PAB⇐⇒ PA=PBA
Preuve :
Aest un évènement de probabilité non-nulle. Alors :
PAB=PA∩B
PA
On a les équivalences :
PB=PAB⇐⇒ PB=PA∩B
PA
⇐⇒ PB×PA=PA∩B
=⇒Aet Bsont indépendants
Remarque :
On a les probabilités :
P(A∩B)= 1
12 ;P(A)= 1 3;P(B)= 1 4
De l’égalité : PA∩B=PA×PB
On en déduit que les deux évènements A
et Bsont indépendants.
On vérifie que : PBA=PA
car : PBA=2
6;PA=8 24
Ainsi, la probabilité de l’évènement Aest
égale à la probabilité de l’évènement A
sachant que l’évènement Best réalisé.
AB
Proposition :
Soient Aet Bdeux évènements.
Si Aet Bsont deux évènements indépendants, alors Aet
Bsont indépendants.
Preuve :
Soient Aet Bdeux évènements indépendants.
Les évènements Aet Aforment une partition de Ω.
D’après la formule des probabilités totales :
PB=PB∩A+PB∩A
On en déduit :
PB∩A=PB− PB∩A
Les évènements Aet Bétant indépendants :
PB∩A=PB− PB×PA
PB∩A=PB·1− PA
PB∩A=PB×PA
F. Quelques exemples :
1. Avec l’algèbre :
On étudie une expérience aléatoire suivant les deux évène-
ments Aet F.
On donne les informations suivantes :
PA= 0;29 ;PFA= 0;15 ;PFA= 0;15
On note xla probabilité PF=x. On obtient l’arbre de pro-
babilité :
x
A
0;15
A
F
1−x
0;15
A
A
F
Déterminer la probabilité PF.
http://http://chingatome.net/correction/6741
2. Avec les suites :
Dans un espace probabilisé Ω ; P. On considère une suite
d’évènements Anvérifiant les relations suivantes :
PA0) = 0;4;PAnAn+1= 0;6
PAnAn+1= 0;4
pour tout n∈N
On note : pn=PAn.
1. Compléter l’arbre de probabilité ci-contre.
2. a. Etablir que :
pn+1 = 0;2·pn+ 0;4
b. On définit la suite qn
par :
qn=pn−0;5∀n∈N
Etablir que la suite qn
est une suite géométrique
de raison 0;2.
c. En déduire l’expression
de la suite pnen fonc-
tion de n.
An+1
An+1
An
An+1
An+1
An
3. Déterminer la limite : lim
n7→+∞PAn.
http://http://chingatome.net/correction/6742
http://chingatome.net