Chapitre I Arithmétique

Chapitre I Arithmétique
1 Intro
Un ouvrier désire paver une surface de carreaux de forme carré. Cette surface mesure 12,6 mètres en longueur
et 9 mètres en largeur.
Quel sera la mesure en centimètre du coté du carrelage de manière à ce qu’il soit le plus grand possible et
qu’il y ait le moins de perte possible ?
2 Du vocabulaire
2.1 Diviseurs et Multiples
Définition 2.1. aet bsont deux entiers naturels non nuls tels que a=b×k(ou a÷b=k) où kest un entier
naturel. On dit que :
–aest un multiple de b
–aest divisible par b
–best un diviseur de a
–bdivise a.
Exemple 2.2. Premier exemple
– 92 est multiple de 23 car 92 = 23 ×4.
– 92 est divisible par 23. 92 est aussi divisible par 4.
– 23 est un diviseur de 92. 4 est diviseur de 92.
– 23 divise 92. Enfin 4 divise 92.
Exemple 2.3. Deuxième exemple
– 273 est un multiple de 3 car 273 = 3 ×91
– 273 est divisible par 3.
– 3 est un diviseur de 273.
– 3 divise 273.
2.2 Critère de divisibilité
Je rappelle les critères de divisibilité suivant, ils permettent de faciliter le calcul mental.
– Un nombre pair est toujours divisible par 2.
– Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par trois.
– Un nombre qui se termine par 0 ou 5 est divisible par 5.
– Un nombre dont la somme des ses chiffres est divisible par 9 est divisible par 9.
– Un nombre qui se termine par 0 est divisible par 10.
Exemple 2.4. 2070 est divible par :
– 2 car il est pair.
– 3 car 2+0+7+0=9 qui est divisible par 3
– 5 car il se termine par 0 ou 5.
– 9 car 2+0+7+0=9 est divisible par 9.
– 10 car 2070 se termine par 0.
2.3 Nombres premiers
Définition 2.5. Un nombre est dit "premier" lorsque ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.
Exemple 2.6. Quelques exemples :
– 2 est un nombre premier. Il est divisible par 2 et 1
– 6 n’est pas un nombre premier. Il est divisible par 6,3,2 et 1.
– 1 n’est pas un nombre premier. Il est uniquement divisible par 1.
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3 Division euclidienne
Définition 3.1. Soit aet bdeux entiers naturels. Il existe un unique couple qet rtel que :
a=bq +r
et
0≤r < b
On appelle :
–ale dividende.
–ble diviseur.
–qle quotient.
–rle reste.
4 Le plus grand commun diviseur
4.1 Définition
Définition 4.1. Le PGCD de deux nombres aet best le plus grand nombre commun parmi les diviseurs de a
et de b. On le note P GCD(a, b) = doù d∈N.
Exemple 4.2. Trouver le PGCD de 52 et 65 ?
• D(52) = {1,52,2,26,4,13}et D(65) = {1,65,5,13}.
D’où :
P GCD(52,65) = 13
C’est le plus grand nombre commun dans la liste de diviseurs des deux nombres.
Propriété. On indique :
1. Si b divise a alors P GCD(a, b) = b.
2. P GCD(a, b) = P GCD(b, a)
3. P GCD(ka, kb) = k×P GCD(a, b).
Méthode 1 pour trouver le PGCD de deux nombres
•Donner la liste de diviseurs de deux nombres étudiés.
•Relever dans les deux listes précédentes le plus grand des nombres commun aux deux listes.
•Ce nombre sera le PGCD des deux nombres de départ. 
4.2 Méthode des divisions successives
Propriété. Si ddivise aet b, alors ddivise a+bet a−b.
Démonstration.
Voir question 1.b de l’activité 3 p.17.
Théorème 4.3. Si a≥balors P GCD(a, b) = P GCD(b, a −b)
Démonstration. Soit d=P GCD(a, b)et d0=P GCD(b, a −b).
Or, au vue de la propriété ci-dessus, d divise bet a−b.
Comme d0est le plus grand diviseur de bet de a−b
Alors d0≥d.
De plus, d0=P GCD(b, a −b)
Donc il existe deux entiers naturels q1et q2tels que
2

b=q1×d0
a−b=q1×d0
Donc
a=b+a−b=q1×d0+q2×d0= (q1+q2)×d0
Sachant que la somme de deux entiers naturels reste un entier naturel, alors d0divise a
Donc d0divise aet b.
Or d=P GCD(a, b), donc d0≤d.
Donc finalement
d=d0
.
Exemple 4.4. Donner le PGCD de 210 et 48
210 −48 = 162
162 −48 = 114
114 −48 = 66
66 −48 = 18
48 −18 = 30
30 −18 = 12
18 −12 = 6
12 −6=6
6−6=0
Le dernier reste non nul est le PGCD des deux nombres, donc P GCD(210,48) = 6
Exemple 4.5. Donner le PGCD de 37 et 21 ?
P GCD(37,21) = P GCD(21,16)
P GCD(37,21) = P GCD(16,7)
P GCD(37,21) = P GCD(9,7)
P GCD(37,21) = 1
Méthode 2 pour trouver le PGCD de deux nombres aet b
•Faire la différence entre aet b.
•Tant que le résultat, noté rest plus grand que b, faire la différence entre ce résultat et b.
•Sinon, lorsque le résultat rest plus petit que b, faire la différence entre bet ce résultat.
•On recommence le processus avec rqui devient le nouveau bjusqu’à obtenir 0.
•Le PGCD des deux nombres de départ est le dernier résultat non nul.
4.3 Méthode des divisions successives
Propriété. Soit aet bdeux entiers naturels, si l’on effectue la division euclidiene de aet b, on obtient a=bq =r
Ainsi, on a l’égalité suivante :
P GCD(a, b) = P GCD(b, r)
On admet cette propriété
Cette propriété utilisée plusieurs fois jusqu’à obtenir un reste nul permet d’obtenir le PGCD de deux nombres.
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Exemple 4.6. Donner le PGCD de 405 et 60.
405 = 60 ×6 + 45
60 = 45 ×1 + 15
45 = 15 ×3+0
Donc P GCD(405,60) = 15
Exemple 4.7. Donner le PGCD de 171 et 37.
171 = 37 ×4 + 23
37 = 23 ×1 + 14
23 = 14 ×1+9
14 = 9 ×1+5
9=5×1+4
5=4×1+1
4=1×4+0
Donc P GCD(171,37) = 1.
Méthode 3 pour trouver le PGCD de deux nombres aet b
•Faire la division euclidienne de apar b. On note rle reste de cette division.
•Tant que le reste rest différent de 0, on continue de faire la division euclidienne où bremplace aet r
remplace b.
•Le PGCD des deux nombres de départ est le dernier résultat non nul.
4.4 Nombres premiers entre eux
Nous avons vu que le PGCD de deux nombres divise évidemment ces deux nombres. Dans l’exemple précé-
dent, le PGCD de 171 et 37 est égal à 1. Cela signifie que 1 divise 37 et 171 et qu’il est le plus grand. Dans ce
cas, on dit que 171 et 37 sont des nombres premiers entre eux, ils n’ont pas d’autres diviseurs communs que 1.
Définition 4.8. Deux entiers naturels aet bsont premiers entre eux lorsque P GCD(a, b)=1. 1 est le seul
diviseur commun à aet b.
Exemple 4.9. P GCD(405,60) = 15, donc 405 et 15 ne sont pas premiers entre eux.
P GCD(37,21) = 1, donc 37 et 21 sont des nombres premiers entre eux.
4.5 Fractions irréductibles
Définition 4.10. On dit qu’un fraction est irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur sont premiers
entre eux.
Exemple 4.11. Rendre les fractions suivantes irréductibles.
4

5 Activités
5.1 Activité 4 p.17
5.2 Sommes et différences de multiples
– a) 49000 est bien divisible par 7 car 49 est divisible par 7. 14 est également divisible par 7 donc
49014=49000+14 est bien divisible par 7.
De même 13000 est divisible par 13. Donc 13000-13=12987 est bien divisible par 13.
– b)
•Si d divise aet balors il existe q1et q2deux entiers naturels (q1, q2∈N) tels que a=q1×det b=q2×d.
Ainsi,
a+b=q1×d+q2×d= (q1+q2)×d
Comme q1+q2∈N,
On a ddivise a+b.
•De même, on a
a−b=q1×d−q2×d= (q1−q2)×d
Donc ddivise a−b.
5.3 Vers la méthode des soustractions successives
– a) On utilise la méthode 1.
•D(75) = {1,75,3,25,5,15}et D(55) = {1,55,5,11}. Donc P GCD(75,55) = 5
D(75 −55 = 20) = {1,20,2,10,4,5}et D(55) = {1,55,5,11}. Donc P GCD(75 −55,55) = 5
•D(91) = {1,91,7,13}et D(130) = {1,130,2,65,5,26,10,13}. Donc P GCD(91,130) = 13
D(130 −91 = 39) = {1,39,3,13}et D(91) = {1,91,7,13}. Donc P GCD(130 −91,91) = 13
Conjecture :
Il me semble que le PGCD de aet bne change pas lorsque l’on étudie le PGCD debet de a−b.
– b) Voir démonstration du théorème 4.3 dans le cours.
– c) Donner le PGCD de 2724 et 714.
2724 −714 = 2010
2010 −714 = 1296
1296 −714 = 582
714 −582 = 132
582 −132 = 450
450 −132 = 318
318 −132 = 186
186 −132 = 54
132 −54 = 78
78 −54 = 24
54 −24 = 30
30 −24 = 6
24 −6 = 18
18 −6 = 12
12 −6=6
6−6=0
Donc P GCD(2010,714) = 6.
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