M3.6. Mouvement unidimensionnel d`une particule. 1

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M3.6. Mouvement unidimensionnel d’une particule.
1.
Graphe de la fonction énergie potentielle.
La fonction énergie potentielle proposée est paire, sa représentation est alors symétrique par rapport à l’axe
Oy
et une étude sur
0,
x
suffit.
La dérivée de cette fonction a pour expression
:
2
2
2
2 2
exp
2 exp
0 pour 0 et pour
0 pour 0
p
o
o
p
p
x
d
dE
a
E
x
E x
dx dx a a
dE
x x
dx
dE
x
dx
D’autre part
:
0
( ) 0
p o
p
E x E
E x
D’où
:
2. Expression de la valeur minimale de la vitesse.
On désire que la particule atteigne l’infini avec
une vitesse nulle. Soit
m
v
la vitesse que doit posséder cette
particule en
x
= 0 pour réaliser cette opération.
Comme l’interaction qui s’exerce sur cette particule dérive d’une énergie potentielle, il y a conservation de
l’énergie
mécanique du système en interaction. On a alors
:
2
(0) 0
1
0 0
2
2
P
c P c
o m
o
m
E E E E
E mv
E
v
m
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3. Abscisse maximale.
Comme
o m
v v
, la particule ne pourra atteindre l’infini. Soit
m
x
la valeur maximale de l’abscisse atteinte pa
r
la particule. En ce point sa vitesse est alors nulle.
La conservation de l’énergie mécanique permet d’écrire que
:
2
2
2
2
2
2 2
2 2
(0) 0
1
exp 0
2
1
exp
2
1
exp ln2
2
ln2
P
c P m c m
m
o o o
m
o o o
m m
m
E E E x E x
x
E mv E
a
x
E E E
a
x x
a a
x a
4. Nature du mouvement autour de
x
= 0.
En un point
x
, l’énergie mécanique s’écrit
:
2
2
2
1
exp Constante
2
P c o
x
E x E x E mx
a
La dérivée de cette expression de cette expression par rapport au temps s’écrit
:
2
2 2
2
2 2
2 exp 0 pour 0 :
2 exp 0
o
o
E
x
xx mxx x
a a
E
x
x x
ma a
Pour un point
x
proche de 0
, la dernière expression en opérant un développement limité de la fonction
exponentielle
:
2
2 2
2 1 0
o
E
x
x x
ma a
En négligeant le terme non linéaire en
3
x
devant
x
, on obtient
:
2
2 0
o
E
x x
ma
Ce résultat est caractéristique d’un oscillateur harmonique de pulsation
2
1 2
o
o
o
E
a m T
.
La particule est animée d’un
mouvement rectiligne sinusoïdal autour de la position
x
= 0 ce qui montre que
cette position est une position d’équilibre stable pour la particule.
Les oscillations ont une
période
2
2
o
o
m
T a
E
.
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