M3.6. Mouvement unidimensionnel d`une particule. 1

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M3.6. Mouvement unidimensionnel d’une particule.
om
1. Graphe de la fonction énergie potentielle.
La fonction énergie potentielle proposée est paire, sa représentation est alors symétrique par rapport à l’axe
Oy et une étude sur x   0,  suffit.
 x2 
d exp   2 
2
dE p
 a   2 Eo x exp   x 
  Eo
 2
dx
dx
a2
 a 
dx
dE p
dx
 0 pour x  0 et pour x  
 0 pour x  0
we
dE p
b.c
La dérivée de cette fonction a pour expression :
D’autre part :
E p  x  0    Eo
E p ( x  )  0
w.
kh
ola
D’où :
2. Expression de la valeur minimale de la vitesse.
On désire que la particule atteigne l’infini avec une vitesse nulle. Soit vm la vitesse que doit posséder cette
particule en x = 0 pour réaliser cette opération.
ww
Comme l’interaction qui s’exerce sur cette particule dérive d’une énergie potentielle, il y a conservation de
l’énergie mécanique du système en interaction. On a alors :
E P (0)  Ec  0   EP     Ec   
1
 Eo  mvm2  0  0
2
2 Eo
vm 
m
3. Abscisse maximale.
Comme vo  vm , la particule ne pourra atteindre l’infini. Soit xm la valeur maximale de l’abscisse atteinte par
la particule. En ce point sa vitesse est alors nulle.
om
La conservation de l’énergie mécanique permet d’écrire que :
E P (0)  Ec  0   EP  xm   Ec  xm 
b.c
 xm2 
1 2
 Eo  mvo   Eo exp   2   0
2
 a 
 x2 
1
 Eo  Eo   Eo exp   m2 
2
 a 
 x2  1
x2
exp   m2     m2   ln 2
a
 a  2
xm  a ln 2
En un point x, l’énergie mécanique s’écrit :
we
4. Nature du mouvement autour de x = 0.
 x2  1 2
EP  x   Ec  x    Eo exp   2   mx  Constante
 a  2
La dérivée de cette expression de cette expression par rapport au temps s’écrit :

x2
ola
 x2 
Eo
  0 pour x  0 :
2 2 xx exp   2   mxx
a
 a 
 x2 
Eo
x
exp
 2   0
ma 2
 a 

x2
kh
Pour un point x proche de 0, la dernière expression en opérant un développement limité de la fonction
exponentielle :
Eo  x 2 
x 1    0
ma 2  a 2 
En négligeant le terme non linéaire en x3 devant x, on obtient :
Eo
x0
ma 2
w.

x2
Ce résultat est caractéristique d’un oscillateur harmonique de pulsation o 
1 2 Eo 2

.
a m
To
ww
La particule est animée d’un mouvement rectiligne sinusoïdal autour de la position x = 0 ce qui montre que
cette position est une position d’équilibre stable pour la particule.
Les oscillations ont une période To  2 a
m
.
2 Eo