Exercice numéro 3
(proposé par le jury académique)
Potentiel carré
Dans tout le problème, on dira qu'un entier est un carré, lorsque c'est le carré d'un entier, autrement
dit, lorsqu'il existe un entier tel que . Par exemple 4 et 9 sont des carrés, mais pas 5 et 6.
On appelle potentiel carré d'un entier strictement supérieur à 1, et on note , le nombre de
décompositions de en somme de deux entiers non nuls dont le produit est un carré.
Par exemple :
- pc(3) = 0 car la seule décomposition de 3 en somme de deux entiers non nuls est 3 = 1 + 2 (on ne
considère pas que la décomposition 3 = 2 + 1 est différente), et 2 x 1 = 2 n'est pas un carré.
- pc(4) = 1 car pour la décomposition 4 = 2 + 2, le nombre 2 x 2 = 4 est un carré, tandis que pour la
décomposition 4 = 1 + 3, le nombre 1 x 3 = 3 n'est pas un carré.
- pc(10) = 3 car en listant les 5 décompositions possibles, exactement 3 donnent un produit qui est
un carré, à savoir 1 + 9, 2 + 8 et 5 + 5.
Pour traiter la question 7., on aura besoin des deux définitions suivantes :
Pour deux entier et non nuls, on dira que est un diviseur de lorsque est un multiple de ,
autrement dit, s'il existe un entier tel que = x . Par exemple, 3 est un diviseur de 15.
On dit qu'un nombre entier est premier si 2 et si n'admet aucun diviseur autre que 1 et . Par
exemple 15 n'est pas premier, mais 13 est premier.
On aura également besoin du résultat suivant :
Tout nombre entier 2 se décompose de façon unique (à l'ordre des facteurs près) comme produit
de nombres premiers (exemple : 12 = 2 x 2 x 3).
1. Calculer le potentiel carré de tous les entiers de 2 à 10.
2. Exprimer, en fonction de , le nombre de décompositions à tester pour un entier donné. On
distinguera les cas pair et impair.
3. Montrer que pour tout entier non nul pair, on a pc() 1.
4. Montrer que si peut s'écrire comme la somme de deux entiers carrés non nuls (par exemple, 13 = 4 +
9 = 2² + 3²), alors pc() 1.
5. Montrer que si et sont deux entiers non nuls, alors pc() pc().
6. En utilisant les propriétés des questions 4. et 5., démontrer que si admet un diviseur pouvant s'écrire
comme la somme de deux entiers carrés non nuls (par exemple 15 = 3 x 5 avec 5 = 4 + 1), alors pc() 1.
7. Dans cette question, on va démontrer la réciproque de la propriété précédente. On considère un entier
non nul tel que pc() 1. Il existe donc , non nuls tels que + = et tels que x soit un carré,
qu'on notera ². Si et sont eux-mêmes des carrés, la démonstration est terminée. Dans la suite, on
suppose que et ne sont pas tous les deux des carrés.
a) On écrit = 1 x 2 x … x s, avec s 1, où 1, 2, …, s sont des nombres premiers. Montrer que l'un
de ces diviseurs premiers de , qu'on notera simplement , est un diviseur à la fois de et de .
b) On note ’ =
et ’ =
, et ’ = ’ + ’. Montrer que pc(’) 1.
c) En envisageant le fait de recommencer avec = + ce qui a été fait précédemment avec = + ,
établir un raisonnement prouvant que admet forcément un diviseur somme de deux carrés.