Algèbre locale

MÉMORIAL DES SCIENCES MATHÉMATIQUES
PIERRE SAMUEL
Algèbre locale
Mémorial des sciences mathématiques, fascicule 123 (1953), p.
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MÉMORIAL
DES
SCIENCES MATHÉMATIQUES
PUBLIÉ SOUS LE PATRONAGE DE
L'ACADÉMIE DES SCIENCES DE PARIS,
DES ACADÉMIES DE BELGRADE, BRUXKLLES, BUCAREST, COÏMBRE, CRACOVIE, KIEW,
MADRID, PRAGUE, ROME, STOCKHOLM (FONDATION MITTAG-LEFFLER),
DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE, AVEC LA COLLABORATION DE NOMBREUX SAVANTS.
DIRECTEUR
Henri VILLAT
Membre de l'Institut,
Professeur à la Sorbonne,
Directeur du « Journal de Mathématiques pures et appliquées ».
FASCICULE CXXIII
Algèbre locale
Par M. PIERRB SAMUEL
Professeur à l'Université de Clermont-Ferrand
PARIS
GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-ÉDITEUR
UBBAIRB DD BUREAU DBS LONGITUDES, DB L'BCOLB POLYTECHNIQUE
Quai des Grands-Augustins, 55 <s^vNUWt~
1953

Copyright by Gauthier-Villars, 1953.
Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation
réservés pour tous pays.

ALGÈBRE LOCALE
Par Pierre SAMUEL
INTRODUCTION
Nous entendrons par « Algèbre locale » le corps de doctrines algé-
briques qui s'est développé afin de rendre possible l'étude d'une
variété algébrique ou analytique au voisinage d'un point. Lorsqu'on
quitte le corps des nombres complexes pour des corps de base plus
généraux, la notion topologique de voisinage d'un point perd son
sens, mais il resté à notre disposition un certain nombre de situations
algébriques, dont la théorie constituera, par définition, « l'étude
locale de la variété V au voisinage du point P ». Grosso modo, on
considère d'abord l'anneau A des fonctions (rationnelles ou méro-
morphes, selon le cas) sur V qui ne sont pas infinies en P (c'est un
anneau local). Sur le corps des nombres complexes, chacune de ces
fonctions admet un développement en série de Taylor au voisinage
de P, et il est naturel de considérer l'anneau de toutes les séries de
Taylor convergentes; mais, par bonheur pour les généralisations à
un corps de base quelconque, le fait, pour une série de puissances,
de converger dans un voisinage de P, n'a aucune espèce d'impor-
tance, au moins dans les questions locales. On introduit donc une
sorte d'anneau de séries formelles contenant A (l'anneau local com-
plété de A), dont la formation à partir de A est possible sur tout
corps de base.
On rejoint ici un autre courant d'idées, celui des développements
/j-adiques des nombres entiers, et des corps et anneaux /?-adiques.
Là aussi on est dans la situation « anneau local-anneau local com-
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P. SAMUEL.
piété ». Et l'Algèbre locale va contenir l'étude des anneaux jD-adiques
comme cas particulier.
D'autre part, l'étude d'un nombre fini de points d'une variété a
amené les algébristes à considérer certains anneaux, plus généraux
que les anneaux locaux, appelés « anneaux semi-locaux ». Si l'on
veut aller plus loin, par exemple pour l'étude d'une variété V en tous
les points d'une sous-variété W, s'introduisent des anneaux naturel-
lement munis d'une topologie définie par les puissances d'un idéal
(« anneaux ttt-adiques ») qui généralisent encore les anneaux semi-
locaux.
L'étude des anneaux locaux, semi-locaux et 1U-adiques a constitué,
depuis une quinzaine d'années, un des secteurs les plus actifs de
l'Algèbre commutative. Si l'étude d'anneaux locaux particuliers
(/?-adiques, séries formelles) remonte à Hensel etHilbert, c'est en 1988
que Krull [45] entreprit Tétude systématique des anneaux locaux.
Ceux-ci furent aussitôt utilisés par Zariski dans ses beaux Mémoires
de Géométrie algébrique et son élève I. S. Cohen élucida, vers ig43,
la structure des anneaux locaux complets [20]. Simultanément,
ChevaUey développa beaucoup cette théorie, qui devait lui servir de
base à celle des multiplicités d'intersection des variétés Jalgébriques
et algébroïdes [16], et introduisit les anneaux semi-locaux [18].
En 1946, enfin, Zariski dégagea la notion d'anneau m-adique [93],
comme préliminaire nécessaire à sa démonstration du principe de
dégénérescence. Depuis cette époque, la théorie a reçu divers perfec-
tionnements.
Le but de cet Ouvrage est de donner un compte rendu aussi com-
plet que possible de la théorie des anneaux locaux et de leurs géné-
ralisations. Cependant, nous avons laissé de côté les anneaux/>-adiques
et les anneaux de séries formelles à une variable; ce sont là, en effet,
des « anneaux locaux de dimension 1 », pour lesquels une grande
partie des résultats démontrés ici sont triviaux et dont l'étude arith-
métique fine (par exemple au moyen des valuations) n'a pas d'ana-
logue pour les anneaux de dimension supérieure. Nous nous sommes
donc borné, en général, aux propriétés valables pour les anneaux de
dimension quelconque. Faute de place, nous avons renoncé à inclure
les applications géométriques (points simples, multiplicités d'inter-
section), pour lesquelles nous renvoyons le lecteur aux Mémoires
originaux [16], [84], [63].