Exercices Nombres Premiers TS spécialité Maths 1 Déterminer à l'aide des divisions successives (cf cours 1) propriété) si les entiers suivants sont premiers ou pas : 97, 109, 117, 271, 323, 401, 527, 719. 2 Soit a et b deux entiers naturels non nuls. 1. Montrer que a 44 b4 =a 22 b2 2 – 4 a 2 b2 . 2. A quelles conditions a 44 b4 est-il premier ? 3 Dans les Inédits de Marcel Pagnol, l' écrivain indique que, pour tout n entier impair n1 , le nombre N =nn2n n2 est premier. Qu'en pensez-vous ? Vérifier ce résultat dû à Euler (1772) " le nombre n2n41 est premier pour n=0,1 ,2 ,... ,39 ." Et pour n=40 ? Comment étudier ce dernier cas sans la calculatrice ? 4 On note n!=1×2×3××n et n! se lit "factorielle n " Est-ce que le nombre 2011 est un diviseur de 2010! ? 5 Soit n un entier donné n1 . Montrer que la liste suivante comporte n entiers naturels consécutifs dont aucun n'est premier : n1!2 ; n1!3 ; ... ; n1!n ; n1!n1 . 6 Nombres de Mersenne n Pour n1 , le n-ième nombre de Mersenne est le nombre M n=2 – 1 1. Quels sont les nombres premiers parmi les nombres M n pour n6 ? 2. Montrer que, si d est un diviseur de n , M n est divisible par 2d – 1 . En déduire que si M n est premier, alors n est premier. 3. Si p est premier, M p est-il également premier ? 4. Montrer que, si a n – 1 est premier, alors nécessairement a=2 et n est premier. 7 De la forme 4 n3 Soit q un nombre premier tel que q5 et 5×7××q le produit de tous les nombres premiers entre 5 et q . On pose N =22×5×7××q3 . 1. Soit p un nombre premier divisant N . Montrer que pq et que p est de la forme 4 n1 ou 4 n3 . 2. Soit N = p1 ×× pr la décomposition de n en facteurs premiers. Montrer qu'il existe k 1kr tel que pk soit de la forme 4 n3 . 3. En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4 n3 . 1 2009©My Maths Space r Page 1/1