maths-arithmetique

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1) Les nombres premiers
Nombre premier : seulement divisible par 1 et par lui-même.
1 n’est pas un nombre premier car il ne possède qu’un seul diviseur.
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47
301 est-il un nombre premier ? Pour le savoir je le divise par les nombres premiers successifs (2, 3, 5,
7, 11, 13, 17 et 19 => je m’arrête à 19 car le quotient de la division devient plus petit que 19). 301/19 =
15,8…
S’il n’est divisible par aucun des nombres premiers, alors 301 est lui-même un nombre premier.
15 et 16 sont premiers entre eux car aucun des diviseurs de 15 autres que 1 ne divise 16.
2) Pair / Impair
Nombre pair : a = 2n
Nombre impair : a = 2n + 1
La somme de 2 nombres impairs est paire : 3 + 1 = 4
Le produit de 2 nombres impairs est impair : 3 x 3 = 9
Démontrer que la somme de deux nombres pairs est paire
2n + 2n = 4n = 2(2n)
4 est un multiple de 2, donc le nombre est pair.
Démontrer que la somme de deux nombres impairs est paire
Un nombre impair est n+1.
(2n+1) + (2n+1) = 4n+2 = 2(2n+1)
2 pouvant être mis en facteur commun, le nombre est pair.
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3) Critères de divisibilité
Divisible par 2
Si le dernier chiffre est divisible par 2
Le chiffre des unités est 0,2,4,6 ou 8 (pair).
Ex : 7 892 => divisible par 2
Divisible par 3
Si la somme de ses chiffres est divisible par 3
Ex : 9 831 = 9+8+3+1 = 21 => 2+1 = 3 donc divisible par 3
Divisible par 4
Si les 2 derniers chiffres représentent un nombre divisible par 4
Ex : 621 216 => 16 = 4 x 4 donc divisible par 4
Divisible par 5
Si le dernier chiffre vaut 0 ou 5.
Divisible par 8
Si les 3 derniers chiffres représentent un nombre un nombre divisible par 8
Ex :
Si la somme de ses chiffres est divisible par 9
Ex : 34 560  3 + 4 + 5 + 6 + 0 = 18  multiple de 9 (car 2 x 9 = 18)
Divisible par 9
Divisible par 11
Divisible par 25
Si la somme d’un chiffre sur 2 à partir des unités moins la somme des chiffres
restant est divisible par 11.
Ex :
Si les 2 derniers chiffres représentent un nombre divisible par 25.
Soit 00, 25, 50 ou 75.
4) Rechercher les diviseurs d’un nombre entier
180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5
= 2 2 x 32 x 5
Décomposer un nombre en produits de facteurs premiers
34 650 2
17 325 3
5 775 3
1 925 5
385
5
77
7
11
11
On a donc : 34 650 = 2 x 32 x 52 x 7 x 11
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5) PGCD
Diviseurs de 21 : 1, 3, 7, 21…
Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12…
PGCD de 21 et 12 = 3
Technique 1
1 260 = 2 X 2 X 3 X 3 X 5 X 7 = 22 x 32 x 5 x 7
1 320 = 2 X 2 X 2 X 3 X 5 X 11 = 23 x 3 x 5 x 11
PGCD = 22 x 3 x 5 = 60
Technique 2 : chercher le PGCD de grands nombres : 2013 et 843.
A (plus grand nb)
2013
843
327
189
138
51
36
15
6
B (plus petit nb)
843
327
189
138
51
36
15
6
3
Q (quotient)
2
2
1
1
2
1
2
2
2
R (reste)
327
189
138
51
36
15
6
3
0
Le PGCD de 2013 et 843 est le dernier reste non nul : 3.
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6) PPCM
Multiple = a est multiple de b s’il existe k tel que : a = b x k
Ex : 56 est multiple de 7 car : 56 = 7 x 8
Multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24…
Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28…
PPCM de 3 et 4 = 12
Technique
84 : 2 X 2 X 3 X 7 = 22 x 3 x 7
270 : 2 X 3 X 3 X 3 X 5 = 2 x 33 x 5
PPCM : 22 x 33 x 7 x 5 = 3 780
On prend tous les facteurs premiers qui apparaissent et on les affecte au plus grand exposant.
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