Chapitre 6: L`optique physique (I) Exercices

Chapitre 6 : L’optique physique (I)
Exercices
E1. On utilise l’équation obtenue à l’exemple 6.2 et qui associe la position d’une frange sur
l’écran aux autres paramètres. Avec =6on obtient
6=6
=⇒=6 6=6(490×10−9)(22)
38×10−2= 0170 mm
E2. On utilise, pour chaque longueur d’onde, l’équation obtenue à l’exemple 6.2, qui associe
la position d’une frange sur l’écran aux autres paramètres. Avec =2
I= 480 nm et
II =650nm, on obtient
I=2I
=2(480×10−9)(20)
40×10−4=48×10−3m
II =2II
=2(650×10−9)(20)
40×10−4=65×10−3m
La distance entre les deux franges sur l’écran équivaut donc à
∆=II −I= 170 mm
E3. (a) On adapte l’équation obtenue à l’exemple 6.2 à une situation d’interférence destructive
¡=+1
2¢et on obtient =³+1
2´
Pour =0cette équation donne la position
du premier lieu d’interférence destructive :
0=³1
2´
=⇒= 20=(450×10−9)(2)
2(32×10−3)= 0141 mm
(b) On utilise l’équation obtenue à l’exemple 6.2 et on obtient, pour =1:
1=
=⇒= 1=(450×10−9)(2)
32×10−3= 0281 mm
E4. On adapte l’équation obtenue à l’exemple 6.2 à une situation d’interférence destructive
¡=+1
2¢et on obtient =³+1
2´
Avec =3(troisième ordre) et 0=2
(deuxième ordre)on arrive à
∆=3−2=³3+ 1
2´
−³2+ 1
2´
= =(546×10−9)(18)
32×10−4= 307 mm
E5. Si la distance entre les deux franges d’ordre =4est de 7cm, on a 4=35cm. En
utilisant l’équation obtenue à l’exemple 6.2, on obtient
4=4
=⇒=4 4=(35×10−2)(2×10−4)
4(30) =583 nm
E6. (a) En utilisant l’équation obtenue à l’exemple 6.2, et pour =3,ontrouve
3=3
=⇒=3 3=3(590×10−9)(2)
16×10−2= 0221 mm
(b) Avec =1on calcule la position de la frange brillante, ce qui donne
1=
=(590×10−9)(2)
0221×10−3= 534 mm
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E7. La cinquième frange sombre est celle pour laquelle =4dans l’équation 6.3. Si on
combine les équations 6.3 et 6.4, on obtient
sin =¡+1
2¢=⇒=sin 
+1
2
=(2×10−4)sin(07◦)
4+ 1
2
=543 nm
E8. On donne 1=10
2=8 1=560nm et 2est inconnue dans
=11=¡2+1
2¢2=⇒2=101 85=10(560) 85=⇒2=659 nm
E9. On cherche la position où
=11=22=⇒(480 nm)1= (560 nm)2=⇒61=72=⇒1=7et
2=6
On obtient en utilisant l’une ou l’autre des longueurs d’onde dans l’équation de l’exemple
6.2 :
=11
=7(480×10−9)(12)
24×10−4= 168 cm
E10. On adapte l’équation obtenue à l’exemple 6.2 à une situation d’interférence destructive
¡=+1
2¢et on obtient, pour =7:
=³+1
2´
=⇒=³7+ 1
2´
7=(75)(589×10−9)(12)
65×10−3= 0816 mm
E11. Pour les deux premières franges d’interférence constructive qui suivent le pic central, les
équations 6.2 et 6.4 donnent
sin 1=(1)=⇒
=sin1(i)
sin 2=2=⇒
=sin 2 2(ii)
On veut que 2=1+10
◦On combine les équations (i) et (ii), et on remplace 2dans
le résultat :
sin 1=sin(1+10◦)
2=⇒2sin1=sin(1+10
◦)=sin1cos (10◦)+cos1sin (10◦)=⇒
2sin1−sin 1cos (10◦)=cos1sin (10◦)=⇒
sin 1(2 −cos (10◦)) = cos 1sin (10◦)=⇒tan 1=sin(10◦)
2−cos(10◦)=⇒1=971◦
Finalement, si on revient à l’équation (i), on obtient
=sin(971◦)=⇒=
sin(971◦)=3×10−2 sin(971◦)=178cm
E12. Si les angles sont faibles, la distance entre chaque frange est à peu près constante. Si
=1cm correspond à la distance entre la première et la huitième frange, la distance
entre chaque paire de frange équivaut à ∆=
7On utilise ensuite le résultat de l’exemple
6.2 et on trouve
∆=
=⇒= ∆=(510×10−9)(2)
1×10−2
7
= 0714 mm
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E13. Si le retard de phase est de 3
2la différence de marche sera de 3 4Ainsi
=3
4= =⇒=3 4=3(600×10−9)(24)
4(5×10−4)= 216 mm
La frange est décalée vers le haut , car c’est ainsi que l’on fait parcourir une plus grande
distance au signal émis par la fente du bas.
E14. On sait, par l’équation = que la longueur d’onde du son émis est
=
=340 200 =170 m
On cherche  la distance au mur, telle qu’elle est décrite dans cette figure :
Soit 1et 2la longueur de chacun des trajets sonores, selon, respectivement, qu’il rejoint
directement le point  ou se réfléchit sur le mur. S’il doit se produire de l’interférence
constructive et que la distance doit être minimale, la différence de marche =2−1
correspond à une longueur d’onde. On donne 1=8m, donc
=2−1=⇒170 = 2q¡1
2¢2+2−8=⇒√42+2=485 =⇒
=q(485)2−42= 274 m
E15. Si la fréquence vaut 1000 Hz, la longueur d’onde est de 34×10−1m. La distance entre
le maximum central d’intensité sonore et le premier minimum est donnée par le résultat
de l’exemple 6.2 adapté à une situation d’interférence destructive (=0):
=³+1
2´
= 2=(34×10−1)(8)
2(1) = 136 m
E16. On calcule, avec l’équation 2.5c, une longueur d’onde =
=340 95 =359 m pour le son
émis par l’un ou l’autre des haut-parleurs.
(a) Si l’intensité sonore est nulle au point P, c’est qu’il se produit de l’interférence destructive.
Dans une telle situation, la différence de marche entre les sons émis par S1et S2est
donnée par l’équation 6.3, =¡+1
2¢.
La figure 6.30 et le théorème de Pythagore permettent d’établir une équation pour qui
contient la distance :
=√42+2−4
Comme on cherche une valeur minimale à la distance ,onposeque=0et
√42+2−4=¡+1
2¢=⇒√42+2−4= 2=⇒√42+2= 2+4 =⇒
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=q¡
2+4
¢2−42=r³359
2+4
´2
−42= 419 m
(b) Pour le point Q, l’équation de la différence de marche s’écrit =(+2)−2=.
Comme on cherche la valeur minimale de  on pose encore une fois que =0dans
l’équation 6.3 et on calcule
=
2=⇒= 2= 179 m
E17. L’équation 2.5cnous donne =68×10−1m. Puisqu’un des haut-parleurs est déphasé
de radians par rapport à l’autre, on doit créer une différence de marche de 
2pour
obtenir une interférence constructive. On cherche tel que
=q¡
2+4
¢2−42=r³68×10−1
2+4
´2
−42= 168 m
E18. Chercher la fréquence la plus basse équivaut à chercher la longueur d’onde la plus élevée
ou l’ordre de marche le plus bas.
(a) Avec =1on cherche tel que
=√22+4
2−4=472 ×10−1m=⇒=
=720 Hz
(b) Avec =0on cherche tel que
2=√22+4
2−4=⇒=944 ×10−1m=⇒=
=360 Hz
E19. (a) On cherche une différence de marche telle que
=¡+1
2¢=⇒(−)−=¡+1 2¢=⇒−2=¡+1 2¢=⇒
=−³+1
2´
2
(b) On cherche une différence de marche telle que
= =⇒(−)−= =⇒=−
2
E20. La différence de marche correspondant à un certain déphasage de la longueur d’onde, on
peut poser que
= 2=⇒= 2=⇒sin = 2
où est la distance entre les deux antennes. Ainsi
=arcsin³
2´=arcsinµ(3×10−2)(5)
2(8×10−1)¶=170◦
Donc =170◦au-dessusdeladroitequiarriveàl’amplificateur, perpendiculairement à
la droite qui joint les deux antennes.
E21. Partant simultanément de la source, les trajets de deux rayons parallèles diffèrent une
première fois parce qu’ils sont incidents, en faisant un angle avec la normale aux niveaux
des fentes. Une des fentes, la fente supérieure, est ainsi plus éloignée de la source d’une
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distance sin 
(a) À la position angulaire indiquée dans la figure 6.32, une distance de sin s’ajoute au
trajet du rayon provenant de la fente inférieure, de sorte que la différence de marche pour
la fente inférieure la différence entre les deux contributions :
=(sin −sin )
(b) Le maximum correspondant au pic central apparaît pour une différence de marche nulle :
=(sin −sin )=0 =⇒=
(c) Au centre de l’écran, on a =0
◦d’où =−sin  Afin d’avoir l’interférence destructive
nécessaire pour produire un premier minimum, il faut que
=−
2=⇒=arcsin ¡ 2¢
E22. La position des minima est donnée par =³+1
2´
Ici, comme = on obtient
=³+1
2´
=⇒CQFD
E23. L’équation de la différence de trajet pour produire des maxima est =sin = Si
on utilise l’équation de la position des maxima, on en déduit que
=
=⇒=  =⇒=  =(147×10−2)(04×10−3)
(600×10−9)(14) =7
La frange brillante observée est donc la septième après le pic central. Il y a donc 7franges
sombres entre le centre et cette frange brillante.
E24. On doit trouver les hauteurs minimale et maximale où il y a interférence par réflexion
sur le miroir. En utilisant l’approximation des petits angles (sin ≈tan )et la loi de la
réflexion ¡=0¢,onobtient
=max 24=⇒max =24=96×10−3m
5=min 20=⇒min =4=16×10−3m
L’intervalle où on trouve des franges est donc de ∆=max −min = 800 mm .
E25. L’intensité sur une figure d’interférence est donnée par l’équation 6.9. Si la phase 
correspond à la différence de marche angulaire, on sait par =2que
2= =⇒=2 =³
´¡2
¢
Ainsi, on obtient
=40cos2³
2´=40cos2³1 2³2
 ´´ =⇒=40cos2³
 ´=⇒CQFD
E26. En utilisant la relation démontrée à l’exercice précédent, on obtient
=40cos2³
 ´= 2=⇒cos2³  ´=1 2=⇒
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