Cohomologies d`algèbres de Lie de champs de vecteurs

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
C LAUDE G ODBILLON
Cohomologies d’algèbres de Lie de champs de vecteurs formels
Séminaire N. Bourbaki, 1972-1973, exp. no 421, p. 69-87
<http://www.numdam.org/item?id=SB_1972-1973__15__69_0>
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Séminaire BOURBAKI
1972/73,
25e année,
n° 421
Novembre 1972
D’ALGÈBRES
COHOMOLOGIES
DE LIE DE CHAMPS DE VECTEURS FORMELS
par Claude GODBILLON
1. Introduction
Soit
k
kn ,
vectoriel
caractéristique
corps commutatif de
un
g =
g,~(n,k~ l’algèbre
de Lie des
et soient
de
endomorphismes
des séries formelles
l’algèbre
0 ,
sur
E .
E
E
l’espace
et
Chaque
vecteur
E*
produit inté-
u
p? 0
de
opère
E
rieur par
désigne
k~~E~~ ~
g(p) = Sp+~(E~~
de
a
).
En
.
o(n) ,
par
E :
@ E
a
(on
particulier
alors l’élément de
On munit
u ,
D(u) égale
sur
au
u .
On
soriel
par la dérivation
sur
a
plus
s’identifie
Xp
notera
g
~~
souvent
simplement
produit
la
composante
a , le produit ten-
par
g(p~ ,
~
au
isomorphe à
est
où
d’un élément
dans
E
g
;
correspondant à l’automorphisme identique
de
de la structure
(f .D(u~ (g~ ~ ~
g ~ v] =
champs de vecteurs formels à
~
~X,Y~p -
ou
;
v -
n
et
d’algèbre
(g.D(v)(f))
variables
sur
g(~?
une
est
de Lie obtenue
0
u :
k . On
sera
E .
posant
en
l’algèbre
est
a
H
X
de Lie des
a
sous-algèbre
de
Q
isomorphe à
g .
r+ s= p
De
les
plus,
sous-algèbres
Q
pour
p s -1
et
ap-
g
~
pour
r~ p
définissent
[03B1r,03B1s]
~ 03B1r+s
une
filtration décroissante de
).
l’algèbre
de Lie
a
(on
a
p ~ -1
Si
est
el,...,en
base de E, et
une
est la base duale
si ~ ,...,~
n
tout élément de
de
E~ ,
une
série formelle
[2 p e.,
(H ,
E
q e .]
ble des
champs
~qi ~03BEj - q.
=
X
de vecteurs formels
topologie associée à
sa
g)
filtration :
est alors
a
logique
M
a
sur
(pour
est
k
sur
Cq(a,M)
une
et
l’algèbre
algèbre
a-module
un
et
l’application
M
l’espace
a
et
E
w
q
pour
à valeurs dans
X E
topologique
M
=
a
x
M ~
0 , l’espace
pour
Cq(a,M) ,
q > 0
q
( ~~ ~ .
> 0,
(i.e.
M
M
continue),
est
est
un
de la
a
de Lie
topologique
espace vectoriel
a-module
topologique lorsqu’or.
des cochaînes continues de
L’ algèbre
opère
a
le [!.u.nit de la
somme
directe
C~(a ,M) -
£
Cq(a ,M)
sur
avec
topo-
ici par
degré
q
sur
est la cochaîne
X.w =
Le complexe des cochaînes continues
désigne
on
(X1,...,Xq) ~ X.03C9(X1,...,Xq) - £ 03C9(X1,...,[X,Xi],...,Xq)) ;
la
est donc l’ensem-
a
[H,X] = pX .
tels que
topologie discrète
de la
de
k .
Si
un
est
et
H =
exemple
Le sous-espace
.
k
et par
.
2: p.e..
e. -
On munit le corps
sur
Pi~~1’ " ’’~n)
ou
On a alors
piei] = 03A303BEj ~pi ~03BEj
£
1~1 Pi~~1’~~~’~n)ei
s’écrit
o
et
Cq(a,M)
est
topologie faible.
à valeurs dans
a
d
le cobord
M
est alors
défini par
qz0
dm(X) =
()
X.m
pour
Naturellement les notions qui suivent sont
de Lie
topologique
sur
un
corps
topologique
en
m
E
CO(a,M) ,
fait valables pour toute
commutatif.
algèbre
La
H*(03B1,M) = Hq(a,M)
cohomologie
de
à valeurs dans
a
M
Lorsque
définit
est
a-modules
structure
k
sur
le
produit extérieur
d’algèbre différentielle graduée,
une
M . Ces
topologiques
on
où
exposé
b
sous-algèbre
Dans cette situation
cohomologies jouent
caractéristiques
On fera usage dans cet
E
cohomologie continue
I. M. Gelfand et D. B. Fuks ont déterminé
dans la théorie des classes
associée à
la
anticommu-
est commutative.
Dans [5] et [6]
divers
a-algèbre topologique
une
une
M
complexe est
ce
M .
sur
tative si
de
de
filtre le
spectrale
[9].
de Hochschild-Serre
image d’un projecteur continu de
C*(a,M)
complexe
est
q~0,
pour
rôle essentiel
un
feuilletages
de la suite
a
est nul pour
des
H*(a,M)
a .
par les sous-espaces
,M)
l’espace
p s 0 ,
pour
q
et l’ensemble des cochaînes
q + 1
des
module
topologique ;
X.
sont dans
et
on
spectrale correspondant à
b
a
k
p > 0
pour
0 V X E
b}
semi-basiques relativement à
est le
dans
comme
l’algèbre
produit tensoriel
A(9*)
03C9(X1,...,Xp+q) =
q ~ 0 . Chaque
et
[10]
cette filtration est
On rappelle enfin que
sur
telles que
E
vérifie
1
(
sur
w
est
"
est
que le terme
isomorphe à
l’espace
des
W(9)
d’une
H(
0
si
b-
un
de la suite
)
cochaînes de degré
p
b ).
de Weil
~
S(9*)
des
algèbre
de
algèbres extérieure
Lie
et
symé-
trique
9* , gradué
de
~ Iir(~~~ ~ SS(9*)
E n~ (~ ~~ ,
dY =
Y
W =
par les sous-espaces
et muni
r+2 s = p
d
du cobord
le cobord du
l’élément
déterminé par la relation
y
S~(~~~
de
W (~ ~
sont étendus à
2. La
M
Lorsque
w
de
est
cq(a,M) ,
M
dans
a
w(X 1 ,.,.,X q) =
0
a
des cochaînes
[2].
0
par
de
cohomologie
l’espace
A(9*)
complexe
Les
de
k
la
topologique dont
a-module
topologie
lesquelles il
existe
un
entier
est de filtration
X
i
est discrète
q-linéaires alternées
tel que
m
supérieure à
m .
La topo-
est alors discrète.
En
particulier,
C1(03B1,k) =
pour le
où
(p)
,
sous-espaces
projection
g a g ,
X
et
une
on a
(g(p))* = Sp+1(E) ~ E* ;
somme
directe pour
~Y1 ,X ~ ~ -
par g(o)
+
p -1
Xo
forme de connexion
sur
II
=
n :
et
+
p
( on
p1
+
... =
des
q
remarquera que
ces
).
X ~
continue
ïr([X,Y]) = [X ,
La forme de courbure
-
k ,
p-1 (g(-1)) ® po(g(o))~ p1 (g(1)) ® ...
sous-espaces sont invariants
La
0-module trivial
=
est la
(X,Y~)
par les éléments
q > 0 , est l’ensemble des applications
pour
r
k , et
S(9*) .
sur
si l’un des
logie de
fie
à valeurs dans
sur 9
produits intérieurs
à valeurs dans
un
est
+
quels
de
a
a
sur
g
à valeurs dans
que soient
X E
g(o~
est, si on identig
et
de cette connexion est alors
:
Y E
on
a
a .
Cette forme de connexion détermine
W =
[2]
dans
suivantes, où
est
’y
;
morphisme
ce
~1~ (g ~~
élément de
un
du
morphisme 03C6
un
complexe
est
caractérise par les relations
et
F
l’élément correspondant de
s1 (g~~
=
I1p(g ~~
Il envoie donc
et par
conséquent
dans
s’annule
et
sur
l’idéal
J
np(g -1 ~ ~ np(g 1 ~ ~
dans
W
de
engendré
E
par
S (g~) .
Cet
.
r> n
idéal est
:
un
qu’algèbre
tant
en
de
sous-complexe
W ,
,
et
on
est
graduée Wn
(g*) ~ (S(g*)/( 03A3 Sr(g*)) .
Le
désignera
isomorphe
morphisme
le
n
au
induit
cp
W
par
complexe quotient
produit tensoriel
W
de
morphisme $
un
n
r>n
,k) .
dans
Le
THÉORÈME
premier résultat
1.- Le
de Gelfand et Fuks est alors :
morphisme 03C8 :
W
On
en
isomorphisme
de
H(W n)
déduit :
COROLLAIRE 1.- Les espaces
n
a
sont de dimensions finies et nuls pour
2n .
+
Désignant
X E
un
2014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014
H*(a ,k) .
sur
q >
induit
~ C*(03B1,k)
n
201420142014201420142014201420142014
la
somme
par
X ,
S
s
jet d’ordre
ne
r ~
0 ,
d’un
champ
de vecteurs formel
on a :
r
COROLLAIRE 2.- Toute classe de
les valeurs
r ,
dépendent
cohomologie
que des
jets
contient
de
d’ ordre
2
des
champs
un
cocycle
dont
de vecteurs formels.
En effet
Une cochaîne
e(H)w = -
rw .
degré
en
peut démontrer directement
1.- On
Remarque
est
l’image de $
C*(a,k)
w E
En particulier
L’ensemble
poids
C
des
De
.
de
cocycle
C
C
,on
r
dans C*(03B1,k)
-rm
a
=
induit
un
Enfin le complexe
C
o
degré supérieur
Par
g(o) , g(-1)
2
et
de
façon
et
r/
plus, pour
r
n2
à
+
et
g(1)
le
0(E)w
H3(03B1(1),k)
=
k ,
di(H)w .
en
C
sous-complexe de
et
C*(a,k)
est
acyclique:
r
est la
conséquent
Et par
directe
somme
west
si
un
l’inclusion de
cohomologie.
est de dimension finie
n
=
1
,
les
©
g(-1) ~ g(o)
un
composantes
g(1)
chaque degré
en
et nul
en
On
avec
pour
générateur
en
nulles de
03B1i
sont
C
k ,
o
de
la classe du
degrés
en
1
g(i) ,
,k>
déduit que
03B11
.
non
respectivement
générateur
~
d03B1o OE-i
=
=
isomorphisme
3 , on peut alors trouver
que
complexe
un
2n .
exemple lorsque
©
0 ,
si elle vérifie
r
est
r
1(H) ;
produit intérieur
stable par le
poids
façon suivante :
cochaîne dans
une
r
C*(a,k)
le corollaire 1 de la
est dite de
des cochaînes de
C
contenue dans
q
=
=
°
1
,
-1 , o , i
,
pour
cocycle
OE
sous-complexes
A
0 ,
q/
° , ?
© d03B1
.
o
o
Démonstration du théorème 1
On filtre le
à la
sous-algèbre
complexe
g(o) .
filtration est alors
C*(a,k)
Le terme Ep,q1
isomorphe à
par les
de la suite
où
P
correspondant
spectrale associée à cette
est la
somme
directe pour
+
p-i
+
p1
...
=
g
espaces sont invariants par
E
est
encore
g ( °’
On filtre d’autre
U p
Up,q ,
03A3
trale
sur
p
est l’ensemble des éléments de
par les
( °~~
0 V X E g
).
relativement à
basiques
a
W
complexe
sous-
conséquent,
Par
,k~ ~ i(X~u~ -
E
Ces
sous-complexes
p ~ 0 , où
l’image
dans
W
de la
@
des sous-espaces
correspondant à
isomorphe à
Enfin le
termes de
ces
est
de
Le théorème 1
2n ;
W
p
encore
~
C*(03B1,k)
donc
induit
avec
conséquence
une
sous-algèbre
due à J.
et
q
impair
comme
p >
ou
2n ,
précédemment
de
degré
et
à
r
sur
les
un
morphisme
des
premiers
isomorphismes précédents.
directe de la
proposition
ci-
C.Q.F.D.
PROPOSITION 1.- Le
.
+
de la suite spec-
dessous.
C*(a,k)
2s = p
(U ) ).
pour la filtration
spectrales compatible
sera
Ep,q1
Le terme
soit
+
r
l’espace des invariants symétriques
morphisme 03C8 : W n
suites
directe pour
Ss(g*)) .
p = 2r ~
pour
(éléments basiques
somme
cette filtration est nul pour
où
g
le
....
q 0
est
r ~ q
part
Bp
où
degré
03B8(H) .
semi-simples pour
( B~ = ~c~
des cochaînes de
l’espace
est
et
Hq(g
isomorphe à
invariants par
(g(-1)) ~ (g(1)) ~
A
des sous-espaces
p
P
morphisme * :
V
basiques de
W
des
relativement à
fera
induit
sur
la
un
sous-algèbre
isomorphisme
B
des
de la
basiques de
g ( o) .
La démonstration de cette
Vcy,
-
l’objet
du
proposition,
dont la version
paragraphe suivant.
exposée
ici est
3. Détermination des basiques de
Lemme 1.- Toute forme linéaire
1
Démonstration. Soit
’
=
On peut supposer que
E* . Désignant
par
est nulle
sur
Lorsqu’on
a
est le
c
est
un
et
e.
est
(l1) ~...~ g(lr)
nulle lorsque
,
r
q .
r
une
sont choisis dans
Z
ou
0
pour
E
,
une
on
(-1)
base
E* .
-
03B61,...,03B6n
est ra.mené â vérifier
~1-~~1,... , ~i ,soit ~ik i ,, n’apparaît
q
conditions, si
03BE1,...,03BEr . Dans
des formes
formel
03B8(X)03BEi =
g
de la forme
correspondant à
Si
des éléments de
r
la base duale de
tout élément
q >
1 ,...,03BE
03BE1,...,03BEr
champ de vecteurs
[X,e. ] = -
et 03BE
E
e1,...,en
pas dans la suite des
X
(o)
~ g
telle forme invariante. Il suffit de vérifier que
une
{jo
sont des éléments de
a)
(g (-1 ) )
éléments de la forme
ept nulle sur les
que
A
, invariante par g
~ l1 ~ ... ~ lr
de
sur
ces
,
i =
i ~ ik
03B8(X)Z = - cZ où
0
on a
1,...,r ;
pour
et donc
,
ik
entier
positif
non
nul.
C.Q.F.D.
Lemme
2.-
On a B" =
0
pour
Démonstration. Puisque
SOUS-e SPaCeS
p
Bp
impair et
est la
somme
somme
de
ces
r(g(-1)) r(g(1))
S
directe pour
I1p ’ ( 3(-1~~ ~ 1‘~p~ ( g(1~ ~ ~... ,
contenu dans la
C.
on
sous-espaces pour
+
p1
+
...
déduit du lemme 1 qUe
lesquels
p_1
s
p1
+
pour
p2
=
Bp
+
p
p = 2r
des
est
....
D’autre part,
également
une
contenu dans la
p = p + 2p +
somme
de
ces
lesquels
sous-espaces pour
Ce qui
....
°
9(H) , B
cochaîne basique étant invariante par
1
p. == 0
on
et
a
de
p
est
plus
=
p .
°
C.Q.F.D.
Le rame 3.- Soit
c
un
invariant
v.,...,v r
û
~~
degré
©
v .j )
=
Lemme 4.- Soit $
2014
a en
[ §Îj ©
une
effet
v.,
j
fl(u.i ,u J.)
u .i ]
=
-
=
J-
2§ ,j( u .i) §j.
© v, ,
©
i
v ..
j
cochaîne invariante de degré
Démonstration. On peut tout d’abord supposer que
éléments d’une base
base
on
duale, et que
peut
g , et soient
sur
des éléments de
ë......~
t
r
et
2014201420142014201420142014201420142014. ~
r
2014201420142014201420142014201420142014
0~ ~
Démonstration. On
fl ( ui. ,§Îj
de
des éléments de
u.,...,u ,
1
ri
3(_~) ’
symétrique
de
u 1 ,...,un
vl,...,vr
plus supposer
de
g~ 1) ,
dont
§ÎJ ©
v J.)
Et par
2r ,
=
et soit
sont les
désignera
0
pour j - i , ... , r
.
premiers
par ’1,...,Ç
sont choisi.s dans cette base. Si
que 03BEj(ui ) -
et
c-onséquent
ul,...,ur
on
0
la
n
0
X
Soit alors
0
[X,u.] =
le
i > 1
pour
champ
03B8(X)03BEj =
et
On conclut alors
de vecteurs formel
0
On
a
-u1 ,
pour j = 1,...,r .
dans la démonstration du lemme 2.
comme
C.Q.F.D.
Démonstration de la proposition 1. On déduit tout d’abord du lemme 3
injective,
rieurs à
et du lemme 2
f
en
degrés impairs
et
en
degrés supé-
2n .
Soit
où
qu’elle est bijective
est
que 03C8
B2r ,
alors f3 E
est linéaire
en
les
Le lemme 4 montre que l’on peut écrire
r ~ n .
,
et
03BEi
vj
et
symétrique
en
®
les
vi .
C.Q.F.D.
2.- Dans le
Remarque
ont donné
K
le
1’espace total
est
E -
connexion
singulier
de
trale de
W
un
par i
réels,
Gelfand et Fuks
~~ ~ ~~ :
suivante de
U(n, C) ,
fibré principal universel de groupe
2n
sur
du classifiant
K : la
BU(n, C)
et
X
cohomologie réelle de
X
n
n
celle de
C)
sur
le fibré
X
induisant
n
sur
n
°
est le corps des nombres
BU(n, C)
du fibré induit
isomorphe à
~ ~K .
k
squelette de dimension
En effet,
une
où
i’interprétation géométrique
Soit ? ::
et soient
cas
et
G1(n, R)
détermine
un
ont des
un
algèbres
morphisme
de
de Weil
Wn
isomorphisme du deuxième terme
le deuxième terme de la suite
isomorphes, et
dans le
complexe
de la suite spec-
spectrale de Leray-Serre du fibré
H~(a (n~ , k)
4. Description de
On rappelle tout d’abord les résultats suivants concernant le terme
spectrale associée à
de la suite
(i)
il existe des éléments
E’=EP
que
espace
(ii)
(iii)
P
possède
u
q
U2q’° ,
appartienne à
l’algèbre
[c.,...,c 1
cients dans
cobord
les
et
d
cq
avec
~-~
polynômes
de
degrés
gie. Ce qui ramène
toute
partie
I
engendrée
par
Soit
d’entiers
la
moins
un
non
positifs
en
p
où
,
q
à
un
de
publié,
et les
la
c
.
La
complexes
H*(a(n),k)
Vey
a
cohomologie
uq
avec
somme
dw
q
.
;
coeffi-
munie du
engendrés
Tp
correspondance
X :
Vn
des
à celle de
-~
W
n
u
anneaux
-
q
par
w
q
compatible
des suites
de cohomolo-
H(V ) .
plus généralement déterminé pour
de la
sous-algèbre
V n, Ide Vn
q E I .
l’ensemble des suites croissantes finies
dont la
=
q
2q, à
isomorphisme des premiers termes
J.
c
2n .
conséquent également
et par
W
E~ u1 , ... , un~ ~
les
de
tel que
degré
est de
c
q
morphisme
(1,...,n][
c~,...,cn
~n
sous-
isomorphe à l’algèbre
W est
et filtrée par les idéaux
description
travail
de
basiques de
du = cq
au
1
élément basique de
un
degrés supérieurs
spectrales correspondantes,
un
du
E[u 1 ,...,u n ]
q
c......c n
les filtrations et induisant
Dans
1,...,n , tels
q =
dans
w
soit
l’algèbre graduée
Vn
détermine
dwq
en
en
déterminé par
polynômes
conséquent
des éléments
tronqués
Soit alors
représentant
un
et par
Pn
des
k
H2q- 1(g,k) ,
u1,...,un ;;
par
chaque
=
isomorphe à l’algèbre extérieure
soit
engendré
E°’2q-
u (:
1
[3] :
W
la filtration de
E1
est inférieure à
n .
Pour
(éventuellement vides)
une
telle suite
j =
(jl,j2,...~ ,
on
non
1 ,
de
i
partie
et
de
est
V n, l; v..
THÉORÉME
désignera
on
partie
=(j 1 ,j ~ ,...)
de
s’il y
par
+
+
j2
et
...
en
a un
io
le
et
on
désignera
sinon. De
+ce
plus petit élément
un
(J. Vey).-
2
i + |j|
> n ,
Vn
On
E2r
en
plus
même pour toute
i
de
si
i =
(il,i2,...~ , i1
on
associe l’élément
de
cocycle
vérifiant
,
I
de
i
est
forment
des
une
cocycles
base de
et à toute suite
...~®
(u. i. A u. i~ /B
v.. ij =
cohomologie
io ~ jo
...
si et seulement si on
V -
Les classes de
i2
a
va
a
ses
différentielles
et
do
alors montrer par récurrence
prenant les classes
des éléments
d2r + 1
sur
v..
r
,
r ~
(c ~1 c ~2 ...
io + ~ j j
v.. ,
> n .
i
H(V 1) .
Démonstration. La suite spectrale associée à la filtration de
celle de
le
par jo
sinon.
vide et
A toute
j
I
dans
petit élément de j
~j~ - j1
posera
0 ,
induite par
nulles.
que l’on obtient
une
base de
vérifiant l’une des deux conditions
suivantes :
Pour
tion
B.
r
=
1
,
E
est
isomorphe
est satisfaite par tous les
On subdivise le type
B
en
r
au
gradué associe à
v...
quatre sous-types :
et la condi-
La différentielle
BL , B3r
Br
et
Si
Br .
type
Br
dans J
I ,
(c....
les clauses de
Br
type
en
Une base du noyau
classes de
=
r+ 1
A.
,
types
E2r+2
e t de
e;
type
ce
type
B1 , B2
types
cas,
A ,
A,
et
on
a
un
élément
(resp.
(j1,
j’ =
... ,
type
Br .
de
l’image)
de
et
Cfr
d~ r
A
types
est le dernier terme de
,
j03B1+1,...)>
Transforme
est alors
bijectivement
est donc constituée par les
B4r (resp. B3r ) ;
les classes de
celle de l’élé-
sur
v ij
ou j
qui montre que
celles de
B2 , B3
prenant
,...) ,
,
Ce
(c1 ... }
envoie la classe de
d2
La suite
r .
...) ~
(u .^. u. A
v,,=
cj03B1 , cr
r .
vérifïe j’ -
et
n
les
est nulle. Mais dans
soit
La différentielle
inférieur à
sui te j
I
de
v1 .
Br+1 ’
=
...) ~
n’est pas dans
r
conséquent
est dans
r
ment
la
D’autre part, si
sont vides, et par
‘~r
de
Br .
ou
annule les classes des éléments
d~r
et
r
et
on
B2 , r
obtient
ce
une
base de
qui coïncide
avec
B4r = Br+1 ’
°
Le résultat voulu est ainsi
démontré,
et le théorème 2 s’en déduit immé-
e
C.Q.F.D.
COROLLAIRE 3.- La dimens ion de
de
l’entier q
i1,...,ir,j1,...,j
de la forme
(n),k) ,
2(i1 -+
...
q >
0 , est égale
+
j1 +
°
...
au
nombre d’écri-
+ js~ -
r
où
sont des entiers vérifiant les relations suivantes :
s
(v~)
1~ s ~~ .
Par
exemple,
vement de dimension
COROLLAIRE 4.-
Hq(a(2),k)
2 ,
1
2
et
q~
est nul pour
L’espace
5 , 7
q =
pour
est
0 , 5 , 7
a
de a
de
a
V
).
est
Puisque
U
,
est
isomorphe
l’extension contravariante
En
la
(en
l’algèbre symétrique
et de
particulier,
projection
formelles
de
a
si
sur
enveloppante
sous-algèbre
une
tant
qu’espace
E . Par
de
M
de
est le
g ,
M
,)
espaces
Ci
E
complexe
C*(a ,M)
est
,r(E*)) et
,Ar(E*)) et SE
,
une
1,...,n ,
duit tensoriel
en
u~,...,un
tels que
M
si
est
supplémentaire
a
au
produit
tensoriel de
M
est
a
un
a
o-module,
@ M .
isomorphe à
A(E*)
g-module
par
[4] .
algèbre
de
cohomologie,
on
algèbre différentielle bigraduée
que l’on
l’algèbre
vectoriel)
sous-algèbre
d~: la
commutative de
isomorphe à
03B1^03B2 = (-1)pq+rs03B2^03B1
remarquera
par les
sous-
pour
s(E*)) .
PROPOSITION 2.- Il existe des éléments
q =
[6]
a-module des formes différentielles
Avant de déterminer cette dernière
que le
(resp.
a
-module déduit du
a
est le
est
de
conséquent
=
M
E ; et
sur
est triviale.
à valeurs dans le s f orme s différentielles
(resp. V) l’algèbre
U
Soit
a
respecti-
q - 2n .
1 ~
COROLLAIRE 5.- La structure multiplicative de
5. La cohomologie de
et
8 .
et
nul pour
8
et
de
et
uE
q
soit
cohomologie
E~ ui , ... , un~ ~ Pn~ c ~ , ... , cn~
et de l’algèbre
P [c ,....c ]
E
c
de l’
des
Hq(a q(E*)) ,
isomorphe
au
algèbre extérieure
polynômes
en
c ,...,c ,
pro-
~ ~ . , un~
ou
degré
est de
c
q ,
tronquée
degrés supérieurs
en
à
n .
Démonstration. La suite spectrale de Hochschild-Serre associée à la
sous-algèbre
,
,
gBO)
de
E"’
terme
son
a
a
des cochaînes de
basiques relativement à
L’ intersection
ments invariants par
~’~
D
de la
g
somme
pour
; et
C*(a
Ce
montre que le terme
qui
de
H*(g,k)
et de
isomorphe
p1 + P2 +
...
plus précisément
isomorphe à l’algèbre
est
au
l’espace
sous-espace des élé-
E1
est
B
isomorphe
au
°
B~
des éléments invaD
l’algèbre
que
des
p . On déduit donc de
=
basiques
produit
et que les différentielles
D ,
est
g (o~ .
isomorphe à l’espace
est
l~p(g (-1 )~ ~ A (g/.B) ;
Paniques de
est
D
où
directe des
...
Dp
l’étude du paragraphe ) que
gradué)
o , Or(E~~ ~
f1
n ~ (g 1 ~ ~ ~ 2 (g ( L ~ ®
riants de
D
isomorphe à
d ,
des
C*(a,k) .
de
tensoriel
s ~ 1
,
(non
sont
nulles.
C.Q.F.D.
6.
Cohomologies
Lorsque
symétriques
à
[.9]
relatives
k = ~ ,
une
on
identifie
sous-algèbre
de
complexe des cochaînes de
o(n) :
l’algèbre
q
y
et
on
0
pour tout
désigne
X E
m
complexes
WO
et
n
au
n
le
par
au
groupe
sous-
orthogonal
0(n)
et telles
o~( n~ .
groupe
des
spécial orthogonal
des éléments de
WSO
des matrices anti-
invariantes par
On introduit de même le sous-complexe
basiques relativement
Lie
basiques relativement
est l’ensemble des cochaînes
que
de
W
n
S0(n) ,
cochaînes de
ainsi que les
basiques relativement à
sous-
et
S0(n) respectivement. L’homomorphisme
WSO
et
de
désigne
de
cohomologie
PROPOSITION 3.-
H*(a,SO)
H~(a ,0) ,
par
Er
et le terme
p
permet
Ep
impair
induit
(Ap)
isomorphisme
les
algèbres
de
sur
(U p)
de
de
cohomologie
filtration de
isomorphe à
est
des cochaînes
sur
g à
~(n) .
détermine
W
une
filtration de
n
spectrale correspondant à
isomorphe à
une
spectrale correspondante
l’algèbre
la filtration
et
dans
n
H*(WSO)
n
et
détermine
relativement à
de la suite
un
de
de la suite
est
réelles, basiques
et le terme
pour
où
même,
WO
envoie
H*(03B1,0) .
sur
.
De
H’~(WOn)
L’homomorphisme 03C8
Démo nstration. La filtration
valeurs
C*(a ,R)
complexes.
ces
et de
H~(g , e) ® BP
n
C*(o,SO) .
dans
n
On
W -~-
t’~:
H~(g , m~ ~
pour
WSOn ,
,
cette filtration est nul
p = 2r . La
proposition
1
alors de conclure.
La vérification est analogue pour
H*(WOn) .
C.Q.F.D.
PROPOSITION 4.du
L’algèbre
complexe
de
cohomologie
où
V l
H*(WOn)
est
isomorphe à l’algèbre de
I est l’ensemble des entiers
impairs
de
{1,...,n} .
Dém.or_.--:tr3tior=. Le terme
WOn
est nul pour
peut
alors
préciser
suivante [~ 1] ::
Ep
impair
p
la
de la suite
et
spectrale associée à
isomorphe à
description donnée
au
H~(g ,0) ~
la filtration de
pour
p = 2r . On
début du paragraphe 4 de la façon
(i)
pour
les
impair
q
~
être choisis dans
WO
si l’on
dans
H2q-1 (g ,0) ,
désigne
encore
x(uq)
=
q
’
par
E I ,
-
que
x(cq)
=
q
et
dw ,
q
dont la classe de
cohomologie
n
Démonstration. Lorsque
précédente
pour
n
est
WOn
faut la modifier de la
(i)
pour
uq
peuvent être
(ii)
dans
à
,
un
pair,
est
c
désignera
un
un
iso-
de
cocycle
encore
par
la
isomorphe à
est
n
cn
pour
n
-
n
pour
impair
également
description donnée
valable pour
dans la dé,onstration
le
.
cas
n =
2r ,
il
façon suivante (1] ::
3 ,
... ,
2r - 1
choisis dans
il existe
(dv)2 = dw
(iii)
q = 1
est
c)
1,...,n , induit
n
-
-
WOn
X :
dans
L’algèbre de cohomologie H*(WSO)
H*(WOn)[x]/x2
impair et à
n
n’est pas nulle. On
..
E~u ,u , ...~ .
C.Q.F.D.
cc.:omologie correspondante
PROPOSITION 5.-
q =
w
q
l’homomorphisme
H*(WOn) .
sur
la classe de
3 , 5,...,
,
On déduit alors du théorème 2 que, pour
la classe de
peuvent
u
q
q = 1
uq ,
précédemment
comme
w , q
q
I)
morphisme de
des classes
q
isomorphe à l’ algèbre extérieure
est
On vérifie alors
déterminé par
1
E
w
;
n
(ii)
représentants
élément
WSOn
v
les
,
(en
représentants
fait dans
et
E
un
classez
wq
;
choix de
E
w
Uo,2n-1
n
tel que
n ;
si l’on
H2~-(g m~
désigne
et par
extérieure
encore
X E
par
u1 ,
H2r (g e~~
E[u1’ ...,u2r-1
q =
1, 3
,...,
la classe de
’X~ ’
°
2r-1 ,
dv,
la classe de
ç~}
est
wqq
isomorphe
On vérifie alors que la correspondance
x ~
I =
dv
détermine
homomorphisme
un
{1,3,...,2r-1}
et
du
u
~
R[x]/(x2 -
complexe
dx = 0 , dans
induisant
WSOn
dw
~
c
w ,
et
c),
isomorphisme
un
où
en
coho-
mologie.
C.Q.F.D.
7.
Appendice
Des résultats
la
cohomologie
On sait
de
des
plus
ou
algèbres
moins
complets
champs de vecteurs formels ; et dans
H,
on
peut montrer,
est de dimension finie. Par
Lie des
champs
contre,
on
une
primitives
sous-algèbre
d’une
la situation où cette
comme
dans la remarque
ignore
si la
~11~, ~12~.
algèbre
enfin que la
la détermination de la
sur une
cohomologie
cohomologie
variété
[7].
de
H*(a,R)
1, que
cohomologie
l’algèbre
joue
de Lie des
un
de Lie
sous-algèbre
de
sa
con-
cohomologie
l’algèbre
de vecteurs formels hamiltoniens est de dimension finie
Signalons
férentiables
été obtenus concernant
également
de Lie infinies transitives et
qu’une telle algèbre s’identifie à
tl.ent l’élément
ont
de
~8~ .
rôle essentiel dans
champs
de vecteurs dif-
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