GEOMETRIE : LE THEOREME DE L`ANGLE

GEOMETRIE : LE THEOREME DE L’ANGLE DROIT INSCRIT
Le théorème de l’angle droit inscrit fournit une méthode de construction de triangles
rectangles d’hypoténuse donnée à la règle et au compas. Il fait le lien entre la figure du cercle
et celle du triangle rectangle (Figure 1). Enfin, il peut aussi s’interpréter comme donnant une
propriété de la médiane issue de l’angle droit dans un triangle rectangle.
Théorème : Tout triangle rectangle est inscrit dans le cercle dont son hypoténuse est le
diamètre. Réciproquement, si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre
l’un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse.
Démonstration :
1) Enoncé Direct
On va utiliser la propriété suivante : les diagonales d’un rectangle sont de même longueur ; et
une construction (Figure 2).
Soit (ABC) un triangle rectangle en A, et soit O le milieu de son hypoténuse [B,C].
Construisons le point A’ symétrique de A par rapport à O (cela revient à construire le
parallélogramme (ABA’C) sur le triangle (ABC)). La symétrie de centre O transforme A en
A’, et elle échange B et C ; cette symétrie transforme donc le triangle (ABC) en le triangle
(A’BC), comme une symétrie centrale conserve les distances et les angles (c’est un demi-tour)
on en conclut que l’angle en A’ est égal à l’angle en A, c’est-à-dire droit.
En fait, le parallélogramme (ABA’C), dès lors qu’il a un angle droit, est nécessairement un
rectangle (à expliquer), en appliquant la propriété rappelée plus haut on en déduit : BCAA
=
' ,
d’où OCOBOAOA
=
=
=
' (les diagonales du rectangle étant égales, ses demi-diagonales le
sont aussi), ce qui prouve bien l’inscription du triangle (ABC) dans le cercle de centre O et de
diamètre [B,C]. (ainsi d’ailleurs que l’inscription du triangle symétrique (A’BC) dans le
même cercle).
Cette démonstration suggère un nouvel énoncé du théorème, vu cette fois sous l’aspect de la propriété
de la médiane que l’on vient de mettre en évidence :
Théorème : Dans un triangle rectangle, la médiane a pour longueur la moitié de celle
de l’hypoténuse. Réciproquement, si dans un triangle la médiane issue de l’un des
sommets vaut la moitié du côté sur lequel elle s’appuie alors le triangle est rectangle en
ce sommet.

GEOMETRIE : LE THEOREME DE L’ANGLE DROIT INSCRIT
2) Réciproque
Soit (ABC) un triangle inscrit dans le cercle de diamètre [B,C], de centre O (Figure 3).
Les triangles (OAB) et (OAC) sont isocèles en O ; désignons leurs angles respectifs à la base
par
β
α
, , et leurs angles au sommet respectifs par
21
, θθ : comme [B,C] est un diamètre,
les angles
1
θ et
2
θ sont supplémentaires, autrement dit °=+ 180
21
θθ ; quant à l’angle en
A du triangle (ABC), ce n’est rien d’autre que
β
α
+
, on voudrait montrer que cet angle est
droit.
Dans les triangles isocèles (OAB) et (OAC), on a les relations :
°=+ 1802
1
θα ; °=+ 1802
2
θβ (la somme des angles d’un triangle vaut 180°)
En ajoutant membre à membre ces deux inégalités, on obtient : °=+++ 360)()(2
21
θθβα ;
D’où en remplaçant
21
θθ + par sa valeur :
°
=
°
−
°
=
+
180180360)(2
β
α
; par
conséquent
°
=
+
90
β
α
et l’angle en A est bien droit.
Lors d’une séance de Travaux Pratiques sur l’heuristique (du grec : heurein qui veut dire trouver) de
la réciproque du théorème de Pythagore, nous avons appris un troisième théorème sur le triangle
rectangle : le théorème du carré de la hauteur. Rappelons son énoncé :
Théorème : Dans un triangle rectangle, le carré de la hauteur est égal au produit des
longueurs des deux segments délimités par le pied de la hauteur sur l’hypoténuse. Cette
propriété caractérise le triangle rectangle : autrement dit, si elle est vérifiée, alors le
triangle est nécessairement rectangle.
Il s’agit là encore, comme pour les deux premières caractérisations (par la relation de Pythagore ou
par l’inscription dans un demi-cercle) d’un énoncé dont la réciproque est vraie : c’est pourquoi on dit
que cette propriété caractérise le fait que le triangle soit rectangle.