Contributions a l`algebre, a l`analyse et a la combinatoire des

Université Paris XIII
Mémoire d’Habilitation à Diriger des
Recherches
Contributions à l’Algèbre, à l’Analyse et
à la Combinatoire des Endomorphismes
sur les Espaces de Séries
par
Laurent Poinsot
Soutenue publiquement le X X 2011
Devant le jury composé de :
Gérard H. E. Duchamp Professeur des Universités, Examinateur
Université Paris XIII,
LIPN, UMR 7030
Loïc Foissy Maître de Conférences, Habilité, Rapporteur
Université de Reims Champagne-Ardenne,
Laboratoire de Mathématiques, EA 4535
Dominique Manchon Chargé de Recherche CNRS, Habilité, Rapporteur
Université Blaise Pascal,
Laboratoire de Mathématiques, UMR 6620
Jean-Christophe Novelli Professeur des Universités, Rapporteur
Université Paris-Est Marne-la-Vallée,
LIGM, UMR 8049
Christophe Reutenauer Chaire de recherche du Canada, Rapporteur
« Algèbre, combinatoire et informatique »,
Université du Québec à Montréal,
LaCIM
Laurent Rigal Professeur des Universités, Examinateur
Université Paris-Est Créteil,
LAGA, UMR 7539

Table des matières
1 Introduction 1
1.1 Cadre général de ma recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Thème«Cryptographie»............................... 3
1.3 Contributions à l’analyse, à l’algèbre et à la combinatoire des endomorphismes
surlesespacesdeséries ................................ 8
1.3.1 Introduction .................................. 8
1.3.2 Notations, définitions et résultats généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Autour des algèbres de Fréchet : sous-groupes à un paramètre . . . . . . . 9
1.3.4 Algèbres de matrices infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.5 Sur le dual topologique de l’espace des séries formelles, et sur ses opérateurs
linéairesetcontinus .............................. 10
1.3.6 Formule d’inversion de Möbius pour les monoïdes à zéro . . . . . . . . . . 10
1.3.7 Algèbre de Weyl et problème de l’ordre normal bosonique . . . . . . . . . 10
1.3.8 Décomposition d’endomorphismes par des opérateurs d’échelle généralisés 11
1.4 Conclusion ....................................... 11
2 Notations, définitions et résultats généraux 13
2.1 Catégories........................................ 14
2.2 Notationsensemblistes................................. 14
2.3 Semi-groupes, monoïdes et groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Anneaux, algèbres et modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Brefs rappels de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Anneaux, algèbres et modules topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Sommabilité....................................... 18
2.8 Polynômes et séries formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Autour des algèbres de Fréchet : sous-groupes à un paramètre 23
3.1 Introduction....................................... 23
3.2 Rappels sur les espaces de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Rappels sur les algèbres de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Sur l’existence, l’unicité et l’analycité des sous-groupes à un paramètre tracés sur
unealgèbredeFréchet................................. 27
3.4.1 Analycité des chemins à valeurs dans une algèbre de Fréchet . . . . . . . 27
3.4.2 Séries entières dans les espaces de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.3 Exponentielle et logarithme dans une algèbre de Fréchet . . . . . . . . . . 31
3.4.4 Existence et unicité d’une solution d’un certain problème de Cauchy . . . 33
3.4.5 Espaces/algèbres de Fréchet comme limite projective d’espaces/algèbres
deBanach.................................... 33
3.4.6 Calcul fonctionnel analytique dans une algèbre de Fréchet . . . . . . . . . 36

Table des matières
3.4.7 Sous-groupes à un paramètre tracés dans une algèbre de Fréchet . . . . . 37
3.5 Conclusion et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Algèbres de matrices infinies 41
4.1 Introduction....................................... 41
4.2 Matrices infinies en toute généralité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Algèbre des matrices finies en ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.1 Généralités ................................... 44
4.3.2 Applications linéaires associées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.3 Propriétés topologiques de RX×(Y)...................... 47
4.3.4 Produit tensoriel complété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.5 Compositions ombrales généralisée et classique . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4 Algèbre de Fréchet des matrices triangulaires inférieures infinies . . . . . . . . . . 51
4.4.1 Généralités algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4.2 Quelques isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.3 Propriétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.4 Limitesprojectives............................... 54
4.5 Conclusion et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Sur le dual topologique de l’espace des séries formelles, et sur ses opérateurs
linéaires et continus 59
5.1 Introduction....................................... 59
5.2 Quelquesnotations................................... 61
5.3 Lethéorèmeprincipal ................................. 62
5.4 Lapreuveduthéorème5.3............................... 63
5.5 Les conséquences du théorème 5.3 sur les opérateurs linéaires continus . . . . . . 65
5.6 Dual topologique et complétion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.7 Topologiefaible..................................... 69
5.8 Conclusion et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6 Formule d’inversion de Möbius pour les monoïdes à zéro 71
6.1 Introduction....................................... 71
6.2 Monoïdesàzéro .................................... 73
6.3 Algèbre contractée d’un monoïde à zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.4 L’algèbre contractée large d’un monoïde à zéro à décomposition finie . . . . . . . 76
6.5 Monoïdes à zéro localement finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.6 Opération étoile et formule d’inversion de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.7 Quelques remarques au sujet des séries de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.8 Conclusion et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7 Algèbre de Weyl et problème de l’ordre normal bosonique 87
7.1 Introduction....................................... 87
7.2 LesalgèbresdeWeyl.................................. 89
7.2.1 Définition formelle et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2.2 Graduation de l’algèbre de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.3 Ordre normal et nombres de Stirling généralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.4 Représentations..................................... 93
7.5 Exponentielle de mots bosoniques « conjugués » (a†)m−na(a†)n.......... 94
7.5.1 Cas w=λa................................... 95
7.5.2 Cas w=λa†a.................................. 95
iv

Table des matières
7.5.3 Cas w=λaa†.................................. 97
7.5.4 Cas w=λ(a†)na,n > 1............................ 97
7.5.5 Cas w=λ(a†)m−na(a†)n,n > 0,m > 1,m−n≥0............. 98
7.6 Sous-groupes à un paramètre et matrices de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.7 Conclusion et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8 Décomposition d’endomorphismes par des opérateurs d’échelle généralisés 103
8.1 Introduction....................................... 103
8.2 Notations ........................................ 104
8.3 Retour sur le résultat classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.4 Développement des endomorphismes en termes d’opérateurs d’échelle . . . . . . . 106
8.5 Extension au cas des combinaisons linéaires infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.5.1 Préliminaires : topologie et dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.5.2 Extension du théorème 8.2 aux combinaisons linéaires infinies . . . . . . . 114
8.6 Conclusion et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9 Conclusion et perspectives 117
9.1 Conclusion ....................................... 117
9.2 Perspectives....................................... 118
Index 121
Bibliographie 125
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