PC - Approche ondulatoire de la mécanique quantique

PC - Approche ondulatoire de la m´ecanique
quantique
1 Dualit´e onde/corpuscule
1.1 Ondes ´electromagn´etiques et photons
1900 - Planck ´etudie le rayonnement du corps noir et abouti au fait que les ´echanges ´energ´etiques entre le champ
´electromagn´etique et la mati`ere sont quantifi´es.
Relation de Planck -Einstein :
1905 - Einstein interpr`ete l’effet photo´electrique.
Un rayonnement ´electromagn´etique correspond `a un flux de particules, les photons, qui portent une ´energie
Eγ=hν
En parall`ele, la th´eorie de la relativit´e attribue au photon une quantit´e de mouvement −→ ptelle que
1.2 Ondes de mati`ere
1923 - Compton met en ´evidence exp´erimentalement que la quantit´e de mouvement du photon vaut :
1924 - Diffraction des ´electrons `a travers des bifentes d’Young.
Les ´electrons se comportent `a la fois comme des corpuscules et comme une onde.
On peut leur associer un rayonnement ´electromagn´etique de fr´equence νtel que, dans le r´ef´erentiel du laboratoire,
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2 Description d’une particule libre
2.1 Remise en cause de la notion de trajectoire
L’´electron tourne autour du noyau avec une vitesse vdans le r´ef´erentiel du noyau.
— L’´electron poss`ede une charge ´electrique ⇒ ∃−→ E,
— L’´electron poss`ede une vitesse et une acc´el´eration radiale dans le r´ef´erentiel du noyau ⇒ ∃−→ B.
L’espace est plong´e dans un champ ´electromagn´etique caus´e par l’´electron en rotation du noyau.
2.2 Fonction d’onde (1D)
En m´ecanique classique on d´ecrit une particule `a partir de sa position et de sa vitesse.
En m´ecanique quantique on associe `a une particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( . . . . . . . . . . . . pour les ´electrons en
chimie).
Pour une particule ´evoluant en 1D,
Rq : En m´ecanique quantique on utilise des conventions particuli`ere (ı, ν, kx −ωt)
............ →Diff´erence importante avec les ondes m´ecaniques (ou OEM) pour lesquelles la grandeur consid´er´ee
est r´eelle et on utilise les complexe comme outil.

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2.3 Equation d’´evolution
Remarques :
— D´eriv´ee premi`ere du temps so On doit absolument garder la convention ψ(x, t) = ψ0ei(kx−ωt)sinon tous les
signes changent.
— On ne simplifie pas par ~car cette forme permet de faire apparaitre des grandeurs ayant un sens physique fort
en m´ecanique quantique. (op´erateur hamiltonien d’une particule libre ˆ H=−dfrac~22m∆)
— Equation valable pour une particule libre, non relativiste, sans spin.
2.4 Superposition d’´etats quantiques
Retour sur l’exp´erience des bifentes :
— Si la fente 1 est la seule fente ouverte →ψ1(x, t)
— Si la fente 2 est la seule fente ouverte →ψ2(x, t)
Lin´earit´e de l’´equation de Schr¨odinger : Avec les 2 fentes ouvertes on a
ψ1(x, t) = ψ0ei(−→
k1
−−−→
S1M−ωt)
ψ2(x, t) = ψ0ei(−→
k2
−−−→
S2M−ωt)

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2.5 Limite de la description en ondes planes - notion de paquet d’onde
|ψ(x, t)|2correspond `a une densit´e de probabilit´e.
La lin´earit´e de l’´equation de Schr¨odinger permet de construire un paquet d’onde normalisable par superposition
d’OPH. (Th. de Fourier)
— ∆xest la largeur du paquet d’onde dans l’espace des positions,
— ∆kou ∆pest la largeur spectrale du paquet d’onde (ou largeur du paquet d’onde dans l’espace des impulsion)
L’analyse de Fourier permet de montrer que, pour un paquet d’onde de forme quelconque,

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Ce paquet d’onde ´evolue avec une vitesse vg=dω
dkappel´ee la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . du paquet d’onde.
On a montr´e que l’´equation de dispersion v´erifi´ee par la particule se d´epla¸cant selon xs’exprime : k2=2mω
~
On peut aussi le d´eplacement d’une particule par un courant de probabilit´e. Par analogie avec la conduction
´electrique (−→ j=ρ−→ v), on d´efini le courant de probabilit´e par :
3 Particule dans un potentiel continu par morceaux
3.1 Ecriture de l’´equation de Schr¨odinger
Remarque : Vocabulaire - En m´ecanique quantique, ≪potentiel ≫= Energie potentielle
3.2 Etats stationnaires en m´ecanique quantique
3.2.1 D´efinition
On cherche une solution de l’´equation de Schr¨odinger sous la forme ψ(x, t)φ(x)f(t).
Pour l’´etude des ondes classiques (OEM, ondes dans une corde etc) les grandeurs ´etudi´ees sont r´eelles. Dans ces cas,
une OPPH a(x, t) = A0cos(ωt−kx) peut ˆetre associ´ee `a une onde complexe a(x, t) = A0exp[i(ωt−kx)] = A0eiωt e−ikx .
On voit donc que a(x, t) peut se mettre sous la forme a(x, t) = φ(x)f(t) sans pour autant qu’il s’agisse d’une solution
stationnaire.
En revanche, en m´ecanique quantique, ψ(x, t) = ψ0e−iωt eikx constitue une solution en onde stationnaire car
ψ(x, t)∈C.