PC - Approche ondulatoire de la mécanique quantique

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PC - Approche ondulatoire de la mécanique
quantique
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1.1
Dualité onde/corpuscule
Ondes électromagnétiques et photons
1900 - Planck étudie le rayonnement du corps noir et abouti au fait que les échanges énergétiques entre le champ
électromagnétique et la matière sont quantifiés.
Relation de Planck -Einstein :
1905 - Einstein interprète l’effet photoélectrique.
Un rayonnement électromagnétique correspond à un flux de particules, les photons, qui portent une énergie
Eγ = hν
−
En parallèle, la théorie de la relativité attribue au photon une quantité de mouvement →
p telle que
1.2
Ondes de matière
1923 - Compton met en évidence expérimentalement que la quantité de mouvement du photon vaut :
1924 - Diffraction des électrons à travers des bifentes d’Young.
Les électrons se comportent à la fois comme des corpuscules et comme une onde.
On peut leur associer un rayonnement électromagnétique de fréquence ν tel que, dans le référentiel du laboratoire,
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2
Description d’une particule libre
2.1
Remise en cause de la notion de trajectoire
L’électron tourne autour du noyau avec une vitesse v dans le référentiel du noyau.
→
−
— L’électron possède une charge électrique ⇒ ∃ E ,
→
−
— L’électron possède une vitesse et une accélération radiale dans le référentiel du noyau ⇒ ∃ B .
L’espace est plongé dans un champ électromagnétique causé par l’électron en rotation du noyau.
2.2
Fonction d’onde (1D)
En mécanique classique on décrit une particule à partir de sa position et de sa vitesse.
En mécanique quantique on associe à une particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( . . . . . . . . . . . . pour les électrons en
chimie).
Pour une particule évoluant en 1D,
Rq : En mécanique quantique on utilise des conventions particulière (ı, ν, kx − ωt)
. . . . . . . . . . . . → Différence importante avec les ondes mécaniques (ou OEM) pour lesquelles la grandeur considérée
est réelle et on utilise les complexe comme outil.
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2.3
3
Equation d’évolution
Remarques :
— Dérivée première du temps so On doit absolument garder la convention ψ(x, t) = ψ0 ei(kx−ωt) sinon tous les
signes changent.
— On ne simplifie pas par ~ car cette forme permet de faire apparaitre des grandeurs ayant un sens physique fort
en mécanique quantique. (opérateur hamiltonien d’une particule libre Ĥ = −df rac~2 2m∆)
— Equation valable pour une particule libre, non relativiste, sans spin.
2.4
Superposition d’états quantiques
Retour sur l’expérience des bifentes :
— Si la fente 1 est la seule fente ouverte → ψ1 (x, t)
— Si la fente 2 est la seule fente ouverte → ψ2 (x, t)
Linéarité de l’équation de Schrödinger : Avec les 2 fentes ouvertes on a
−
→ −
−−
→
ψ1 (x, t) = ψ0 ei(k1 · S1 M−ωt)
−
→ −
−−
→
ψ2 (x, t) = ψ0 ei(k2 · S2 M−ωt)
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2.5
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Limite de la description en ondes planes - notion de paquet d’onde
|ψ(x, t)|2 correspond à une densité de probabilité.
La linéarité de l’équation de Schrödinger permet de construire un paquet d’onde normalisable par superposition
d’OPH. (Th. de Fourier)
— ∆x est la largeur du paquet d’onde dans l’espace des positions,
— ∆k ou ∆p est la largeur spectrale du paquet d’onde (ou largeur du paquet d’onde dans l’espace des impulsion)
L’analyse de Fourier permet de montrer que, pour un paquet d’onde de forme quelconque,
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dω
appelée la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . du paquet d’onde.
dk
2mω
On a montré que l’équation de dispersion vérifiée par la particule se déplaçant selon x s’exprime : k 2 =
~
Ce paquet d’onde évolue avec une vitesse vg =
On peut aussi le déplacement d’une particule par un courant de probabilité. Par analogie avec la conduction
→
−
→
électrique ( j = ρ−
v ), on défini le courant de probabilité par :
3
Particule dans un potentiel continu par morceaux
3.1
Ecriture de l’équation de Schrödinger
Remarque : Vocabulaire - En mécanique quantique,
3.2
3.2.1
≪
potentiel ≫ = Energie potentielle
Etats stationnaires en mécanique quantique
Définition
On cherche une solution de l’équation de Schrödinger sous la forme ψ(x, t)φ(x)f (t).
Pour l’étude des ondes classiques (OEM, ondes dans une corde etc) les grandeurs étudiées sont réelles. Dans ces cas,
une OPPH a(x, t) = A0 cos(ωt−kx) peut être associée à une onde complexe a(x, t) = A0 exp[i(ωt−kx)] = A0 eiωt e−ikx .
On voit donc que a(x, t) peut se mettre sous la forme a(x, t) = φ(x)f (t) sans pour autant qu’il s’agisse d’une solution
stationnaire.
En revanche, en mécanique quantique, ψ(x, t) = ψ0 e−iωt eikx constitue une solution en onde stationnaire car
ψ(x, t) ∈ C.
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3.2.2
Propriété des états stationnaires
3.3
Puit de potentiel inifini (TD)
3.4
Puit de potentiel fini (TD)
3.5
Barrière de potentiel (TD)
3.6
Effet tunnel (TD)
3.7
Puit double (TD)
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